基于极坐标测量的圆度误差评定算法

圆度误差
极径(mm) 极角(度) (mm)
m=10 n=90
最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法
0.0172 0.0159 0.0174
68.0345 69.3081 85.4739
0.0260 0.0268 0.0284
最小区域法
n=15 最小外接圆法
m=180 最大内接圆法
0.0172 0.0180 0.0173
表 2 数据处理结果
半径极差值排序
| Rmin − CRmin |≤ δ
NO
评定方法
最小二乘法 最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法
圆心坐标
极径(mm) 极角（度）
0.0175
76.759
0.0168
72.646
0.0187
74.473
0.Hale Waihona Puke Baidu171
83.290
最小外接圆 法圆度误差
最小区域法 圆度误差
70.9969 71.3285 82.5549
0.0252 0.0259 0.0277
（3） 实验结果分析 三 坐 标 测 量 机 （ Brown Sharpe, Global Status574，数据采集与处理系统：pc-DMIS）是 公认的高精密测量设备，其数据处理系统中的圆 度误差评定结果具有权威性。 对比表 4 与表 3 的圆度误差数值可以看出， 同一种评定方法中，采用极坐标网格搜索算法得 到的圆度误差值与三坐标测量机上得到的数值 是一致的；比较表 4 和表 2 中的圆心坐标可以看 出，同一种评定方法中，采用网格搜索算法得到 的圆心坐标与三坐标测量机上的数值也是一致 的。说明网格搜索算法是可以实现形状误差的精 确评定的。
表 1 测样点的坐标
序号
1
极径（mm） 39.961
极角（度） 16.525
序号
5
极径（mm） 39.948
极角（度） 82.046
序号
9
极径（mm） 39.932
极角（度） 156.63
序号
13
极径（mm） 39.909
极角（度） 261.24
2 39.951 30.245
6 39.954 101.14
10 39.949 167.37
14 39.914 288.64
3 39.961 53.817
7 39.955 124.89
11 39.936 195.27
15 39.935 318.42
4 39.943 67.369
8 39.954 129.71
12 39.934 230.66
16 39.939 338.57
图 1）。分别以各网格点为圆心，计算所有测点的 半径值并找出每一个网格点为圆心时的最大半 径、最小半径以及半径的极差值，按照最小区域 法、最小外接圆法和最大内接圆法圆度误差的定 义，确定对应评定方法的圆心坐标及对应评定方 法的圆度误差值。
2 算法步骤
（1） 用最小二乘法计算出被测圆轮廓的最
小二乘圆心极坐标 O1(ε ,α ) 及最小二乘圆度误 差 f （圆度误差的最小二乘法，在许多文献里已
文献标识码：A
文 章 编 号：1003-0158(2010)02-0188-04
Evaluating Algorithm of Roundness Error Based on Polar-Coordinate Measuring
LEI Xian-qing, LI Ji-shun, XUE Yu-jun, CHANG Wei-hang
所有测点的半径值，通过比较这些半径值，实现最小区域法、最小外接圆法和最大内接圆法
的圆度误差精确评定。详细叙述了算法求解圆度误差的过程和步骤，给出了数学计算公式及
程序流程图。试验结果表明，该算法可有效、正确地评定圆度误差。
关 键 词：计算机应用；误差评定；圆度误差；网格搜索算法
中图分类号：TH 124
有详细介绍，限于篇幅，本文省略）。 （2） 构造网格点。如图 1 所示，以点
O1(ε ,α ) 为圆心、以 f 为半径构造一圆形区域， 将此圆的半径 m 等分并画出一系列同心圆，将圆 周 n 等分，等分点与 O1(ε ,α ) 的连线与一系列同 心圆的 m × n 个交点即为构造的网格点。网格点 Oij (sij ,γ ij ) 在极坐标系的坐标为
最大内接圆 法圆度误差
输出 结束 图 2 极坐标网格搜索流程图
表 3 计算出的圆度误差值(mm)
评定方法 最小二乘法 最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法
圆度误差 0.0265 0.0255 0.0266 0.0277
（2） 圆度误差的网格搜索评定
第2期
雷贤卿等：基于极坐标测量的圆度误差评定算法
半径和最小半径及半径极差值
并细化网格
3 实验验证
（1） 三坐标圆度测量 在 三 坐 标 测 量 机 （ Brown Sharpe, Global Status574，数据采集与处理系统：pc-DMIS）上， 测量基本尺寸为Φ 80× 35 的轴承套圈的圆度误 差。从pc-DMIS系统中提取测样点的极坐标如表1 所示，数据处理结果如表2所示，依据测量点的 坐标表1及表2中四种评定方法的圆心坐标，计算 出的圆度误差值如表3所示。
第2期
雷贤卿等：基于极坐标测量的圆度误差评定算法
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键技术之一，致使寻求和设计新的几何量测量方 法及形状误差评定算法成为精密测量技术的研 究热点。
圆度误差是指在垂直于被测圆柱体轴线截 面上的圆轮廓对其理想圆的变动量，是机械零件 精度及装配质量的重要指标，在评定机械零件产 品质量中有着重要的作用。圆度误差评定算法一 直是国内学者的研究焦点，常采用迭代法、单纯 形法、遗传算法等优化算法评定圆度误差[1-10]， 这些优化算法在对圆心和步长的确定时存在一 定难度，而且算法较复杂。本文根据圆度误差的 定义，提出一种基于极坐标测量数据的圆度误差 网格搜索算法，该算法可得到最大内切圆法、最 小外接圆法和最小区域法的圆度误差值。
误差与理想值之间的接近程度与等分数 m 、 n 有
关，等分数越大，计算结果接近理想值的程度越高。
为提高评定精度，可在步骤（2）增加等分
点数或者以第一次的计算结果 fz 为半径，以 Oz (sz ,γ z ) 为参考点，布置间隔更小的网格，重
复步骤（2）~步骤（6）；当半径极差的最小值
（ 记 为 Rmin ） 与 半 径 极 差 的 次 最 小 值 （ 记 为
1 算法原理
以 测 量 点 Pk (ρk ,θk ) (k = 1, 2,", N ) 为 基 础，用最小二乘法计算出最小二乘圆度误差 f 及 最小二乘圆心坐标 O1(ε ,α ) ，然后以最小二乘圆 心 O1(ε ,α ) 为圆心、以一定量值（如截面的最小 二乘圆度误差 f ）为半径构造圆，将构造的圆的 半径 m 等分、圆周 n 等分并画出等分线，得到 m × n 个网格点（等分线交叉点）及其坐标（见
收稿日期：2008-10-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目（50875076）；河南省教育厅自然科学研究计划资助项目（2008A460007）；河南科技大学博士科
研启动基金 作者简介：雷贤卿（1963-），男，河南洛阳人，教授，博士，主要研究方向为先进制造技术、机械制造过程中的精密测量技术。
半径、最小半径和半径的极差值。
Rijk = si2j + Pk2 − 2sij Pk cos(γ ij −θk ) （2）
（4） 比较 m × n 个最大半径值，其最小者
为最小外接圆的半径，用符号 Rout 表示；此对应 网格点即为最小外接圆圆心，用 Ow (sw,γ w ) 表示； 与此圆圆心相对应的最小半径用符号 rout 表示。
2010 年 第2期
工程图学学报
2010
JOURNAL OF ENGINEERING GRAPHICS
No.2
基于极坐标测量的圆度误差评定算法
雷贤卿， 李济顺， 薛玉君， 畅为航
（河南科技大学，河南 洛阳 471003）
摘
要：提出一种利用极坐标测量数据求解圆度误差的网格搜索算法，其原理是在
最小二乘圆心周围按一定规则布置一系列的极坐标网格点，依次以各网格点为理想圆心计算
则最小外接圆法圆度误差值 fout 为
fout = Rout − rout
（3）
（5） 比较 m × n 个最小半径值，其最大者
为最大内接圆的半径，用符号 rin 表示，此对应的
网格点即为最大内接圆圆心，用 Oc (sc ,γ c ) 表示；
与此圆圆心相对应的最大半径，用符号 Rin 表示。
则最大内接圆法圆度误差值 fin 为
·191·
用本文提出的极坐标网格搜索算法，以表 2 中最小二乘圆心坐标为参考，以表 3 中最小二乘 法圆度误差 0.0265mm 为半径设置圆形区域，对 表 1 的测量数据进行处理，得到三种评定方法的 圆心坐标及圆度误差值如表 4 所示。
表 4 计算出的圆心坐标及圆度误差(mm)
网格点 评定方法
圆心坐标
( Henan University of Science and Technology, Luoyang Henan 471003, China )
Abstract: A new kind of method of evaluating roundness error using polar measurement data, which named as mesh searching algorithm, is presented. The principle of the algorithm is that series of polar-coordinate mesh points are collocated around the periphery of the least square circle according to certain rule, the radius value of all the measured points are calculated by regarding each mesh point as the ideal center, the roundness error value of minimum circumscribed method, maximum inscribed method and minimum zone method are achieved accurately through comparing these radius value. The process and step of using the algorithm are described in detail and the mathematical formula and program flowchart are given. The results of the experiment show that the roundness error can be evaluated effectually and accurately.
CRmin ）非常接近（如小于最小二乘圆度误差的
1%）时，可以认为此时的最小区域法圆度误差值
已十分接近符合最小条件圆度误差的真值，此时
的最小半径差就是最小区域法圆度误差。
该算法的程序流程图如图 2 所示。
开始
导入数据
计算最小二乘法圆度误差
设定等分数及精度判断条件 δ， 计算网格点的坐标
计算每一个网格点为圆心时的最大 改变参考点
Key words: computer application; error evaluation; roundness error; mesh searching algorithm
随着计算机技术、自动控制技术、传感器技 术、激光技术等在精密加工领域中广泛应用，精
密和超精密加工技术得到了极大的发展，与之相 适应的精密测量技术已成为保证产品质量的关
⎪ ⎪⎩
j
=
0,1,
2,", n
−1
（3） 以网格点 Oij (sij ,γij ) 为圆心，按式（2）
计算所有测点 Pk (ρk ,θk ) 的半径值 Rijk 并找出此
时的最大半径 Rij max 、最小半径 Rij min 及半径极差
∆Rij 。有 m × n 个网格点就可得到 m × n 个最大
fin = Rin − rin
（4）
（6） 比较 m × n 个半径极差值，其最小者
为包容被测点的两同心圆的最小区域，与此半径
对应的网格点即为最小区域圆圆心，用
Oz (sz ,γ z ) 表示。则最小区域法圆度误差值为 fz
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工程图学学报
2010 年
fz = min(∆Rij )
（5）
从以上搜索过程可以看出：该算法求出的圆度
Oij Rijk Pk(ρk,θk)
ri O1
ρk
ε
sij
θ
γ
αk
ij
ρ
O
图 1 极坐标网格搜索原理
⎧ ⎪sij = ⎪
(i
f )2 +ε 2 + 2iε
f
cos(α −
2π j)
m
m
n
⎪⎪⎨γ ij ⎪
=α
− arc sin[i
f msij
sin(α
−
j
2π)] n
（1）
⎪i = 0,1,2,",m−1