高考冲刺押题系列(数学理)专题 圆锥曲线(上)

2013高考理数冲刺押题系列专题05 圆锥曲线（上）（教师版）【名师备考建议】

鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：

1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本

性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；

2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理

可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；

3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少

少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；

4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题

出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.

【高考冲刺押题】

【押题1】

1（a＞b＞0，过点和

(0,)

A b-

(,0) B a

的直线与原点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在实数，使以为直径的圆过点? 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

E

CD k

k

D

C

2(0)

y kx k

=+≠

(1,0)

E-

2

3

【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21

=e ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足7

16

=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．

【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21

=e

∴

716

43486443484843162

22222121=+-=+-++=+=⋅k

k k k k y y x x ON OM

【押题3】如图，已知抛物线2

4y x 的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，

22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．

（1）求12y y 的值；

（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：

1

2

k k 为定值．

【深度剖析】 押题指数：★★★★★

名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，

22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知

112

234

k y y k y y +=

+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可.

名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：

1、直线的方程；

2、根与系数的关系；

3、两点间的斜率公式；

4、抛物线的方程.

【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12

，一个焦点是()1,0-,

过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B. （1）求椭圆Ω的方程；

（2）若在椭圆Ω：()22

2210x y a b a b

+=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.

求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.

（3）是否存在实数λ，使得

AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

所以()2

21212221212

1111999y y y y AC BC y y y y t t t -⎛⎫-+=-== ⎪+++⎝⎭2

22

222610812121449144427399

t t t t t t ⎛⎫

+ ⎪+++⨯⎝⎭===

-++， 即43

AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43

λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.

【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)3

,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知过点6(,0)5

-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.

① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;

② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.

【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，且2

22a b c .

由题意可知：1b

，

3

c

a ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=.

（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65

x =-

.