高考数学热点难点专题06+导数的几何意义灵活应用(理)(教师版)
导数的几何意义 课件
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
导数的几何意义
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，记
作 f (x) 或 y |xx0 ，即：
f (x) lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
观察动画你能得到什么结论？
切线的定义：
当点Pn 沿着曲线逼近 P 点
时，即 x 0 ，割线趋近于确 定的位置，这个确定位置上的直 线PT称为点P处的切线。
x x0
x0
x
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
回 顾
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
割线的斜率 x 0 切线的斜率
应用：
例1：已知 y x2 1 曲线，求过点ｐ
（1，2）的切线方程．
解求：曲线k在 l某ixm0点f (处x0 的x切x) 线f (方x0 ) 程①的求基出本P点步lixm的骤0 (1坐: 标x);2x1 (11)
导数的几何意义及运用解密
导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。
本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。
一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。
以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。
因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。
从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。
例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。
而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。
此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。
在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。
由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。
二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。
例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。
以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。
1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。
而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。
例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。
此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。
2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。
由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。
高三数学导数的几何意义ppt课件.ppt
四. 教学过程
（一）教学流程图 （二）教学过程与设计思路
（一）教学流程图
问题 系列
几何 意义
具体 应用
概念 建构
复习 引入
演 练 拓
小结
作业
类似“卡通形象” 的教学流程图以 “模块”为基本单 元，从新课引入到 概念建构，从技能 演练到小结作业。 层层展开，逐层突 破。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
一. 教材分析 （二）重点与难点
教学重点：运用导数的几何意义研究函数 教学难点：导数几何意义的推导思路
一. 教材分析
（三）课时安排
导数的几何意义可安排两课时。本节作为 第一课时，重在探求曲线上某点处切线的斜率 和导数的关系，理解导数的几何意义，体会几 何意义在研究函数性质应用中的作用。
学生分组讨论交流，计算切 观，易于突破难点；学生在过程中，
点的导数值，自主合作探求 可以体会逼近的思想方法。最后的
导数与斜率的关系，教师请 证明环节，能够同时从数与形两个 学生证明导数就是切线斜率。 角度强化学生对导数概念的理解。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历 了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了 向近代数学过渡的新时期 ，为研究变量和函数提 供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一， 有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何 意义是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内 容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的 理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化 快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内 容。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义 课件
1．导数的几何意义 (1)切线的定义．
如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．
(2)导数的几何意义． 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝f′(x0)． 温馨提示 若函数在某点不存在导数，不能认为函数
所以 k＝y′|x＝1＝3.
所以曲线在点 P(1，1)处的切线方程为 y－1＝3(x－
1)，
即 3x－y－2＝0.
y＝3x－2， x＝1， x＝－2，
(2)由
解得 或
y＝x3，
y＝1 y＝－8，
从而求得公共点为 P(1，1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公 共点(－2，－8)．
的图象在该点没有切线，切线可能垂直于 x 轴．
2．导函数的概念 (1)定义：当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我 们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．
(2) 记 法 ： f′(x) 或 y′ ， 即 f′(x) ＝ y′ ＝ f（x＋ΔΔx）x－f（x）．
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析)
归纳升华 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
π 特别注意：若在点(x0，y0 )处切线的倾斜角为2，此 时所求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
Δx
设 P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线 y＝4x＋8 平行，所以 2x0＝4， 解得 x0＝2，故 y0＝4，所以所求点 P 坐标为(2，4)．
导数的几何意义及其应用
导数的几何意义及其应用函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，故曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=⋅- 导数的几何意义是高考重点考查的内容，特别是与曲线的切线方程有关的题型是考查的热点，下面就针对不同的题型分别给出解决的方法。
一、求切线方程：1.曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程：（1）把0x 代入函数()f x ，求出0()f x 的值，如果0()f x 的值已知，此步骤可以省略；（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，求出0()f x '的值；（3）把0()f x 、0()f x '、0x 代入切线方程000()()()y f x f x x x '-=⋅-，化简即可。
例1.曲线21x y xe x =++在点（0，1）处的切线方程为解析：在题中0()f x 的值为1，第一步省略，直接进行第二步，对函数求导，再把0x 的值0代入，得到0()f x '的值为3，第三步把求出的值代入切线方程并化简为310x y -+= 此类题目比较简单，考生一般情况下不会失分！演变 1.曲线x y xe =在点（1，e ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .演变 2.曲线1y x=和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为 .2.过点()m n ，与曲线)(x f y =相切的直线方程：（1）设切点横坐标为0x ，把0x 代入函数()f x ，得到0()f x 的表达式；（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，得到0()f x '的表达式；（3）列出切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-；（4）把0()f x 、0x 代入切线方程，得到000()()()f x n f x x m '-=⋅-；（5）解关于0x 的方程000()()()f x n f x x m '-=⋅-，得出0x 的值；（6）把0x 的值代入切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-，化简即可。
灵活运用导数的几何意义
（，） （，） 线 斜 ＝ 三 （ ｘ 的 值 Ｙ ， Ｙ 连 的 率ｋ ｒ ＃２ 取 范 ．。Ｑ 。２ ）
受 思 维 定 势 的 消 极 影 响 ， 设 出切 线 方 程 ， 利 用 直 线 和 曲 先 再
・ ． ．
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翘 调 籀 的 条 件 ， 解 耪的 运 算 量 变 大 ． 线相 切 麴 薄使 得 题 龋 霸
二 、 妙 应 用 巧
位 置 ， 忽 略 切 点 既 在 曲线 上 ， 在 切 线 上 这 一 关 键 条 件 ， 或 也 或
（ ， ） 数 图 象 上 任 意 两 点 连 。１ 函
线 的斜率 ｋ ． ＜１
’ ． ’
厂（ ）＝Ｙ ＝ ｘ一１ 当 ０＜ ＜１时 ， ２ ， 一１＜ ｘ一１＜１ ２ ，
一
线 的斜率 ， 因此 ， 如果 Ｙ＝ （ 在点 。可导 ， 曲线 Ｙ＝ （ － ） 厂 则 ＿ ） 厂
在 点 （。 ‰ ） 处 的 切 线 斜 率 为 ｆ 。 ， 线 方 程 为 Ｙ— ） （ ） 切 ｆ
（ｏ （ 。 （ — ０ ． ）＝ ） Ｘ ）
例 １求 曲线 Ｙ＝ 在 点 Ｐ（ ，） 的 切 线 方 程． １１处
明： Ｊ 一 Ｉ Ｉ 。 ．
我们 知道 ， 函数 Ｙ＝ （ 在 点 。 的导数 的几何 意义就 ＿ ） 厂 处
是 曲 线 Ｙ＝ 八 ） 在点 Ｐ（ 。ｆ ‰ ） 处 的 切 线 的 斜 率 ． 这 个 ，（ ） 由 意义 出发 ， 们 可 以 发 现 ， 数 ｙ＝厂 ） 象 上 任 意 两 点 尸 我 函 － （ 图
２ … … （ ） 其 中 （ ） 中 （ ｌ 为 切 线 上 点 的 坐 标 ， ， ３． ３式 Ｘ，， ） （
导数的几何意义 课件
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,
6 12
.
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1.
所以该点的坐标为(1,10).
(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,
所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2.
所以该点的坐标为(2,19).
反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由
切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重
合.
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的
直线是切线”的区别是什么?
剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,
我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做
切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切
点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直
线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
解:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程,得 y=4,
∴切点的坐标为(2,4).
y
Δx→0 x
∴y'|x=2= lim
=
1 (2 + Δx)3 + 4 - 1 × 23 - 4
需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在
x=x0处的导函数值.
区别
f'(x0)是具体的值,是数
值
f'(x)是 f(x)在某区间 I
f'(x) 上每一点都存在导数
高考理科数学二轮复习新课标通用课件专题六导数的简单应用
导数还可以表示当销售量增加一个 单位时，利润的变化率，即边际利 润。通过求导可以找到最大利润的 销售量。
物理问题中速度加速度计算
01
02
03
速度
位移关于时间的导数就是 速度。通过求导可以求得 物体在任意时刻的瞬时速 度。
加速度
速度关于时间的导数就是 加速度。通过求导可以求 得物体在任意时刻的瞬时 加速度。
利用单调性证明不等式
导数与函数单调性的关系
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的方向。
典型例题解析
结合具体例题，展示如何利用导数判断函数单调性，进而证明不等 式。
注意事项
在证明过程中，要注意导数的计算、函数单调性的判断以及不等式 的变形等技巧。
利用凹凸性证明不等式
导数与函数凹凸性的关系
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，从而确定不等式的形状。
注意事项
在构造函数时，要注意函数的定义域、值域以及导数的计算等细节问 题。同时，还要善于运用已知的不等式和数学归纳法等数学方法。
06 实际生活中导数 应用举例
经济领域中边际分析
边际成本
导数可以表示当生产量增加一个 单位时，成本的变化率，即边际 成本。通过求导可以找到最低成
本的生产量。
边际收益
导数也可以表示当销售量增加一个 单位时，收益的变化率，即边际收 益。通过求导可以找到最大收益的 销售量。
判断拐点和凹凸性的方法
通过求解二阶导数等于0的点，并结合三阶导数测试来判 断拐点的类型（上凹、下凹或不是拐点）。然后分析二阶 导数的正负来判断函数的凹凸性。
03 曲线形态与导数 关系
曲线切线方程求解
1 2
确定切点
在曲线上选择一点作为切点，记其坐标为$(x_0, y_0)$。
三年高考(2021-2021)(理)真题分类解析：专题06-导数的几何意义
专题06 导数的几何意义考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ选择题、填空题★★★2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ选择题、解答题本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.2022年高考全景展示1.【2022年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2．【2022年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。
详解：，则，所以，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。
3．【2022年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.4.【2022年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．5．【2022年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．若a ≤，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤x –1<0，所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2021年高考全景展示1.【2021山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=， 因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-， 即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--， 令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m = 所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =， 所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P的切线的不同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2021北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值. 2021年高考全景展示1. 【2021高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y = （D ）3y x = 【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2021年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PAB A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2021高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2021年高考北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值；（2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．。
专题06 导数的几何意义灵活应用-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)
1专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：0lim x ∆→ Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________；2③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．学&科_网(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故,故选B.练习1．设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x→+--等于（ ）A ．()04'f xB ．()0'f xC ．()02'f xD ．()03'f x 【答案】A 【解析】由题得()()0003limx f x x f x x x→+--=()()00034lim4x f x x f x x x→+--=4()0f x '，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）3A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，，故，即 ，故选：A ． 2.导数的定义例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分母是x 的变化量即可.练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=-∆（ ）A ．()1f 'B ．()112f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B【解析】∵函数()f x 在1x =处可导， ∴()()()111limx f x f f x∆→'+∆-=∆，∴()()()()()00111111limlim 1222x x f x f f x f f xx ∆→∆→+∆-+∆-=-=--'∆∆．选B ．4练习2．已知函数在处可导，若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D【解析】函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是11y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数()()ln 10y x x =+≥的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，其值为4π，由此可知4max πα=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x ）lnx﹣x，则f′（x ）x 21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则56故选A.4.曲线上某点处的斜率例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为 ，利用直线的点斜式方程，即可求解。
专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原卷版)
1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =2. 【2016年四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1， P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)3.【2016课标3，理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .5.【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x7.【2017北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．8.【2016年高考北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.9.【2014福建,理20】已知函数()ax e x f x-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.（I ）求a 的值及函数()x f 的极值；（II ）证明：当0>x 时，x e x <2；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x ce x <2.10.【2014重庆理，第20题】已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值；（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.。
高三数学导数的几何意义课件
导数可以用来研究函数的极值和最值问题，是解决这类问题的关键工具。
详细描述
函数的极值点一定是其导数为0的点，即一阶导数为0，二阶导数变号的点。因此，通过求导并分析导数的符号变 化，可以找到函数的极值点，并进一步确定函数的最大值和最小值。此外，导数还可以用于研究函数的拐点、凹 凸性等问题，是分析函数性质的重要工具。
04
链式法则
对于复合函数，其导数为外层 函数对内层函数的导数乘以内
层函数对自变量的导数。
指数法则
对于指数函数，其导数为指数 函数与底数乘积的导数。
幂函数法则
对于幂函数，其导数为幂函数 与指数的乘积的导数。
对数法则
对于对数函数，其导数为1除 以函数值的导数。
隐函数的导数计算
参数方程表示法
通过参数方程表示的隐函数，其导数为参数对自变量的导数 乘以自变量对参数的导数。
导数在功率和效率问题中的应用
总结词
导数在功率和效率问题中的应用，是研究机 器性能的重要手段。
详细描述
在工程学中，功率和效率是衡量机器性能的 重要指标。通过导数，我们可以找到机器在 不同工作状态下的功率和效率变化规律。例 如，在电动机的工作过程中，电机的输出功 率和效率是电流i的函数，通过求导数，我 们可以得到电机在不同电流下的输出功率和 效率。
导数在函数单调性中的应用
总结词
导数的符号决定了函数的单调性，是 研究函数单调性的重要工具。
详细描述
如果函数在某个区间内的导数大于0，则该 函数在此区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数单调递减。因此，通过分析导数的 符号变化，可以确定函数的单调性，并进一 步研究函数的极值和最值问题。
导数在极值和最值问题中的应用
05
专题 导数的几何意义灵活应用-名师揭秘2019高考数学(文)命题热点全覆盖(教师)
专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是： 0limx ∆→Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . 2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.【详解】y=x 3的导数为y′=3x 2， 设切点为（m ，m 3）， 可得切线的斜率为3m 2，切线的方程为y ﹣m 3=3m 2（x ﹣m ）， 若P （0，0），则﹣m 3=3m 2（0﹣m ），解得m=0，只有一解；若P （0，1），则1﹣m 3=3m 2（0﹣m ），可得m 3=﹣，只有一解； 若P （1，1），则1﹣m 3=3m 2（1﹣m ），可得2m 3﹣3m 2+1=0， 即为（m ﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或﹣，有两解；若P （﹣2，﹣1），则﹣1﹣m 3=3m 2（﹣2﹣m ），可得2m 3+6m 2﹣1=0， 由f （m ）=2m 3+6m 2﹣1，f′（m ）=6m 2+12m ，当﹣2＜m ＜0时，f （m ）递减；当m ＞0或m ＜﹣2时，f （m ）递增． 可得f （0）=﹣1为极小值，f （﹣2）=7为极大值，则2m 3+6m 2﹣1=0有3个不等实数解． 故选：C ．练习3．过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以令，而，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A6.与切线有关的范围问题例6．已知，若的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由分段函数画出y=|f(x)|的图像，即直线y ax a =+与y=|f(x)|的图像有三个不同交点，，直线过定点C, ln3,3BC k =14AC k =-,02x ≤≤时，,设切点为()(),ln 1t t +，则切线方程为，过C(-1,0),代入得t=e-1,即切点为，两个图像要有三个交点，所以ln313k e ≤<，即ln313a e≤<，选B.【点睛】本题把方程根的个数问题转化为两个函数交点个数问题，一般适用于，两个不同类函数求零点个数问题，而且两个函数均容易画出，尽量使得只有一个函数带有参数，即一个函数为定函数，另一个函数为动态函数，再根据要求找出合适位置的图像及参数范围。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了解变量之间的关系。
导数的几何意义课件-2025届高三数学一轮复习
）
题型二、求切线方程
角度1 求曲线在某点处的切线方程
解题步骤：曲线在点P（x0 , f ( x0 ))处的切线方程
（1）求出导函数f ( x);
(2)把切点的横坐标x0 代入导函数f ( x), 得k f ( x0 );
3、公切线问题
应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又
在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求
解。或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列出方程
组求解。
强调：切点的三重含义：①切点处的导函数值才是在该切点处的切线斜率；
②切点在切线上；
③切点也在曲线上
题型突破
题型一、 导数几何意义的应用
y
由两曲线有公切线得
y
1
x 1 ，
相切的切点为
x
0
, ln x0 1 a
，
1
1
1
1
2
ln
a
,
x0
x0 1
2
2
，
2
，则切点为
，解得
1
1
2 x 1 a ln 2
ln
a
y 2 x
2
2
，根据两切线重合,所以
e 1 x y 1 0
，即
.
角度2 求曲线过某点的切线方程
解题步骤:过一点A（m,n)的切线方程
（）设切点为
1
P（x0 , y0 ), 则斜率 k f ( x0 );
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专题06 导数的几何意义灵活应用
【学习目标】
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．
3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x ，y ＝x 的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1.
(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：
0lim x ∆→ Δy Δx
＝0
lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
.
2．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝
lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
.
(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0
lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx
.
3．导数的几何意义和物理意义
几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．
物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数
①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫
1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式
①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________；
③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数
(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．
(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率
例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线
的斜率的
最小值为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】B 【解析】，而，易得，
在
上单调减少，在
上单调增加，
故
,故选B.
练习1．设()f x 在0x 可导，则
等于（ ）
A ．()04'f x
B ．()0'f x
C ．()02'f x
D ．()03'f x 【答案】A
【解析】由题得=
=4()0f x '，故选A.
练习2．设定义在上的函数的导函数
满足
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由，，故，
即，
故选：A ． 2.导数的定义
例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.
【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分
母是x 的变化量即可.
练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（ ）
A ．()1f '
B ．()1
12
f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B
【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，
∴，
∴．选B ．
练习2．已知函数
在处可导，若，则
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角
例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数
的图象绕坐标原点逆时针方向
旋转角θ（(]
0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4
π
【答案】D 【解析】函数
的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜
角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是1
1
y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，
其值为
4π，由此可知4
max π
α=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
【答案】D
【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得
的最小值.
【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.
练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得
k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．
【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，
f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，
则有k＝f′（1），
则tanθ，
又由0≤θ＜π，则θ，
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.
【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则
故选A.
4.曲线上某点处的斜率
例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。
【详解】由题意，函数，则，
所以，即在点处的切线为的斜率为，
所以切线的方程为，即，故选B。
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中正确求解函数的导数，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
练习1．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数（）
A．2 B．C．D．-2
【答案】A
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，由导数值等于求得实数a的值．
【详解】由f（x）＝，得
，
则．
考点：导数的几何意义及但点到直线的距离公式的综合运用.
【易错点晴】导数是研究和刻画函数的单调性和极值等的重要工具,也是中学数学中的重要知识点和高考命
题的重要内容和考点.本题以所满足等式条件为背景,考查的是函数求导法则及导数的几何意
义的灵活运用.求解时先运用求导法则求出函数的导数为x
x y 1
2/-
=,然后依据题设求出切线与直线
平行时,切点P 到这条直线的距离最小,所以112=-t t ,解之得1=t ,2
1
-=t ,求出切点
坐标,从而使得问题获解. 练习1．已知，则
的最小值为 （ ）
A ．
5103 B ．518 C ．516 D ．5
12
【答案】B ．
【解析】设)3,(a
a P ，)3
,
(b
b Q -，则，)3,(a a P 的轨迹为直线3
x y =
，)
3,(b b Q -的轨迹为双曲线x
y 3
-
=，双曲线上一点)3,(00x x -到直线03=-y x 的距离为
，
的最小值为
5
18
【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力．。