第2章 海洋中声场的基本理论

p p0
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
– 假设压力和密度的扰动量为 v / c 的一阶小量，忽略三个
方程中的二阶及高阶项：
v 1 p t 0
t
0
v
0
1 c2
p t
t
v0
– 当介质均匀时，v0 可消去。将第二式对时间求偏导
2
t 2
0
v t
0
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2.1 海洋中声场的射线理论
• 密度非均匀介质中的波动方程
2 p 1 2 p 0 c 2 t 2
– 此时声场也能够用声波速度势函数来表示 ：
v
– 将上式代入欧拉方程有：
p / t
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• 密度均匀介质中的波动方程
– 对于简谐波，由波动方程可得到Helmholtz方程 ：
2 p k2 p 0
如果 R 表示声线上某一点的矢径，s 表示沿着声线的距
离，那么沿着声线的单位向量可用下式进行表示
dR / ds e
ds
dR
并且
W ne
R
R dR
将上式对 s 求导有：
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2.1 海洋中声场s 的射线理论
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• 声强、聚焦因子和焦散
– 在射线声学中，声能沿着声线管束传播，不会透出管 束侧壁。
– 由于假定声源是各向同性的，因此声场具有柱对称性。 右图中波阵面的面积为
dS
2r
r
1
sin d1
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• 三维折射
– 当介质的折射率是三维坐标的函数时，声线将不能保 持在同一个平面内。
– 在海洋声学中，当分析内波对声场的影响时将会遇到 三维折射的情形。
– 在研究距离有关（Range-dependent）海洋中声波远 距离传播时也会遇到相同情况。
(2A • W
A 2W
)
k
2 0
A[n 2
(W )2 ]
0
– 当声波频率足够高时，由上式可得程函方程和输运方 程（transport equation）
(W )2 n2
2A • W A2W 0
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• 三维折射
– 程函方程：
• 定义了声线几何坐标，声线垂直于等相位面
p ~ exp it
– 均匀介质中Helmholtz方程的两种简单解
（1）球面波解：
p iV0 exp(ikR) 4R
V0 4a2v0 ：声源的体积速度； v0 ：球面振速振幅。
（2）平面波解：
p A exp[ i(k x x k y y k z z)]
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• 声强、聚焦因子和焦散
– 聚焦因子趋于无穷大时对应的轨迹为焦散线，方程为
r(1, z) 0 1
– 在焦散线及其附近区域，射线声学需要用Airy函数进行 修正，此时聚焦因子为：
f
25 / 3 cos1 (k1 sin 1 )1/ 3
r
2r
2 / 3
v2 (t)
sin
12
t
21/ 3
2r
12
1/ 3
– 在寒冷的冰山附近的淡水区以及定义明确的洋流边界 处也可观测到三维折射现象。
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• 三维折射
– 声压表示为如下形式
p(R) A(R) exp[ ik0W (R)]
R x, y, z
– 将上式代入Helmholtz方程中有
2
A
ik0
(k1 sin 1 )2 / 3 (r r0 )
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• 声强、聚焦因子和焦散
– 两条声线在某一点相交，声场出现振荡现象，这是声 线干涉引起的结果，对应t<0。
– 在焦散线的下方，这类声线都无法到达，形成声场的 影区，对应t>0。
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• 密度非均匀介质中的波动方程
– 欧拉方程：
dv 1 p 0
dt
– 连续性方程： d v 0
dt
– 状态方程：
dp c2 d
dt
dt
c p / S
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• 密度非均匀介质中的波动方程
– 在声波扰动下：p p0 p 0
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• 主要内容
– 介质中的波动方程 – 声线折射 – 声强、聚焦因子和焦散 – 三维折射 – 距离有关波导的Snell定律 – 海洋声层析
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• 射线理论尽管存在近似，但仍然是非均匀介质中研究频率 足够高的声波传播的有效方法
–将
0
v t
用声压表示：
2 2 p
t 2
– 对状态方程求时间偏导数：
1 c2
2 p t 2
2
t 2
v t
0
– 结合上式，非均匀介质中的波动方程为：
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1 c2
2 p t 2
2 p
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1
0
0
• p
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• 密度均匀介质中的波动方程
– 忽略物理量的上下脚标，介质密度均匀时：
• 声强、聚焦因子和焦散
– 声源辐射声功率为W，则管束中传播的声功率为
dW W / 2cos 1d1
– 声强为：
I dW W cos1
dS 4r r sin
– 聚焦因子：
1
f I r cos1 I0 r sin 1
I0
W
4r 2
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• 声线折射
– 首先考虑声速仅是深度的函数以及海面、海底为平面 这种水平分层海洋。即使在这种简单的假定下，波动 方程也只有在某些特例情况下才能获得已知解（水声 学）。
– 射线声学近似经常被采纳，其应用的必要条件为相对 声速梯度与波长之积远小于1：
dc 1
c dz
– 且该点不能位于影区或影区边缘，以及焦散线或焦散 线边缘。
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• 声线折射
– 当射线理论所有应用条件得到满足时，则可以根据声 线管束扩展规律应用射线理论计算任意一点的声强。
cos c1 / c2
– c1和 c2 近似相同，掠射角近似表示为：
2c / c2 1/ 2
c c2 c1
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