三角函数与解三角形(课堂PPT)
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第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
数学人教A版(2019)必修第二册 三角函数与解三角形(课件)
基本公式：
三角函数：
si n y ,cos x , tan y
r
r
x
三
角
函
数
基
本
关
系
式
：（
一
三角形边角基
） 正 弦 定 理 、 余定 弦理 ：
本
关
系
si n2 cos2 1
a a a 2R（R为 外 接 圆 半 径 ）
在 单 位 圆 中r 1, si n y,cos x
三角函数诱导公式：
a b
2R 2R
si si
nA nB
s s
i i
nA nB
a 2R b 2R
c
2R sinC
s i nC
c 2R
角化边： 边化角：
a b
2R 2R
sinA s i nB
si nA si nB
a 2R b 2R
c
2R sinC
si nC
c 2R
角化边： 边化角：
a b
2R 2R
2
2
tanπ( ) tan tanπ( ) tan
单调性：
特 别 的 ： 在 直 角 三 角 中 形 ，a2 b2 c2
三 角 函 数 的 和 差 倍 角式公： 辅 助 角 公 式 ： csoinsπ((π22 ))
cos s i n
csoinsπ((π22 ))
cos sin
五点
（二）边、角
si
nx
:
π ( ,-1)(0,0)
(π,1)(π,0)(
3π,-1)
2
2
2
边 ： 任 意 两 边 之 和 大 第 于 三 边 ，
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
第3章《三角函数、解三角形》(第3节)ppt 省级一等奖课件
第三章 三角函数、解三角形
5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4 的最大值为________．此时 x
＝________．
解析 当 cosx＋π4 ＝－1 时，函数 y＝2－3cosx＋π4 取得最大
值
5，此时
π x＋ 4 ＝π＋2kπ，从而
x＝34π＋2kπ，k∈Z.
2．最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
第三章 三角函数、解三角形
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
第三章 三角函数、解三角形
定 义 域 值域
R [－1，1]
[规律方法] 1．三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公 式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．
第三章 三角函数、解三角形
2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为
(kπ －π2 ，π2 ＋k π ) (k∈Z)上递增
减
第三章 三角函数、解三角形
x＝
π 2
＋2kπ
(k∈Z)
x＝ 2kπ
(k∈Z)
最 时，ymax＝1；x＝
时，ymax＝1；x＝
值
－π2 ＋2kπ (k∈Z)
π ＋2kπ (k∈Z) 时，ymin＝－1
时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
第三章 三角函数、解三角形
(2)下列函数中，周期为π ，且在[π4 ，π2 ]上为减函数的是(
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
3
A.
5
π
6
3
5
− = ，则sin −
故选C.
=(
)
√
4
B.
5
解：依题意，知sin −
2π
3
2π
3
= sin[
3
C.−
5
π
π
− − ]
6
2
4
D.−
5
= −cos(
π
− )
6
= −cos
π
6
− =
3
− .
5
【巩固强化】
1
3
1.已知cos = ，且 为第四象限角，则sin =(
4
5
cos 2 = .则sin 2 = 2sin cos = −4cos2 = − .故选A.
（2）已知sin + cos =
A.−
3 5
，则tan
5
+
1
tan
B.
√
2
5
5
2
=(
C.−
)
4
5
5
4
D.
9
5
解：原式两边平方，得sin 2 + 2sin cos + cos 2 = .
A.−
√
1
2
1
2
B.
解：因为tan = −3，所以cos ≠
1
3
cos +sin
0.所以
cos −sin
)
C.−
1
3
1+ −3
1− −3
D.
=
1+tan
A.
5
π
6
3
5
− = ，则sin −
故选C.
=(
)
√
4
B.
5
解：依题意，知sin −
2π
3
2π
3
= sin[
3
C.−
5
π
π
− − ]
6
2
4
D.−
5
= −cos(
π
− )
6
= −cos
π
6
− =
3
− .
5
【巩固强化】
1
3
1.已知cos = ，且 为第四象限角，则sin =(
4
5
cos 2 = .则sin 2 = 2sin cos = −4cos2 = − .故选A.
（2）已知sin + cos =
A.−
3 5
，则tan
5
+
1
tan
B.
√
2
5
5
2
=(
C.−
)
4
5
5
4
D.
9
5
解：原式两边平方，得sin 2 + 2sin cos + cos 2 = .
A.−
√
1
2
1
2
B.
解：因为tan = −3，所以cos ≠
1
3
cos +sin
0.所以
cos −sin
)
C.−
1
3
1+ −3
1− −3
D.
=
1+tan
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 4三角函数的图象与性质课件
（1） = sin 在 0, π 上单调递增.
( ×)
（2）常数函数 = 是周期函数，它没有最小正周期.
( √ )
（3） = sin 是偶函数. ( √ )
（4）已知 = sin + 1， ∈ ，则的最大值为 + 1.
（5） = tan 的对称中心是 π, 0 ∈ .
所以函数的定义域为[−4, −π] ∪ [0, π].故选D.
)
D.[−4, −π] ∪ [0, π]
√
（2）【多选题】下列函数中，最大值满足 ≥ 1的是(
A. = 2sin 2 − 1
√
)
B. = 2sin − cos
√
C. = −sin2 + 4sin − 3
D. = cos tan
（3）若是函数 的一个周期，则( ∈ 且 ≠ 0)也是 的周期.
（4）周期函数的定义域是无限集.
2.关于奇偶性的常用结论
π
2
（1） = sin + ≠ 0 ,则 为偶函数⇔ = + π ∈ .
（2） = sin + ≠ 0 ,则 为奇函数⇔ = π ∈ .
该函数的最小正周期为 =
2π
2
.
=π .
（3）由图象变换规则，知 = sin −
1
2
π
3
周期的一半，即 = × 2π = π .
π
3
的最小正周期是 = sin −
π
3
的最小正
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式
= sin + 和 = cos + 的最小正周期为
( ×)
（2）常数函数 = 是周期函数，它没有最小正周期.
( √ )
（3） = sin 是偶函数. ( √ )
（4）已知 = sin + 1， ∈ ，则的最大值为 + 1.
（5） = tan 的对称中心是 π, 0 ∈ .
所以函数的定义域为[−4, −π] ∪ [0, π].故选D.
)
D.[−4, −π] ∪ [0, π]
√
（2）【多选题】下列函数中，最大值满足 ≥ 1的是(
A. = 2sin 2 − 1
√
)
B. = 2sin − cos
√
C. = −sin2 + 4sin − 3
D. = cos tan
（3）若是函数 的一个周期，则( ∈ 且 ≠ 0)也是 的周期.
（4）周期函数的定义域是无限集.
2.关于奇偶性的常用结论
π
2
（1） = sin + ≠ 0 ,则 为偶函数⇔ = + π ∈ .
（2） = sin + ≠ 0 ,则 为奇函数⇔ = π ∈ .
该函数的最小正周期为 =
2π
2
.
=π .
（3）由图象变换规则，知 = sin −
1
2
π
3
周期的一半，即 = × 2π = π .
π
3
的最小正周期是 = sin −
π
3
的最小正
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式
= sin + 和 = cos + 的最小正周期为
九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件
＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，
锐角三角函数与解直角三角形.pptx
（2）互余两角的三角函数关系：
4.锐角三角函数的增减性:
（同学们总结，教师归纳）
《典型考题展示》
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（ ）
A． B. C. D.
B
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是( ) （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
6．在△ABC中，若|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A. B. C 解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
∴tan∠BPC=tan∠BAE=
E
10．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．求BC的长．
解：在Rt△ABD中，
∴AB=3
∵BD2=AB2﹣AD2
在Rt△ADC中，∵∠C=45°
考点一：锐角三角函数
1锐角函数的定义：如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，则sinA= cosA= tanA = 。2.特殊角的三角函数值：
特殊角
sinA
cosA
tanA
3.三角函数之间的关系：
（1）同角三角函数之间的关系：
本节课结束 同学们再见！
2、解直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
4.锐角三角函数的增减性:
（同学们总结，教师归纳）
《典型考题展示》
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（ ）
A． B. C. D.
B
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是( ) （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
6．在△ABC中，若|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A. B. C 解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
∴tan∠BPC=tan∠BAE=
E
10．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．求BC的长．
解：在Rt△ABD中，
∴AB=3
∵BD2=AB2﹣AD2
在Rt△ADC中，∵∠C=45°
考点一：锐角三角函数
1锐角函数的定义：如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，则sinA= cosA= tanA = 。2.特殊角的三角函数值：
特殊角
sinA
cosA
tanA
3.三角函数之间的关系：
（1）同角三角函数之间的关系：
本节课结束 同学们再见！
2、解直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
三角函数解三角形正弦定理余弦定理的应用举例课件理ppt
重点掌握三角函数的概念、公式和性质。 能够熟练运用三角函数解决实际问题。
理解正弦定理、余弦定理及其应用。 理解解三角形的基本原理和方法。
回顾学习目标及收获
通过对三角函数、正弦定理、余弦定理等知识的 学习，掌握其基本概念和应用方法。
熟悉解三角形的基本步骤和技巧，能够解决一些 实际问题。
了解三角函数在数学、物理、工程等学科中的应 用，拓宽知识面和视野。
利用正弦定理和余弦定理解决一般三角形问题
确定三角形形状
通过已知一般三角形中两边及其夹角或两角及其夹边，利用正弦定理、余弦 定理可确定该三角形的形状（如等边、等腰或直角三角形）。
求解三角形中其他元素
当已知一般三角形中一些元素（如两边及其夹角或三边），利用正弦定理、 余弦定理可求解出三角形中其他元素（如角度、高度等）。
三角函数解三角形正弦定理余弦定 理的应用举例课件理ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 实践练习 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件重点介绍三 角函数在解三角形 方面的应用
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
THANKS
学习目标
掌握正弦定理、余弦定理的推 导及证明过程
会用正弦定理、余弦定理解决 解三角形的实际问题
掌握解三角形的计算技巧和规 律
课程大纲
余弦定理的推导及证明
用余弦定理解决解三角形问题
正弦定理的推导及证明
用正弦定理解决解三角形问题
解三角形的计算技巧和规律总结
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
理解正弦定理、余弦定理及其应用。 理解解三角形的基本原理和方法。
回顾学习目标及收获
通过对三角函数、正弦定理、余弦定理等知识的 学习，掌握其基本概念和应用方法。
熟悉解三角形的基本步骤和技巧，能够解决一些 实际问题。
了解三角函数在数学、物理、工程等学科中的应 用，拓宽知识面和视野。
利用正弦定理和余弦定理解决一般三角形问题
确定三角形形状
通过已知一般三角形中两边及其夹角或两角及其夹边，利用正弦定理、余弦 定理可确定该三角形的形状（如等边、等腰或直角三角形）。
求解三角形中其他元素
当已知一般三角形中一些元素（如两边及其夹角或三边），利用正弦定理、 余弦定理可求解出三角形中其他元素（如角度、高度等）。
三角函数解三角形正弦定理余弦定 理的应用举例课件理ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 实践练习 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件重点介绍三 角函数在解三角形 方面的应用
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
THANKS
学习目标
掌握正弦定理、余弦定理的推 导及证明过程
会用正弦定理、余弦定理解决 解三角形的实际问题
掌握解三角形的计算技巧和规 律
课程大纲
余弦定理的推导及证明
用余弦定理解决解三角形问题
正弦定理的推导及证明
用正弦定理解决解三角形问题
解三角形的计算技巧和规律总结
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
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若 fA2＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值．
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，