第5节 基本不等式及其应用

第5节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x >2，则x ＋4x －2的最小值是( ) A .2B .4C .22D .6 解析 ∵x >2，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）×4x －2＋2＝4＋2＝6. 当x －2＝4x －2，即x ＝4时等号成立. 答案 D3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x <0，则x ＋1x ( ) A .有最小值，且最小值为2 B .有最大值，且最大值为2 C .有最小值，且最小值为－2 D .有最大值，且最大值为－2解析 因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2. 答案 D4.(2020·湖北八校联考)已知实数x 满足log 12x >1，则函数y ＝8x ＋12x －1的最大值为( ) A .－4B .8C .4D .0解析 由log 12x >1得0<x <12，∴－1<2x －1<0. y ＝8x ＋12x －1＝4(2x －1)＋12x －1＋4 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（1－2x ）＋11－2x ＋4≤－4＋4＝0，当且仅当4(1－2x )＝11－2x，即x ＝14时，取等号，故选D. 答案 D5.(多填题)(2019·广州一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m ，宽为y m .则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号. 答案 15 1526.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.答案14考点一利用基本不等式求最值多维探究角度1配凑法求最值【例1－1】(1)(2020·重庆一中月考)设0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.(2)若a>0，则a＋82a＋1的最小值为________.解析(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x＋（3－2x）22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y＝4x(3－2x)⎝⎛⎭⎪⎫0＜x＜32的最大值为92.(2)由题意可知a＋82a＋1＝a＋12＋4a＋12－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫a＋12×4a＋12－12＝72，当且仅当a＋12＝4a＋12，即a＝32时等号成立.所以a＋82a＋1的最小值为72.答案(1)92(2)72规律方法配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 角度2 常数代换法求最值【例1－2】 (2019·龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A .3B .5C .7D .9解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7. 答案 C规律方法 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值. 角度3 消元法求最值【例1－3】 若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B.23C.33D.233解析 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号，故x ＋2y 的最小值为223. 答案 A规律方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的取值范围.【训练1】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A .f (x )有最小值4B .f (x )有最小值－4C .f (x )有最大值4D .f (x )有最大值－4(2)(多填题)(角度2)若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，1a ＋2b 的最小值为________.(3)(角度3)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A .2B .3C .4D .6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )的最小值为4.(2)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －4＝0，∴a ＋2b ＝4，∴ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，∴ab 的最大值为 2.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为94.(3)由题意可得b ＋c ＝2－a >0，所以0<a <2.4a ＋1＋1b ＋c ＝4a ＋1＋12－a ＝4（2－a ）＋（a ＋1）（2－a ）（a ＋1）＝9－3a －a 2＋a ＋2＝3（3－a ）－（a －3）2－5（a －3）－4＝3－[（3－a ）＋43－a]＋5≥3×1－2×4＋5＝3，当且仅当a ＝1时等号成立，所以4a ＋1＋1b ＋c的最小值是3. 答案 (1)A (2)2 94 (3)B考点二 基本不等式的实际应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]). (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元. 答案 37.5考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1)(2019·惠州调研)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P为BD 上一点，向量AP→＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A .16B .8C .4D .2(2)(2020·长沙模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M －P AB 、三棱锥M －PBC 、三棱锥M －PCA 的体积.若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥ 8恒成立，则正实数a 的最小值为________.解析 (1)由题意可知，AP→＝λAB →＋4μAD →，又B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ×(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ×λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A.(2)∵P A ，PB ，PC 两两垂直， 且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1，∴V P －ABC ＝13×12×3×2×1＝1＝12＋x ＋y . ∴x ＋y ＝12，则2x ＋2y ＝1.∵a >0，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (2x ＋2y )＝2＋2a ＋2y x ＋2ax y ≥2＋2a ＋4a (当且仅当2yx ＝2axy ，即y ＝ax 时，取等号)，因此2＋2a ＋4a ≥8，解得a ≥1， ∴正实数a 的最小值为1. 答案 (1)A (2)1规律方法 (1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练3】 (2020·厦门联考)对任意m ，n ∈R ＋，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2B .2 2C .4D.92解析 ∵对任意m ，n ∈R ＋，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B. 答案 BA 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A .a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D .a 2＋b 2＞2ab解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.答案 C2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A .9B .18C .36D .81解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立. 答案 A3.(多选题)下列结论错误的是( ) A .当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x ≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C .当x >0时，x ＋1x≥2 D .当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32. 答案 ABD4.(2020·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )23解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.答案 D5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A .2B .2 2C .4D .4 2解析 由题意知∠APB ＝90°，∴|P A |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |＋|PB |22≤|P A |2＋|PB |22＝2(当且仅当|P A |＝|PB |时取等号)，∴|P A |＋|PB |≤22，∴|P A |＋|PB |的最大值为2 2. 答案 B6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A .60件 B .80件 C .100件D .120件解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ×x8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 答案 B7.(2019·汕尾联考)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋2b 的最小值为( )22解析 圆的一般方程化成标准方程得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，依据圆心(－1，2)在直线ax －by ＋2＝0上，得a ＋2b ＝2(a >0，b >0)，∴1a ＋2b ＝12(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2b a ＋2a b ≥12×(5＋24)＝92(当且仅当a ＝b ＝23时取等号). 答案 B8.(2020·信阳模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( ) A .1B. 2C. 3D .2解析 由已知可得tan α＝a ，tan β＝b2，∵α＝2β，∴tan α＝tan 2β，∴a ＝2×b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，即a ＝4b 4－b 2，由a >0，b >0得4b4－b 2>0，则0<b <2， ∴1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b4≥21b ·3b 4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时取等号，故选C. 答案 C 二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 答案 811.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________. 解析 法一 由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号.故所求最小值是4.法二 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4. 答案 412.(2019·天津卷)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为________. 解析（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy .∵x >0，y >0且x ＋2y ＝4，∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92. 答案 92B 级 能力提升13.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A .[3，＋∞) B .(－∞，3] C .(－∞，6]D .[6，＋∞)解析 因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝4，b ＝12时，等号成立.由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ， 即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立， 令f (x )＝x 2－4x －2，则f (x )＝x 2－4x －2＝(x －2)2－6， 所以f (x )的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案 D14.(2020·山东师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A .2B .2＋ 2C .4D .2＋2 2解析 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2ca ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2.答案 D15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 答案 416.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞C 级 创新猜想17.(新定义题)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数).若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________. 解析 由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3.答案 1 318.(多填题)(2020·东莞联考)已知a ，b ∈R ，且a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，则a 2＋2b 2的最小值为________，4a －b＋12b 的最小值为________. 解析 因为a ＋b ＝1，所以a ＝1－b .又因为a ＞b ＞0，所以0＜b ＜12.所以a 2＋2b 2＝(1－b )2＋2b 2＝3b 2－2b ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －132＋23，当b ＝13时，a 2＋2b 2取得最小值23.因为4a －b ＋12b ＝41－2b ＋12b ，1－2b ＞0，所以4a －b ＋12b ＝⎝⎛⎭⎪⎫41－2b ＋12b (1－2b ＋2b )＝5＋8b 1－2b ＋1－2b 2b ≥5＋4＝9，当且仅当b ＝16时，等号成立.故4a －b＋12b 的最小值为9. 答案 23 9。