§3. 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量

坐标变换下都是不变的。设三个特征根为1, 2 , 3 则由
根与方程的系数关系有:
I1 1 2 3 , I2 12 23 31, I3 123
除了以上不变量外，我们还有以下半不变量的概念，
我们记:
K1
a11 a14
a14 a22 a44 a24
a24 a33 a44 a34
a34 , a44
I1 a11 a22,
I2
a11 a12
a12 a22
, I3
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 , a33
K1
a11 a31
a13 a22 a33 a23
a23 . a33
我们同样可以得到:
定理 3.1' I1 , I2 , I3 是二次曲线的不变量.
定理 3.2' 当 I2 I3 0 时, K1 是二次曲线的不 变
我们只给出(1)的证明。设 1, 2 , 3 是曲面的特征
根。
对应于 a11 x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0;
此时
I3 a11a22a33 0,
I1 a11 a22 a33
I2 a11a22 a22a33 a33a11, I4 a11a22a33a44 I3a44
§3. 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量
定义3.1 由曲面(曲线)方程的系数给出的函数，如
果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变，
就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量，简 称不变量。
设二次曲面的方程为(2.1)或(2.3)，记
I1 a11 a22 a33 ,
I2
a11 a12
(3) 当 I3 I4 0, I2 0
时,
1 x2
2 y2
K2 I2
0
;
(4) 当 I2 I3 I4 0, K2 0
时, I1 x2 2
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K2 y 0 I1
;
(5) 当 I2 I3 I4 K2 0
时,
I1 x2
K1 I1
0.
其中 1 , 2 , 3分别为二次曲面的非零特征根。
1 a11 , 2 a22 ,
3 a33 ,
a44
I4 I3
.
由特征方程的根与系数的关系立即知道:
于是简化方程可写成: 1 x2
同样，对二次曲线也有
a12 a11 a22 a13
a13 a22 a33 a23
a23 , a33
I3 A , I4 A .
定理3.1 I1, I2, I3, I4 是 二次曲面的不变量.
证明: 作任意一个直角坐标变换:
T 0,
(3.1)
其中,
T ( x, y, z), 'T
( x,
y,
z),
T 0
量.
利用不变量判别二次曲线类型
由定理2.1我们从五个简化方程出发，用不变量来描 述它们。有下面的定理：
定理3.3 二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：
(1) 当 I3 0 时,
1 x2
2 y2
3z2
I4 I3
0
;
(2) 当I3 0, I4 0 时, 1 x2 2 y2 2
I4 z 0 ; I2
另外:
TT (A E)T TT A-E T TT T A-E A E ,
因此得:
A E A E ,
将上式两边展开得:
3 I12 I2 I3 3 I12 I2 I3 .
由λ的任意性得: I1 I1, I2 I2 , I3 I3 .
T T
I
4
A
T 0
0 A
1 T
0T
TT A0
A0 T T T0 0T
a44
1
.(3.2)
(3.2)就是在新坐标系下的二次曲面的方程,即:
A T T AT ,
T T AT
A
T 0
AT
TT
T T A0
F ( x0 ,
y0
TT
, z0 )
.
因为T为正交矩阵，即TTT E,所以对任意实数λ，有:
TT (A E)T TT AT E ,
将变为(3.5)式:
( x
y
z
1)
a1'a1 1'2
a1'3 a1'4
a1'2
a2' 2
a2' 3 a2' 4
a1'3 a2' 3
a3'3
a3' 4
a1'4 a2' 4
a3' 4 a4' 4
x
y 0 z
1
3.5
其中,
A
(ai'j
)
是二次曲面
T
1
A
1
0
的矩阵
A (aij ) 经过坐标变换 T 后的二次曲面方程的矩
T 0
a44
0
1
TT 0 A
T 0
T 0
1 T
a44
0
1
TT A T A I4 . 于是 I1 , I3 , I3 , I4 是二次曲面的不变量.
我们称方程
A E 3 I12 I2 I3 0,
(3.3)
为二次曲面的特征方程，它的根称为二次曲面的
特征根. 由定理2.1知道特征方程和特征根在任意直角
( x0,
y0 , z0 ),
T是
正交矩阵.将(3.1)代入二次曲面方程(2.3)得到:
0
(TT T
T 0
A
1) T
a44
T 0
1
(T
TT
1) 0T
0 A
1 T
T
a44
0
0
1
1
(T
TTA 1) 0T A T
TT T
T 0
a44
0
0
1
1
(T
TT AT 1) 0T AT TT
a11 a12 a14 a11 a13 a14 a22 a23 a24
K2 a12 a22 a24 a13 a33 a34 a23 a33 a34
a14 a24 a44 a14 a34 a44 a24 a34 a44
定理3.2 在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标
旋转变换)下，K1, K2 是不变量，称为半不变量。
证明: 设直角坐标变换为 T ,其中，T是正交
矩阵。我们考虑如下二次曲面(3.4)式:
a11 a12 a13 a14 x
(x
y
z
1)
a12
a22
a23
a24
y
0
(3.4 )
a13 a14
a23 a24
a33 a34
a34 a44
z
1
其中λ是任意实数。经过坐标变换 T后 ，(3.4)
阵.由定理3.1知 I4 是不变量,因此:
A E A E
T
a44
'T
a44
(3.6)
A E 而 T
a44
a443 K12 K2
A
,因此比较
(3.6)式两边的λ 和 2的系数知道:
K
' 1
K1
,
K
' 2
K2
.
于是 K1, K2 在保持原点不动的直角坐标变换下是不
变的。
对于二次曲线方程(2.12),记: