高考冲刺押题系列(数学理)专题 圆锥曲线(上)
2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案
黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。
圆锥曲线大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
圆锥曲线大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东·统考一模）已知点A ，点B 和点C 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足0OA OB OC ++= ，求ABC 的面积.2．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.3．（2023·广东湛江·统考一模）已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB 的周长为8．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．4．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C 以20x =为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3.(1)求双曲线C 的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TF PQ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.5．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为且经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求1ABMF 的最大值．6．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A ，B 是椭圆22:143x y C +=上关于坐标原点O 对称的两点，点()4,0D ，连结DA 并延长交C 于点M ，连结DB 交C 于点N ．(1)若A 为线段DM 的中点，求点A 的坐标；(2)设DMN ，DAB 的面积分别为12,S S ，若1237S S =，求线段OA 的长．7．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点(3,A，且渐近线方程为0x =.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，过点()10B ,的直线l 交双曲线C 于点M 、N .直线MA 、NA 分别交直线1x =于点P 、Q ，求PB BQ的值.8．（2023·江苏·二模）如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．(1)设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.(2)若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．9．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2,2P ，且P 与E 的两个顶点连线的斜率之和为4．(1)求E 的方程；(2)过点()1,0M 的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点（异于点P ）．设直线BC 与x 轴垂直且交直线AP 于点C ，若线段BC 的中点为N ，证明：直线MN 的斜率为定值，并求该定值．10．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，斜率为3-的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，点(4,M -在双曲线C 上，且1224MF MF ⋅=.(1)求12MF F △的面积；(2)若0'+= OB OB （O 为坐标原点），点()31N ,，记直线,'NA NB 的斜率分别为12,k k ，问：12k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.11．（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为率为2，直线():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .(1)求E 的方程；(2)设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.12．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点P 到点F的距离与到直线x =(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的直线l 与C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点M ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求||||AB MN 的取值范围．13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆22195x y +=的右顶点为A ，左焦点为F ，过点F 作斜率不为零的直线l 交椭圆于,M N 两点，连接AM ，AN 分别交直线92x =-于,P Q 两点，过点F 且垂直于MN 的直线交直线92x =-于点R ．(1)求证：点R 为线段PQ 的中点；(2)记MPR △，MRN △，NRQ △的面积分别为1S ，2S ，3S ，试探究：是否存在实数λ使得213S S S λ=+？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．14．（2023·江苏·统考一模）已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.15．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2221x y aΓ+=：，(1)a >的上、下顶点是1B ，2B ，左，右顶点是1A ，2A ，点D 在椭圆Γ内，点M 在椭圆Γ上，在四边形12MB DB 中，若11MB B D ⊥，22MB B D ⊥，且四边形12MB DB 面积的最大值为52．(1)求a 的值．(2)已知直线1x my =+交椭圆Γ于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：当m 变化时，存在不同于2A 的定点T ，使得2A S ST =．16．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为2，椭圆W 上的点与点()0,2P 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线4x =上，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1,PB PB 分别交椭圆W 于,C D 两点（不同于P 点）.求证：直线CD 过定点.17．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆方程为22122:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆的1C的焦点12,F F 分别做x 轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆1C 的离心率.(2)若椭圆1C 的顶点恰好是双曲线2C 焦点，椭圆1C 的焦点恰好是双曲线2C 顶点，设椭圆1C 的焦点12,F F ，双曲线2C 的焦点12,,F F A ''为1C 与2C 的一个公共点，记12F AF ∠α=，12F AF ∠β''=，求cos cos αβ⋅的值.18．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点()0,2P -，点,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右顶点，直线BP 交C 于点,Q ABP 是等腰直角三角形，且32PQ QB = .(1)过椭圆C 的上顶点M 引两条互相垂直的直线12,l l ，记C 上任一点N 到两直线12,l l 的距离分别为12,d d ，求2212d d +的最大值；(2)过点()4,0H 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于,E F 两点试问：是否存在x 轴上的定点G ，使得EGO FGH ∠∠=.若存在，求出定点G 的坐标；若不存在，说明理由.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.20．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为)，右焦点到双曲线的渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()()2,1,2,1A B -，点C 在线段AB 上（不含端点），过点C 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,P Q ．连接PQ ，并过PQ 的中点F 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,D E ，求DEF 面积的最小值．21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为2．点()4,2P ，直线l ：210x y +-=．(1)证明：直线l 与椭圆C 相交于两点，且每一点与P 的连线都是椭圆的切线；(2)若过点P 的直线与椭圆交于,A B 两点，与直线l 交于点Q ，求证：PA QB PB AQ ⋅=⋅ ．22．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．(1)若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知抛物线22y px =()0p >，点1P 为抛物线焦点.过点1P 作一条斜率为正的直线l 从下至上依次交抛物线于点1A 与点1B ，过点1B 作与l 斜率互为相反数的直线分别交x 轴和抛物线于2P 、2A .(1)若直线12A A 斜率为k ，证明抛物线在点1B 处切线斜率为k -；(2)过点t A ()*N ,>1t t ∈作直线分别交x 轴和抛物线于21t P -、t B ，过点t B 作直线分别交x 轴和抛物线于2t P 、1t A +，且*N t ∀∈，直线t t A B 斜率与直线1t t A B +斜率互为相反数.证明数列{}1n n P P + 为等差数列.24．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆()222210x y a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B .在椭圆上任取两点C ，D ，直线CD 斜率存在且不过A ，B .BC 交AD 于1P ，AC 交BD 于2P ，直线CD 交y 轴于R ，直线AC 交x 轴于1Q ，直线BD 交x 轴于2Q .(1)若a ，b 为已知量，求1OR OP ⋅ ；(2)分别作1P E ，12Q F P B ⊥于E ，F ，求112112PE Q Q Q F PP ⋅⋅ .25．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，对称轴为x 轴、y 轴，且点和点)2在椭圆C 上，椭圆的左顶点与抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点F 的距离为4.(1)求椭圆C 和抛物线Γ的方程；(2)直线():0l y kx m k =+≠与抛物线Γ变于,P Q 两点，与椭圆C 交于,M N 两点.（ⅰ）若m k =，抛物线Γ在点,P Q 处的切线交于点S ，求证：22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）若2m k =-，是否存在定点()0,0T x ，使得直线,MT NT 的倾斜角互补?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．27．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设点A 为双曲线22:13y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．(1)求直线,AP AQ 的斜率之和;(2)设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．28．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，O 为坐标原点，,02a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为椭圆C 的长轴上的一点，若45BPO ∠=︒，且△OPB 的面积为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率分别为AM k ，AN k ，且112AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN 面积的最大值．29．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.30．（2023·浙江温州·统考二模）已知点12,F F 分别是双曲线2212:C x y -=的左右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于,P A 两点，点P 在第一象限．(1)求点P 横坐标的取值范围；(2)线段1PF 交圆222:(2)8C x y ++=于点B ，记2211,,PF B AF F PAF 的面积分别为12,,S S S ，求12S S S S +的最小值．。
高考数学冲刺—圆锥曲线大题压轴汇编解析
圆锥曲线大题压轴汇编1、椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；解：（1）2a =，又1c =，∴b ==∴椭圆方程为22143x y +=…4分 （2）直线:1l y x =-+，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得27880x x --=，有1287x x +=，1287x x ⋅=-．………………7分 12121212121212121233222()4144444()162y y x x x x x x k k x x x x x x x x ------+++⋅=⋅=⋅==-----++………………9分 （3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设3(1,)2A ，3(1,)2B -， 则13312412k -==-，13332412k +==-，故122k k +=．…………11分 当直线AB 的斜率存在时，设其为k ，则直线AB ：(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(43)8(412)0k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+．………………13分 12121212121212121233332(53)()8(3)44444()16y y kx k kx k kx x k x x k k k x x x x x x x x -------+++++=+=+=-----++222222222241282(53)8(3)72(1)43432412836(1)4164343k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅+++++===-+-⋅+++……………16分2、设椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．解：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =， ……………………………2分因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． ……………………………4分 （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=， 由于Q 是椭圆M 上的点，故可设3(cos ,sin )3Q θθ， ……………………………6分所以3cos sin 1312222APQ S θθ∆-+=⨯⨯ ……………………………8分123cos()1436πθ=++ 当2()6k k πθπ+=∈Z ，即2()6k k πθπ=-∈Z 时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆的最大值为3164+． ……………………………10分 xy法二：由图形可知，若APQ S ∆取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方． …………………………6分 设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，由0∆=，可得t =0t <，故t =． …………………………8分 所以APQ S ∆的最大值1124==． ……………………………10分 （3）直线AD 方程为1(1)y k x =+，代入2231x y +=，可得2222111(31)6310k x k x k +++-=，21213131A D k x x k -⋅=+，又1A x =-，故21211313D k x k -=+，21112211132(1)1313D k k y k k k -=+=++， ………………12分 同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得211k k =且11k ≠±， 所以212133E k x k -=+，12123E k y k =+，112211122211122112231323133(1)313E D DE E D k k y y k k k k x x k k k k k --++===---+-++， 直线DE 的方程为21112221112213()133(1)13k k k y x k k k --=-+++， ………………14分 令0y =，可得22112211133(1)21313k k x k k -+=-=-++． 故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分 （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得222(3)210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++，………12分 又12111(1)(1)D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得22(1)(1)()(1)0D E D E t y y t s y y s -+++++=， ………………14分故2222212(1)(1)(1)033s tst t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-．所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分3、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x yN a b.（1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N ，求OM ON 的取值范围； （3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积．解：（1）解.设N （,x y ）由题意 00x x ay y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则00x ax y by =⎧⎨=⎩，又2200221(0)x y a b a b +=>> ∴2222()()1(0)ax by a b a b+=>>，从而得221x y +=……………………3分（2）由112a=，得2a =.又221914a b +=，得b =分点00(,)M x y 在椭圆上，2200143x y +=，2200334y x =-，且2004x ≤≤，∴222000002(,)(,224x x OM ON x y x -=⋅=+=由于204->，OM ON的取值范围是2⎤⎦……8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+, 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x kmx m +++-=； 有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① ……10分 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得: 22342k m +=,………………………… 12分又点O 到直线y kx m =+的距离d =所以12OAB S AB d ∆==分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)3404m m --⋅=，解得22m =,从而232y = , 综上:OAB ∆的面积是定值,分4、设双曲线Γ的方程为2213y x -= .过其右焦点F 且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于,A B 两点, 直线2l 的方程为x t =, ,A B 在直线2l 上的射影分别为,C D (1) 当1l 垂直于x 轴, 2t =-时, 求四边形ABDC 的面积;048,0,043222>=∆>∴>+m m k 2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=3212121=-==∆y y m d AB S OAB(2) 当0t = , 1l 的斜率为正实数, A 在第一象限, B 在第四象限时, 试比较||||||||AC FB BD FA ⋅⋅和1的大小,并说明理由;(3) 是否存在实数(1,1)t ∈- , 使得对满足题意的任意直线1l , 直线AD 和直线BC 的交点总在x 轴上, 若存在, 求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置; 若不存在, 说明理由.4、(1) 右焦点的坐标为(2,0)F . 故1:2l x =. （1分）联立222,13x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得3y =±. 故||6AB =, （3分） 又||4AC =, 故四边形ABDC 的面积为24. （4分）(2) 设1l 的方程为2x my =+, 这里0m >. 将1l 的方程与双曲线方程联立, 得到223(2)30my y +--=, 即22(31)1290m y my -++=. （6分）由120y y <知2310m -<, 此时,||||||||||||||||||||A B B A x y AC FB AC BF BD FA BD AF x y ⋅=⋅=⋅==⋅（8分）由于212031A B my y m -=+>-, 故0A B y y >->, 即||||0A B y y >>, 故2211A B y y <. 因此||||1||||AC FB BD FA ⋅<⋅.（10分） (3) 设直线:2AB x my =+, 与2213y x -=联立得 22(31)1290m y my -++=. (有两交点表示m ≠) 设(,)A A A x y , (,)B B B x y , 则(,)A C t y , (,)B D t y .,A B x x 的绝对值不小于1, 故A x t ≠, 且B x t ≠. 又因直线斜率不为零, 故A B y y ≠.直线AD的方程为B A B A y y x ty y x t--=--. 直线BC 的方程为A B A B y y xty y x t--=--. （12分） 若这两条直线相交在x 轴上, 则当0y =时, 两方程的x 应相同, 即()()B A A B A B B Ay x t y x t x t t y y y y ----=+=+--.故(2)(2)0A B B A y my t y my t +-++-=,即2(2)()0A B A B my y t y y +-+=. （14分） 现2931A B y y m =-, 21231A B my y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切33m ≠±都成立. 即182412t =-, 12t =. （16分） 此时交点的横坐标为()B A A By x t x t y y --=+-2()(2)(2)11125222224A B BB A A B A B ty y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. （18分） 综上, t 存在, 12t =, 此时两直线的交点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.5、已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()1,n k =，求∆AOB 面积的最大值.【解】（1）232=+=m PC ，解得1±=m ………1分，所以点()0,1±P ………2分由于122=-=b a c ，………3分故Γ的焦点为()0,1±，所以P 在Γ的焦点上………4分.（2）设()y x D ,，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41322x y ………5分()324122222++-=+-=m mx x y m x PD （其中22≤≤-x ）………7分 对称轴m x 4=0>，所以当2-=x 时，PD 取到最大值3，………8分 故9442=++m m ，即0542=-+m m ，解得5-=m 或1=m ………9分 因为0>m ，所以1=m .………………10分（3）l :03=+-ky x ,………11分,将直线方程与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340322y x ky x ，消去x 得，()03364322=--+ky y k ………12分 其中0>∆恒成立。
高考数学复习：圆锥曲线的综合应用押题
1．已知
F1， F 2 是椭圆
x2＋ y2＝ 1 4
的左、右焦点，点
→→ P 在椭圆上运动，则 PF 1·PF 2的最大值是 (
)
A ．－ 2
B．1
C．2
D．4
→→ 解析：设 P(x，y) ，依题意得点 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0) ，PF 1·PF 2＝ (－
则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ________．
解析：双曲线
C： xa22－ yb22＝ 1 的一条渐近线
为
y＝
b ax，
联立
y2＝ x，
b y＝ax
消去
y，得
b a
2
2x2＝
x.
由
x0＞
1，知
b2 a2
＜1，
b2＜
a2.
所以
e2＝
ca22＝
a
2＋ a2
b
2
＜
2
，因此
1＜ e＜
2.
答案： (1， 2)
→→ ＝ 2，所以 FP ·FQ 的最小值为 3.xkw
答案： 3
→ |FQ |min
8．已知抛物线 y2＝ 4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足
分别为 C， D，则 |AC|＋ |BD |的最小值为 ________．
解析：不妨设 A(x1， y1)(y1＞ 0)， B(x2 ，y2 )(y2＜ 0)．
7．已知抛物线 C： x2＝ 8y 的焦点为 F ，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点 P，
→→ 则 FP ·FQ 的最小值为 ________．
专题11：圆锥曲线(七大题型)-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义
2024届新高考二轮复习第十一讲：圆锥曲线1.（2）椭圆x 22y a a+=>21(1)的离心率为 1，则a =2（）A.B.C.D. 2x y 22222. （8）设双曲线C a b :1(0,0)-=>>的左、右焦点分别为F F a b,12，过坐标原点的直线与C 交于,A B两点， 11222,4F B F A F A F B a =×=uuur uuur 2，则C 的离心率为（）A.B. 2C.D.23. 已知抛物线:4C y x =,两点，过F 与l 垂直的直线交C 于的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A B ,D E ,在x 轴上方，两点，其中B D M N ,分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求V GMN 面积的最小值．题型一：椭圆的方程【典例例题】x 例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C ：42+=y 21的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，则（1.（2024春·河南省）若椭圆C 1和C 2的方程分别为x y 22a b +=>>ab 221(0)x y 2222+=和a b l （a b >>>l 0,0222212:1,:(01)4343x y x y 且l ¹1）则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C Cl l +=+=<< ，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且uuuu r uuu rPM PN +=0，则△MON 的面积最大时，l 的值为（）A.13B.12C.34D.·湖南长沙）题型二：椭圆的离心率【典例例题】1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆C ：x y 2222+=1（a b >>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2a b，左、F MF 212p右顶点分别为A 1，A 2，点M 在C 上，且Ð=7 A MA 1212p，则椭圆C ，Ð=的离心率为（）A.2B.4-C.12·湖北武汉）已知椭圆3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆x 22y a 21(1)，V ABC 是以点B (0,1)a+=>为直角顶点的等腰直角三角形，直角边,BA BC ,．若这样的V ABC 与椭圆分别交于另外两点A C 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．4.（2024春·河北）如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点1F c (,0)，A 、B 、C 、D (-,0)，2F c 是它222+=上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q 们的公共点，且都在圆x y c ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1×，则k k 12的值为（）A. 2 B.23C.4 D. 34题型三：双曲线的方程【典例例题】A ．4πB ．5πC ．9πD ．13π【变式训练】题型四：双曲线的离心率【典例例题】x y 22:1(0,0)22C a b a b -=>> 的一条弦AB 所在直线的倾斜角为75o，点B2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线关于原点O 的对称点为B 1，若ÐBAB 1=30o，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=（）A ．3B ．2+3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线满足12AF AF ^，直线AF 2交双曲线于另一点题型五：抛物线【典例例题】题型六：直线与圆锥曲线的位置关系【典例例题】22x 22y 例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆C :a =1(a >b >0)b+的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，(0,是椭圆上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为C 的左顶点，过F 2的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 分别交直线x =4于M 、N 两点，B 是线段MN 的中点，在x 轴上求出一定点D ，使得BD PD ^.【变式训练】·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆22x 22y 2.（2024春·广东惠州）已知椭圆C :a =1(a >b >0)b +，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1（1）求椭圆C 的方程：2=2相交于（2）直线l （不过原点O ）与抛物线x y M N ,两点，以MN 为直径的圆经过原点O ，且此直,两点，求V OAB 面积的最大值及此时直线l 的方程线l 也与椭圆C 相交于A B .)3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系xOy 中，点F ((,)是平面内的动点.若以，点P x y PF 22+=内切，记点P 的轨迹为曲线E 为直径的圆与圆O x y :4．（1）求E 的方程；（2）设点A (0,1)，M t (,0)，()(4,02N t t )，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T -¹异于A ），AH ST ^，垂足为H ，求OH 的最小值．的焦点为F ，圆M ：x y 22++=(4)1．点T (2,1)2=4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C ：x py 2是抛物线C 上一点，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求V PAB 面积的最大值．题型七：圆锥曲线新颖题型【典例例题】【变式训练】(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和双曲线的标准方程；(2)过点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，与BE 的中点．问：22CD HF BE GF ××一、单项选择x y 1.（2024春·江西省）椭圆25922+=1x y )22(k +=<19 与椭圆259--k k 的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等A ．椭圆C 的中心不在直线C ．直线O O 12与椭圆D ．椭圆C 的离心率为6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角三、简答题(0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于2229.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C 1：x y b y +=£E点，半椭圆C 2：2222y x +=1(y a b >>>0,0)的上焦点为F ，并且△ABF a b的等边三角形，将由C 1、C 2构成的曲线，记为“Γ”．（1）求实数a 、b的值；（2）直线l ：y =与曲线Γ交于M 、N 两点，在曲线Γ上再取两点S 、T （S 、T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT 的面积最大，求此最大面积；(0,)(t ÎR )，P 是曲线Γ（3）设点K t 上任意一点，求 PK 的最小值．22++-=2150的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 10. （2024春·广东省潮州市）设圆x y x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线x y 2222a b 的左、右焦点分别为F 1，F 2-=>>a b 1(0,0)，离心32^时，△BF F 12，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．当2BF l 的面积为率为5．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l 与y 轴交于点M ，且=MA AF l uuu r uuur 1，MB BF uuur uuur =m 1，求证：l m +为定值．。
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题（含答案解析）1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=−时取等号，故PH（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号，故CD2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ AB∥；③||||MA MB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c=,∵渐近线方程为y=，∴ba=∴b=，∴222244c a b a=+==，∴1a=，∴b=∴C的方程为：2213yx−=；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12x x=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上，等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−；两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中，得：()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=， 综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =−；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立； 选①③推②：由①③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴003ky x =，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴02623x k −=−，∴()2002ky k x =−，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ−取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =−，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时=32pMF p +=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=，120,4y y ∆>=−，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−，34223434444AB y y k y y y y −==+−， 直线112:2x MD x y y −=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=， 130,8y y ∆>=−，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===， 若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++， 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=， 34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x +. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k −++=，121x x =,同理，124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=，34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x =+. [方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-， 反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =−，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =−， 由N 、D 、B 三点共线，得248y y =−，则3412416y y y y ==−，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ−最大时，AB k =:4AB x =+. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B −−，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =−，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程：(22y x =−，过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−， 将(0,2)−，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).−5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，所以224111a a −=−，解得22a =，即双曲线22:12x C y −=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m −−−−=， 所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−，()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k ．所以由0AP AQk k +=可得，212111022y y x x −−+=−−， 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=， 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭， 化简得，()2844410k k m k +−++=，即()()1210k k m +−+=，所以1k =−或12m k =−，当12m k =−时，直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ，与题意不符，舍去， 故1k =−．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+，解得tan α=（负值舍去） 此时P A 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−，解得tan α，于是，直线):21PA y x =−+，直线):21QA y x =−+，联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得，)23241002x x ++−，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，103Q x +=，Q y=53−． 所以5:03PQ x y +−=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=． ［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α=1112y x −−，联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ，同理，2x 2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x −，2||2|AQ x −，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．。
【备战】高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(上)理(教师版)
考前30天之备战高考理数冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线（上）（教师版）【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、 主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；2、 认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、 熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、 调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】【押题1】如图，已知椭圆2222b y ax +1=（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点(0,)A b - 和(,0)B a 的直线与原点的距离为23.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在实数k ，使以CD 为直径的圆过E 点? 如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM【押题3】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（1）求12y y 的值；（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12kk 为定值．【深度剖析】押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知112234k y y k y y +=+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可. 名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：1、直线的方程；2、根与系数的关系；3、两点间的斜率公式；4、抛物线的方程.【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B.（1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b +=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.所以()221212221212121131133999y y y y AC BC y y y y y y t t t -⎛⎫-+=⋅-=⋅=-⋅⎪+++⎝⎭222222261081212311449144427939912t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+++⨯⎝⎭=-⋅=⋅=-+++， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222ab c .由题意可知：1b，32c a ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.∴QA QB ⊥. 即QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =.【深度剖析】押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由“椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,”可以求出椭圆方程；（2）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，算出A ，B 两点的坐标，可以求得AQ BQ ⊥，由此确定角度；（ⅱ）联立直线和椭圆的方程，可以求得∴ QA QB ⊥,即QAB ∆为直角三角形；取AB 的中点M ，连接QM ，要是QAB ∆为等腰三角形，则QMAB ，转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可.名师押题理由：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强： 1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率； 5、根与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.【名校试题精选】【模拟训练1】如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅=（1） 求抛物线C 的方程；（2） 直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………12分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分【深度剖析】名校试题来源：-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用抛物线的定义可以求出p ，进而求出抛物线的方程；（2）先求出直线DE 的方程“x my n =+”，利用“2AD AE k k ⋅=”得到关于m 、n 的数量关系，进而得到定点的坐标.【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。
高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且 ，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
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2013高考理数冲刺押题系列专题05 圆锥曲线（上）（教师版）【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】【押题1】1（a＞b＞0，过点和(0,)A b-(,0) B a的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在实数，使以为直径的圆过点? 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．ECD kkDC2(0)y kx k=+≠(1,0)E-23【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM【押题3】如图，已知抛物线24y x 的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（1）求12y y 的值；（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．【深度剖析】 押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知112234k y y k y y +=+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可.名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：1、直线的方程；2、根与系数的关系；3、两点间的斜率公式；4、抛物线的方程.【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B. （1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.所以()2212122212121111999y y y y AC BC y y y y t t t -⎛⎫-+=-== ⎪+++⎝⎭222222610812121449144427399t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+++⨯⎝⎭===-++， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)3,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c .由题意可知：1b，3ca ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.∴QA QB ⊥. 即QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =.【深度剖析】 押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由“椭圆C 过点(0,1)，3”可以求出椭圆方程；（2）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，算出A ，B 两点的坐标，可以求得AQ BQ ⊥，由此确定角度；（ⅱ）联立直线和椭圆的方程，可以求得∴QA QB ⊥,即QAB ∆为直角三角形；取AB 的中点M ，连接QM ，要是QAB ∆为等腰三角形，则QMAB ，转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可.名师押题理由：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强： 1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率； 5、根与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.【名校试题精选】【模拟训练1】如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅=（1） 求抛物线C 的方程；（2） 直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………12分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用抛物线的定义可以求出p ，进而求出抛物线的方程；（2）先求出直线DE 的方程“x my n =+”，利用“2AD AE k k ⋅=”得到关于m 、n 的数量关系，进而得到定点的坐标.【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。
】（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.【深度剖析】名校试题来源：2012-2013辽宁省五校协作体高三第一学期期末考试 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）“F 2在线段PF 1的中垂线上”说明“122||||F F PF ”，再结合题设条件建立关于建立关于参数a 、b 、c 的方程组，进而求出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程，利用“220F M F N k k +=”，找出直线MN 方程的参数关系，进而求出定点坐标.【模拟训练3】已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6. （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，…… 10分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省珠海市高三上学期期末考 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）由题设条件可以列出“⎪⎩⎪⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a ”，进而确定椭圆的方程；（2）由平面几何知识可知“222MF PM PF PO PF ≥+=+”，将问题转化为去求2MF 的长度.【模拟训练4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)C m n ． （1）若1m =，3n =ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．【详细解析】（1）法1：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∴42nt m =+，【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省佛山市高三上学期质量检测 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）设出圆的一般方程，带入点坐标进行求解；（2）直线与圆相切，证明圆心到直线的距离等于半径即可.【模拟训练5】椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点1(2,0)F -，点14P 在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设点C 的坐标为(1,0)，椭圆E 的另一个焦点为2F ．试问：是否存在椭圆上的点Q 及以C 为圆心的一个圆，使圆C 与直线12,QF QF 都相切，如存在，求出Q 点坐标及圆C 的方程， 如不存在，请说明理由．【详细解析】因为点在椭圆上，所以822020=+y x ，【模拟训练6】已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>652（１）求椭圆C 的方程；（２）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省“六校教研协作体”高三联考难度系数：★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）易知“6ca=、15222b c⨯⨯=，结合椭圆的参数关系可以求出a、b、c的值；（2）1、联立直线和椭圆的方程，利用根与系数的关系计算k；2、利用向量的数量积公式将其转化为根与系数的表达式进行探究.【模拟训练7】已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(123．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++， 亦即 2121106293k k y x k k -=--． 此时直线过定点2(0,)3-．…………………………………………………………15分 当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-． 综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-．……………………………………16分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013江苏省南通市高三数学调研难度系数：★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，利用点差法确定k 1的值；（3）求出直线MN 的方程，利用根与系数的关系以及k 1+k 2=1探究直线过哪个定点.【模拟训练8】已知两定点()()2,0,2,0E F-，动点P 满足0PE PF ⋅=，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，点M 满足()21PM MQ =-，点M 的轨迹为C. （I ）求曲线C 的方程；（II ）若线段AB 是曲线C 的一条动弦，且2AB =，求坐标原点O 到动弦AB 距离的最大值.【详细解析】【深度剖析】名校试题来源：2012-2013山东省潍坊市高三上学期期末考试难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）先求出动点P的轨迹方程，在利用PQ⊥x轴，求出曲线C的轨迹方程；（2）设出直线的方程y kx b=+，利用点到直线的距离关系计算出d；联立直线与椭圆的方程可以得到k和b的关系式，将d转化成b或k的函数进行讨论.【模拟训练9】已知椭圆M的对称轴为坐标轴, 2且抛物线242y=的焦点是椭圆M的一个焦点．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段,OA OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点. 求点O到直线l的距离的最小值．222222∆=-+-=+->，①…………7分k m k m k m164(12)(24)8(24)0【深度剖析】名校试题来源：2012-2013北京市昌平去区高三上学期期末质量抽查难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1））由已知抛物线的焦点为，又c e ==由，可以求出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程，列出点O 到直线l的距离：d =，结合基本不等式的条件进行判断.【模拟训练10】设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过 Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN|的长度为t ，若t∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．【深度剖析】名校试题来源：2012-2013江苏省南京市高三第一次模拟难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用△AB 1B 2是直角三角形，可以得到c=2b ，利用面积可知24b =，进而椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，将问题转化为22B P B Q ⋅进行计算，注意配合使用根与系数的关系；（3）设直线:l )2(+=x k y ，将面积构造为关于k 的函数，转化为题为求函数的值域问题.。