扬州中学高一数学下学期5月月考试卷含解析苏教版

扬州中学高一数学下学期5月月苏教版)含解析(考试卷．
学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷 2012-2013
70分）14一、填空题（共小题，每小题5分，满分）﹣1﹣1）x+（2m1．（5分）m为任意实数时，直线（m ．）（必过定点 9y=m ﹣5，﹣4
恒过定点的直线．考点：直线与圆．专：题5y=m﹣2m（﹣1）分对于任意实数m，直线（m﹣1）x+x+2y则将方程转化为（则与m的取值无关，析：恒过定点，的系数和常数项为零即．让m5）=0﹣1）m+（x+y﹣可．x+2y可化为（y=m﹣5x+（2m﹣1）解解：方程（m﹣1）﹣ 1）m+（x+y﹣5答：）=0
∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点
由，得．
故定点坐标是（9，﹣4）．
故答案为（9，﹣4）．
点本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力评：及直线系的理解．
2x+2cosx （≤x≤）的最小值为 y=sin5．2
（分）函数
﹣2 ．
复合三角函数的单调性．考 ：点 计算题；三角函数的图像与性质．专 ：题22，再x+2cosx+1y=﹣cos 分先将y=sinx+2cosx 转化为 析：配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．2x+2cosx 解：∵y=sin 解2x+2cosx+1 ﹣cos 答：= 2 ，）+2=﹣（cosx ﹣1 ，∵≤x ≤
，∴﹣1≤cosx ≤，﹣2≤cosx ﹣1≤﹣
22
≤﹣﹣1）≤（cosx ﹣1）．≤4，﹣4≤﹣（cosx ∴
2
．1）≤∴﹣2≤2﹣（cosx ﹣
2 ．）y=sinx+2cosx （≤x ≤的最小值为﹣2∴函数
．故答案为：﹣2本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方点 评：法的应用，属于中档题．
＜，第k 项满足5项和3．（5分）已知数列的前n
． 8 ＜a8，则k 的值为k
等差数列的前n 项和．考 点： 专计算题． 题：﹣=Sn 项和的关系可得 a=项与前分根据数列的第n 1182k510=2n ﹣S ﹣=S ，当8析： n ≥2 a ，由＜﹣10＜1nnn ﹣
的值．求得正整数k n 项和，解解：∵数列的前
答：﹣8．∴a=S=1﹣9=1122﹣（n﹣1）﹣9=nn ≥2 a=S﹣S﹣9n﹣[（n当1nnn﹣ 10，1）]=2n ﹣，9，解得＜k＜ 58 可得＜2k﹣10＜8由5＜a＜
k，故正整数k=8 ．故答案为 8项和的关
系，解n本题主要考查数列的第n项与前点评：一元一次不等式，属于基础题．
，）x+3y+2m=0（l：m﹣2l4．（5分）设直线：x+my+6=0和21m= ﹣1 时，l∥l．当21
考直线的一般式方程与直线的平行关系．点：
专直线与圆．
题：
分由平行的条件可得：，解后注意验
证．
析：
解解：由平行的条件可得：，
答：由，
解得：m=﹣1或m=3；
而当m=3时，l与l重合，不满足题意，舍去，故21m=﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘点
去掉重合的情况，属基础题．评：记
，a，b5．（分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为5 ．的值为b，c成等比数列，c=2a，则cosB ，c，且a
余弦定理．考：点计算题．专：题可得，成等比数列且，cc=2ab，c，且a，b分由a，
c=2a，结合余弦定理可求析：b= ，
c=2a
c成等比数列且，且a，b，，解解：∵a，bc22，=ac=2a答：b
c=2a
，b=
= 故答案为：
点本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理评：在解三角形中的应用，属于基础试题
6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω
= ．
考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
点：
专计算题．
题：
时确定最大值，就是由题意可知函数在x=分
析：ω的值即可．，求出
时确定最大值，就是解：由题意可知函数在x=解
答：时，ω=；只有k=0Z，所以ω=6k+∈，k
满足选项．故答案
为：．
本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式点评：的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．
轴上的截距相等的yx、4A（1，）且在．7（5分）过点条． 2 直线共有
考直线的截距式方程．
点：
专探究型；分类讨论．
题：
分分直线过原点和不过原点两种情况求出
直线方程，析：则答案可求．
解解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；
答：当直线不过原点时，设直线方程为
x+y=a，
代入A的坐标得a=1+4=5．
直线方程为x+y=5．
所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．
故答案为2．
点本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的评：数学思想方法，是基础题．
k（，xy为自变量的目标函数z=kx+y 8．（5分）已知以B，1，2）＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（取最），若使z，E （2，1（C0，1），（，0），D，0）
（
k= 1 ．大值时的最优解有无穷多个，则
考简单线性规划的应用．
点：
专图表型．
题：
分由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优析：解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点
上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．
解解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y答：应与直线 AE平行
∵k==﹣1，AE∴﹣k=﹣1，
∴k=1，
故答案为：1．
点本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆评：用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求
参数．
，前分）（2005?湖北）设等比数列{a}的公
比为q9．（5n﹣的值为成等差数列，则qSn 项和为，若S，S，S n+2nnn+1 2 ．
考等差数列的性质；等比数列的性质．点：专压轴题；分类讨论．题：，=S+SS，S成等差数列，可得2S分首先由S，n+2nn+1n+1n+2n，S， S，S析：然后利用等比数列的求和公式分别表示n+2nn+1两种情况讨论，解方程即可．注意分q=1和q≠1，且S，前n项和为的公比为解解：设等比数列{a}q nn答：S ，S，S成等差数列，则2S=S+S，n+2n+1nn+1n+2n若q=1，则S=na，式显然不成立，1n
若q≠1，则为，
nn+1n+2，+q故2q =q2即q+q﹣2=0，
因此q=﹣2．
故答案为﹣2．
点涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类评：讨论．
10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为 {，3，﹣
6} ．
考两条直线的交点坐标．
点：专计算题；直线与圆．题：的交点，代入2x﹣y+8=0分首先解出直线x+y+1=0与分别﹣5=05=0求解a的值；然后由ax+3y析：ax+3y ﹣ a的值．和已知直线平行求解
解解：由，，得答：，3，2）﹣所以直线x+y+1=0与2xy+8=0的交点为（﹣，5=0，则﹣3a+6﹣，ax+3y﹣5=0过（﹣32）若直线；解得
，），过定点（由ax+3y﹣5=00
；，a=3﹣5=0与x+y+1=0平行，得ax+3y
若
．a=平行，得ax+3y若﹣5=0与2x﹣y+8=0﹣6，
a组成的集合为{．}所以满足条件的
{故答案
为}．
本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论点评：的数学思想方法，是基础题．
*则函数N∈，=1+2+3+…+n，511．（分）设
Sn n．的最大值为
考等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义．
点：
专计算题．
题：
代简将其代入分由题意求出S的表达式，n 析：后求其最值即
可．
解解：由题意S=1+2+3+…+n=n答：
===∴
时成立=等号当且仅当≤
故答案为
项公式以及利用基本不等n点本题考查等
差数列的前求解本题的关键是将所得的关系式转化为式求最值，评：
利用基本不等式可以利用基本不等式求最值的形式，其特征是看是求最值是最值的一个比较常用的技巧，否具备：一正，二定，三相等．
，4）（0）过点A4，：12．（5分）直线lx=my+n （n＞
n若可行域的值是的外接圆直径为，则实数 6 ．2或
考简单线性规划的应用．
点：
专不等式的解法及应用．
题：
分令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B 点，则得可析：行域是三角形 OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值
解解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0）
，点答：x直线，4 ），n＞0）经过点A （4∵直线x=my+n
（
），4，4 ﹣y=0也经过点A
（
）经过一、二、四象限n＞0∴直线x=my+n （0
∴m＜，且∠AOB=60°∴可行域是三角形OAB
，∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为
由正弦定理可得，=2R=
?sin∠60°=8=∴AB=
6
∴n=2或．6故答案为：2或
本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中点的方程， n评：根据已知条件，结合正弦定理，构造关于是解答本题关键．），0ll，若经过点（a3513．（分）过点（1，）作直线 2 条．的个数为则可作出的N*ba，b0和（，）且，∈，l
考直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
：点探究型；直线与圆．专：题的斜率，写l，b）求出a，0）和（0分由l经过点（，）可得=1出直线方程的点斜式，代入点（ a，
0析：
，则答案可求．，b求出满足该式的整数对a+3 ）﹣1的表达式为y=（x解：由题意可得直线L解
答： =1，），可得+3=b 变形得因为直线l 经过（a，0
，和a=4a=2，b=6因为a，b都属于正整数，所以只有符合要求b=4﹣y=）+3和﹣3（x ﹣1所以直线l只有两条，即y= ．）+3（x ﹣1 ．故答案为2本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率点评：的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．
aR ，则，且满足c5分）若a ，b ，∈．14（ ．，5] 的取值范围是[1
考函数与方程的综合运用．
点：
专应用题．
题：
分根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a 析：的不等式，解之，即可得到 a 的取值范围．
2解解：∵a ﹣bc ﹣2a+10=0，
2
﹣bc=a ∴2a+10
答：
22∵b+bc+c ﹣12a ﹣15=0．
22∴b+bc+c=12a+15．
22∵b+bc+c ≥bc+2bc=3bc
2∴12a+15≥3（a ﹣2a+10）
2∴a ﹣6a+5≤0
∴1≤a ≤5
∴a 的取值范围是[1，5]
故答案为：[1，5]
点本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查评：学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问
题转化为关于a的不等式是解题的关键．
二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈
R．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）
的值．
考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及点：其求法；复合三角函数的单调性．
专计算题．
题：
分（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，析：，结合正弦函数的性质可
求周期、函数的最大值
（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得
cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．
（1）∵解：解
答： =sinxcos
=
，∴
=2
f（x）∴T=2π，max）2（∵
∴cosαcosβ=0，∵
∴
点本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的评：应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦
公式的应用．
16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B 之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，
∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求
AB之间的距
离．
考解三角形的实际应用．
点：
专计算题；应用题．
题：
分先在△ACD中求出∠CAD、∠ADC的值，从而可得到析：AC=CD= ，然后在△BCD中利用正弦定理可求出BC
的长度，最后在△ABC中利用余弦定理求出AB的长度即可．
解解：在△ACD中，∠ACD=120°，答：∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD= km
在△BCD中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°
=，=∴BC=∵
在△ABC中，由余弦定理得：
222×cos75°=3+2+﹣+（）AB﹣=2
=5
∴AB=km
答：A、B之间距离为km．
点本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的评：综合运用．解三角形在高考中是必考内容，而且属
于较简单的题目，一定要做到满分．
17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x 轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；
（2）求v=|PA|?|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．
考直线和圆的方程的应用．
点：
专直线与圆．
题：
分（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代析：数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；
（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|?|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．
解解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：
答：∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b
＞0，∴a＞2．
==．
当且仅当a﹣2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此
b=1+
时．
，即； ∴，此时l ：
，）知， ）由（（21
，∵
∴ ．
时等号成立，a=3，即当且仅当 ．此时b=3 ，此时=4∴ux+y=3：l ，
即．
min
点本题考查了直线方程的应用，训练了利
用基本不等式评： 求最值，解答的关键在
于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．
18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，
这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3
千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．
考简单线性规划．
点：
专应用题．
题：
分先设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其析：利产值为 z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设
z=600x+400y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y过可行域内的点时，从而得到z值即可．
解解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，答：其利产值为 z元，
根据题意，可得约束条件为…（3分）
作出可行域如图：…．（5分）
目标函数z=600x+400y，
作直线l：3x+2y=0，再作一组平行于l的直线l：003x+2y=z，当直线l经过P点时
z=600x+400y取得最大值，…．（9分）
，解得交点P（ 7.5，35）…．（12分）由所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）
所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）
点本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等评：式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法
的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．
19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且2x≤f（x）≤（x+1）对一切实数x恒成
立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式；
（3）证明：+…+＞
2．
考二次函数的性质．
点：
专函数的性质及应用．
题：
分（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系析：数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．
2+1）对一切实数x）≤（x解解：（1）因为
x≤f（x
答：恒成立．
所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，
所以f（1）=1．
2（2）设二次函数f（x）=ax+bx+c，a≠0，
因为f（1）=1，f（﹣1）=0，
所以
a+c=b=．
因为f （x ）≥x 对一切实数x 恒成立，
2
）x+c ≥0，所以必有，﹣1ax+（b 即 0．ac ，，所以c ＞解得a ＞0
因为取等号，，当且仅当a=c=
所以．
）因为3（， 所以．+…+＞
+…+ 故不等式＞2成
立．
点本题主要考查二次函数的图象和性质以
及利用放缩评：法证明不等式，综合性较强．
20．（16分）（2011?朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k 项为a（m，k=1，2，3，…，mk n，n≥3），公差为d，并且a，a，a，…，a成等差nn1n3nm2n 数列．
（Ⅰ）证明d=pd+pd（3≤m≤n，p，p是m 的多项式），2m11221并求p+p的值；21
（Ⅱ）当d=1，d=3时，将数列d分组如下：（d），（d，221m1d，d），（d，d，d，d，d），…（每组数的个数构成等94768534差数列）．设前m 组中所有数之和为（c）（c＞0），求mm数列的前n项和
S．
n（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N
时，对于（Ⅱ）中的S，求使得不等式成立的所有N的
值．
n
考等差数列的性质；数列与不等式的综合．点：
专综合题；压轴题．
题：
分（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利析：用通项公式表示出数列 a，a，a，…，a中的第nn3n1n2n项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d是首项d，公差为d﹣d的等差121n 数列，根据等差数列的通项公式表示出d的通项，m令p=2﹣m，p=m﹣1，得证，求出p+p 即可；2211（Ⅱ）由d=1，d=3，代入d中，确定出d的通项，m12m根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，
利用等差数列的前n 项和公式表示出之和，2从而表示出前m 个奇数的和，又前m 组中所有数之4和为（c ）（c ＞0），即可得到c=m ，代入中确
mmm
定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数
列的前n 项和S ，记作①，两边乘以2得到另
n
一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n 项和S n
的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d 和S 的通项公式代入已知的nn 不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f （n ），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n ≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N 不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N 从5开始到20的连续的正整数．
解解：（Ⅰ）由题意知a=1+（n ﹣1）d ． mmn
答：则 a ﹣a=[1+（n ﹣1）d]﹣[1+（n ﹣1）d]=（n ﹣122n1n 1）（d ﹣d ）， 12同理，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ），a ﹣a=（n ﹣1）3n3n322n4n （d ﹣d ），…，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ）． 1nnn ﹣n （4n ﹣31）n 又因为a ，a ，a ，a 成等差数列，所以a ﹣a=a 3n2nnn3n1n1n2n ﹣a=…=a ﹣a ． n ）2nnnn ﹣1（故d ﹣d=d ﹣d=…=d ﹣d ，即d 是公差为d ﹣d 11n322n2﹣n1的等差数列． 所以，d=d+（m ﹣1）（d ﹣d ）=（2﹣m ）d+（m ﹣1）112m1d ． 2令p=2﹣m ，p=m ﹣1，则d=pd+pd ，此时p+p=1．（422111m212分） *（Ⅱ）当d=1，d=3时，d=2m ﹣1（m ∈N ）． m12数列d 分组如下：（d ），（d ，d ，d ），（d ，d ，d ，7m251346d ，d ），． 98按分组规律，第m 组中有2m ﹣1个奇数，
2所以第1组到第m 组共有1+3+5+…+（2m ﹣1）=m 个奇数． 2，=k ） 2k 注意到前k 个奇数的和为1+3+5+…+（﹣12224所以前m 个奇数的和为（m ）=m ．
444．） 组中所有数之和为m=m ，所以（c 即前m m 因为c ＞0，所以c=m ，从而． mm234n ﹣1所以
S=1?2+3?2+5?2+7?2+…+（2n﹣3）?2+（2n nn ﹣1）?2.2S n234nn+1．①?2 2n﹣1（2n﹣3）?2=1?2）+3?2++5?2（+…+234nn+1故
2S=2+2?2+2?2+2?2+…+2?2﹣（2n﹣1）?2=2n23n （2+2+2+…+2）﹣2﹣（2n﹣1）n+1n+1?2==（3﹣2n）2﹣6．②
n+1 9分）+6．（（2n﹣3）2=②﹣①得：S n*）3
（2n﹣∈N），S==2n（Ⅲ）由（Ⅱ）得d﹣1（n nn*n+1．∈N）2+6（n n+1．1）＞50（2n即故不等式，（2n﹣3）2﹣n+12n（﹣1）=2n（2n ﹣3）2﹣50（考虑函数f（n）=n+1．﹣50）﹣100﹣3）（22n）＜0，即（n4，5时，都有f（3当n=1，2，，n+11）．＜50（2n﹣）﹣32 ，050）﹣100=602＞=9而f（6）（128﹣）＞n）单调递增，故有f（n注意到当n≥6时，f （．0n+1）成立，﹣12＞50（2n3时，因此当n≥6（2n﹣）成立．即14（．7，6，，…，20N=5所以，满足条件的所有正整数分）n 点此题考查学生灵活运用等差数列的通项
公式及前项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列评：的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是
一道中档题．。