三角函数与解三角形(课堂PPT)
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(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
若 fA2＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值．
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求出角 C 的弧度数
得1分
(2)由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
若 fA2＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值．
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求出角 C 的弧度数
得1分
(2)由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．