第5节 基本不等式及其应用

第5节 基本不等式及其应用

考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知 识 梳 理

1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.

(3)a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫

a ＋

b 22

(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4(简记：和定积最大).

[常用结论与微点提醒]

1.b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2. 3.2

1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b

2≤a 2＋b 2

2(a >0，b >0).

4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就

会出错.

5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b

2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(3)函数f (x )＝sin x ＋4

sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y

x ≥2的充要条件.( )

解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b

2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.

(2)函数y ＝x ＋1

x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4

sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋y

x ≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x >2，则x ＋4

x －2

的最小值是( ) A .2

B .4

C .22

D .6 解析 ∵x >2，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2

＋2≥2（x －2）×

4

x －2

＋2＝4＋2＝6. 当x －2＝4

x －2

，即x ＝4时等号成立. 答案 D

3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x <0，则x ＋1

x ( ) A .有最小值，且最小值为2 B .有最大值，且最大值为2 C .有最小值，且最小值为－2 D .有最大值，且最大值为－2

解析 因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2

（－x ）·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1

x ≤－2. 答案 D

4.(2020·湖北八校联考)已知实数x 满足log 12

x >1，则函数y ＝8x ＋

1

2x －1

的最大值为( ) A .－4

B .8

C .4

D .0

解析 由log 12

x >1得0

2，∴－1<2x －1<0. y ＝8x ＋

12x －1＝4(2x －1)＋12x －1

＋4 ＝－⎣⎢⎡

⎦⎥⎤4（1－2x ）＋11－2x ＋4≤－4＋4＝0，

当且仅当4(1－2x )＝11－2x

，即x ＝1

4时，取等号，故选D. 答案 D

5.(多填题)(2019·广州一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.

解析 设矩形的长为x m ，宽为y m .则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋2y 22

＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝15

2

时取等号. 答案 15 152

6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋1

8b的最小值为________.

解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋

1

8b≥22

a·

1

8b＝2·2

a－3b

2＝

1

4，当且仅当2

a＝

1

8b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2

a＋

1

8b的最小值为

1

4.

答案

1

4

考点一利用基本不等式求最值多维探究

角度1配凑法求最值

【例1－1】(1)(2020·重庆一中月考)设0

3

2，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.

(2)若a>0，则a＋

8

2a＋1

的最小值为________.

解析(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤2

⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

2x＋（3－2x）

2

2

＝

9

2，

当且仅当2x＝3－2x，即x＝

3

4时，等号成立.

∵

3

4∈⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

3

2，∴函数y＝4x(3－2x)⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0＜x＜

3

2的最大值为

9

2.

(2)由题意可知a＋

8

2a＋1

＝a＋

1

2＋

4

a＋

1

2

－

1

2≥2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a＋

1

2×

4

a＋

1

2

－

1

2＝

7

2，当且仅当a＋

1

2＝

4

a＋

1

2

，即a＝

3

2时等号成立.所以a＋

8

2a＋1

的最小值为

7

2.

答案(1)

9

2(2)

7

2

规律方法配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；