平面桁架习题课
第二节平面桁架问题
第二节 平面桁架问题考虑一个平面桁架结构，如图2.7所示：图 2.7 平面桁架结构该结构由4个杆件在4个节点处连接而成。
在节点处铰接，不能承受(传递)弯矩，所以每个杆内只能产生均匀分布的轴向力。
1. 鉴于上述假设，每个节点处只有两个位移分量，即x，y方向的位移u i，v i，它们1415元件号 节点号 节点坐标 弹性模量 横截面积 e i , j ( x i , y i )；(x j , y j ) E e A e杆件的长度可由下式计算()()L x y x x y y e eej i j i =+=−+−∆∆2222()()ij i j e x x y y tg −−=θ其中e θ是杆件的轴向与x 轴正方向的夹角。
对于图2.8所示的结构，每个元件的节点号如下所示：424433322311j i e杆件产生节点位移u i ,v i ,u j ,v j 后,杆的长度变化为（以受拉为正，受压为负） ))sin cos (sin cos (e i e i e j e j e v u v u L θθθθ+−+=∆ 在节点 j 处的端点轴向力为ee ee e e e e eee jL L LA E L L A E F ∆=∆=∆=κ 其中e ee eLA E =κ 该力在x , y 方向的分量就是X j e 和Y j e ，其表达式为：ee e e e j e j L F X θκθcos cos ∆== j e e e j e e i e e e i e e v u v u θθκθκθθκθκsin cos cos cos sin cos 22++−−=e e e e e j e j L F Y θκθsin sin ∆== j e e j e e e i e e i e e e v u v u θκθθκθκθθκ22sin cos sin sin sin cos ++−−=由杆件本身的平衡得到 F i e = －F j e 即（2.11）（2.14a）（2.12）（2.14b）（2.13）16j eeej eei eeei eee je i v u v u X X θθκθκθθκθκsin cos cos cos sin cos 22−−+=−=j eej eeei eei eeeej e i v u v u Y Y θκθθκθκθθκ22sin cos sin sin sin cos −−+=−=把以上4式合并起来,写成矩阵形式如下⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧j j i i e ee ee e e e e ee ee e e ee e e e e ee e e e j e j e i e i v u v u Y X Y X θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθκ22222222sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos 上式写成分块形式为F F k k k k d d i ej e ii eijejie jj e i j ⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭上式中各子矩阵，各子向量的意义是很明确的。
理论力学4.4第4-4章平面简单桁架的内力计算
x y
0, F2 20 0 0, F1 0
解得： F1 0 F2 20kN
20kN
C
FAx F3 F4 FAy
10kN 10kN 10kN 10kN
F1
A
FBy
F2
FAx
解：(1) 取整体为研究对象
FAy
F1
(3) 取节点A为研究对象
F 0 , F F F cos 45 0 x Ax 4 3 F 0 , F F F sin 45 0 y Ay 1 3
F 0, F F 0, F M 0,
再以截面m－n左面部分为研究对象 MC 0
F3 A C FA F2 F4 F1
Fa F1b FA 2a 0 F1 4a F b
F
F
b
FB
例 题 4
C
求：桁架1、2杆的力。 解：(1) 取整体为研究对象
D a
M
解得：
a
B
0, P.2a FAy 3a 0
FAy 2P 3
α A E F FAC α α C α α
O α B C F G D FBC FGy FGx M
2M CG 2l cos 30 FBC 3l 参考受力图(b)， 选x轴与FOB垂直。 ' O O F 0 , F . COS 30 F . COS 60 0 x BC AB
Fi Fix i Fiy j FR
i 1 i 1 i 1
n
n
n
04--第四章 平面任意力系-(习题课专题)(2011修改)
Fq=2q=1 kN
C
FAy FAx
A
1.5m
x
30 B
q=0.5kN/m
Fq F=2kN
L=2m
例3.3 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触， 求F力作用下工件所受到的夹紧力。 解：逐一讨论A、B，可解。 研究整体，受力如图。 需要求的是FC。 列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F
FN FB sin 0
FR l 2 R2
FN F tan
取轮,画受力图.
F
解得
ix
0
FR l 2 R2
Fox FA sin 0
Fox
F
解得
iy
0
Foy FA cos 0
M
解得
Foy F
o
0
FA cos R M 0
Fx 0 Fy 0 M o 0 (3 4)
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
Fx 0 一般式（一矩式） Fy 0 M 0 A
0 0 0 0
F1 cos F2 cos F3 cos 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
M A 0 M B 0
B
例3.4 梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B处的约束力。
解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。 列平衡方程： 4m FAy Fx=FAx=0 ---(1) W P FAx Fy=FAy+FBy-P-W=0 ---(2) MA MA(F) 1m C A 1m 8m 4m =MA+12FBy-4W-8P=0 ---(3)
17 桁架 平面力系习题课
解: 1. 以DC为研究对象, 受力如图。
B
F D
M C (F ) 0 :
FDy l W l 0 2 (1)
C
FDy
C
FCy FCx
FDy W 2
FDx D
W
A
E
B
2. 再以整体为研究对象:
F D
Fy 0:
FAy FDy 3W 0 (2)
C
FAy
A E
y
A
联立求解，得 FAx= －2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kN
FAy A FAx
F a a
E FE
a
FB B
C D FC
a
FAF A FAx FAC
取节点A，受力分析如图。由平衡方程
FAy
F A E FE
F 0， F 0,
x
FAx FAC FAF cos 45 0
a
C
a FC
FDE
D
a
D
a
B
取节点D，受力分析如图。由平衡方程
F 0, F 0,
x
FDB FDC 0
y
FDE 0
FDC
FDB
解得 FDB 2 kN , FDE 0
FBE
FB
取节点B，受力分析如图。由平衡方程
F
B
x
0,
0,
FBD FBE cos 45 0
F A a C FC a E FE a D a B
【解】 先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
F 0， FAx FE 0 F 0, FB FAy FC 0 M F 0,
静力学-平面简单桁架的内力计算
3. 取左(右)部分分析， 列平面任意力系的平衡方程。
2. 截面法 求某几根杆件内力常用的方法 —平面任意力系问题
例： 求：1、2、3杆件内力
3. 取左(右)部分分析，假设 “拉”
C ①D
FAy
②
A
③
F FB 列平面任C意力①系的平F衡1方程。
B
FAy
② F2
FAx E
G
F1
F2
解：1. 求支座约束力
A
(2)
F
f f
A
如果作用于物块的全部主动力合力 F
的作用线落在摩擦角之外( ≥ f )，则
无论此合力多小，物块必滑动。
FRA
2. 自锁现象
(phenomena of self-locking)
FRA
FRA
0 f 物体静止平衡时，全约束力必在摩擦角内
Fmax FS
FN f
A
(1)
F
f f
(2)
A
FAx
③ E
F3
P1
MA0
FB
ME 0
F1
MB 0
FAy
Fy 0
F2
Fx 0
FAx
Fx 0
F3
2. 把桁架截开 不要截在节点处
赛 车 起 跑
为什么赛车运动员起跑前要将车轮与 地面摩擦生烟？
第四章 摩擦 Friction
摩擦(friction): 一种极其复杂的物理-力学现象。
涉及:
“滚动摩阻定律”
—滚动摩阻系数 ，长度量纲
r
P A
FS FN
Q
r
临界平衡 P
A
Mf
FS
FN
理论力学桁架网络练习题
理论力学桁架网络练习题一、基本概念题1. 请简述桁架结构的特点。
2. 桁架中的杆件主要承受哪种类型的载荷？3. 什么是节点？桁架中的节点有哪些类型？4. 简述静定桁架与超静定桁架的区别。
5. 桁架结构中的零杆具有什么性质？二、计算题1. 已知一简单桁架，各杆件的长度和材料相同，求各杆件的内力。
2. 计算如下图所示桁架结构中各杆件的内力（图中已给出各杆件长度和载荷）。
3. 有一静定桁架，部分杆件长度和载荷已知，求剩余杆件的长度。
4. 已知一超静定桁架，求各杆件的内力。
5. 分析下图所示桁架结构，判断其是否为静定桁架，并说明理由。
三、分析题1. 分析桁架结构在不同载荷作用下的受力特点。
2. 论述桁架结构在工程中的应用及其优缺点。
3. 比较分析不同材料桁架的受力性能。
4. 针对一个实际桁架工程案例，分析其设计合理性。
5. 讨论桁架结构在地震作用下的稳定性问题。
四、作图题1. 根据给定条件，绘制一个静定桁架的受力图。
2. 绘制一个超静定桁架的受力图，并标明各杆件的内力。
3. 根据下图所示桁架结构，绘制其节点载荷图。
4. 绘制一个桁架结构的弯矩图和剪力图。
5. 请绘制一个简支桁架在均布载荷作用下的受力图。
五、综合题2. 分析一个实际桁架结构，提出改进措施，使其受力更加合理。
3. 针对一个超静定桁架，采用力法求解各杆件的内力。
4. 讨论桁架结构在温度变化影响下的受力特点。
5. 结合工程实际，论述桁架结构在施工过程中的注意事项。
六、判断题1. 桁架结构中的杆件只能承受轴向力。
（）2. 所有桁架结构都必须是静定的。
（）3. 在桁架结构中，节点载荷可以分解为各杆件的轴力。
（）4. 超静定桁架的杆件内力可以通过静力平衡方程直接求出。
（）5. 桁架结构的稳定性只与杆件长度有关。
（）七、选择题A. 受拉杆件B. 受压杆件C. 零杆D. 弯曲杆件2. 桁架中的节点是：A. 杆件连接处B. 载荷作用点C. 支撑点D. 所有上述选项A. 杆件数量等于节点数减去支撑数B. 杆件数量等于节点数加上支撑数C. 载荷作用点等于节点数D. 支撑数等于节点数A. 力法B. 位移法C. 力矩分配法D. 直接平衡法5. 桁架结构的优化设计主要目的是：A. 减轻结构重量B. 提高结构稳定性C. 降低材料成本D. 所有上述选项八、填空题1. 桁架结构主要由______、______和______组成。
南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第6章
6－1 题6－1图所示平面桁架，各杆Ef 相同，求在载荷P 作用下桁架各杆的内力。
解：(1)解除约束：系统静不定度为K=1,故解除1-2杆的约束， 代之以约束力X 1，如图6-1a 所示。
（2）内力分析：求<<P>>状态下的内力N p 、 单位状态<<1>> 下的内力N 1，内力分别如图6-1b,6-1c 所示。
（3）求典型方程中的影响系数δ11和载荷系数△1PEfdEf l N i i )223(2111+===∑ δ EfPdEf l N N i i P P 2111-===∆∑（4）求解多余约束力X 1:由典型方程01111=∆+P X δ解得：PP d EfEf Pd X P 172.0)223()223(22/1111≈-=+=∆-=δ（5）用叠加原理11X N N N P +=求出各杆的内力PN N P N N P N N P N )12(;)222(;)22(;)223(45342414251312-==-==-==-=6-2 题6-2图所示平面桁架，杆长AD=DC=BC=1m,AC 杆和BD 杆的截面积A AC =A BD =200mm 2，A AD =A DC =A BC =150mm 2， 各杆材料均相同，E ＝200KN/mm 2，当C 点受垂直载荷P ＝100KN 作用时，求该结构各杆的内力。
解：（1）解除约束：系统静不定度为K=1,故解除CD 杆的约束， 代之以约束力X 1，如图6-2a 所示。
（2）内力分析：求<<P>>状态下的内力N p 、 单位状态<<1>>下的内力N 1，内力分别如图6-2b,6-2c 所示。
（3）求典型方程中的影响系数δ11和载荷系数△1P1150.0803342111≈+===∑ i i Ef l N δ4316.048093411-≈-===∆∑P Ef l N N i i P P （4）求解多余约束力X 1:由典型方程01111=∆+P X δ解得：755.3663437233480480934/1111≈--=+⨯--=∆-=P P X P δ（5）用叠加原理求出各杆的内力： 11X N N N P +=KN N C B 480.88=-KN N D B 252.3-=-748.46=-C A NKN N D A 877.1=-KN N D C 755.3=-如图6-2d 所示。
理论力学摩擦及习题课
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
Fx 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D旳另一种方程可用来校核计算成果
Fy 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与S3相等,计算精确无误。
10
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆旳内力。 解：①研究整体求支反力
Fx 0 X A 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Fy 0 YA S5sin P0
S5 0
Fx 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S
4
Pa h
11
阐明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴、与取矩点旳选择无关。
28
八、例题分析 [例1] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于斜面；
求 SBD ？ 和支座反力？
解： 研究整体, 画受力图, 列方程
(可用二力平衡原了解释)
Fmax 2 φmax
Rmax
摩擦角旳概念被广泛旳使用: (1) 摩擦系数旳测定
(2) 螺旋千斤顶旳自锁条件
19
(3) 沙堆成型旳过程
自锁实例：
习题课3.静定平面桁架的内力计算
习题课3静定平面桁架的内力计算一、找出桁架的零杆(1)F P000000(2)8根零杆5根零杆F P000(3)12根零杆F PF P 00000000000F P 12根零杆(4)A 000000000006根零杆(5)a aaaS 1S 2F P 2F P F P F N 2F N 1AB C DⅡⅡⅠⅠ00000由于荷载反对称，该桁架除下部水平链杆AB 外，其余杆件受力反对称，故。
0=NCD F 1S F=∑I-I 右：20S F =∑II-II 右：12220222N P P F F F +⋅−⋅=10N F =22220222N P P F F F −+⋅+⋅=22N P F F =F PF P(7)(6)F P0附属部分6根零杆7根零杆F P0000000二、用简捷方法求桁架指定杆轴力150+II-II 左：(1)ABC DE FGHa /2a /2ⅡⅡⅠⅠ12解：CM=∑11 1.51.5()N P N P F a F a F F ⋅⋅==−压220/200.5Dy P y PMF a F a F F =+==−∑I-I 下：250.5 1.118()1N P P F F F =−⋅=−压简单桁架1.5F PF P F P F Pa a /2aa /2 1.5F P125(2)F NF yB =2F P dd dd F PAC DB dⅡⅡⅠⅠ1F yC =F PF yA =F PF xA =2F P 323F P2F P331)020()2)0()3)0()C N P P N P x N P y yC P M F d F d F d F F F F F F F F =+−======↑∑∑∑拉拉I-I 右：联合桁架解：F NF yB =2F P dd ddF PAC DB dⅡⅡⅠⅠ1F yC =F PF yA =F PF xA =2F P 323F P2F P1210()()032()D N P P yN P P P M F F d F dF F F F F ==−⋅=−==−=−∑∑压压II-II 左：整体平衡：10(322)()2ByA P P P P P MF F d F d F d F d F d==+⋅−−=↑∑(3)F P0A -F P-F P-F PF DEC 12F PF PPF 2F N F Pa /2aⅠⅠ00B 0EN MF ==∑1)I-I 右：02=N F 2)结点C ：1102()yy PN P FF F F F ===∑拉3)结点F ：aa /2aa /2联合桁架解：(4)F P 4m4mF P F P F P 4F P6.67F P6.67F P AB FC F N 2134ⅡⅠEⅡD GH 4m4m3m3mⅠ解：1220()0()33DN P xN P MF F FF F ====−∑∑拉压1) I-I 右：2) 结点E ：2222550()346xx PN x P FF F F F F ====∑拉简单桁架F PF N 2E 23PF F P 4m4mF P F P F P 4F P6.67F P6.67F P AB FC F N 2134ⅡⅠEⅡD G H4m4m3m3mⅠ553434343x Py P PN F F F F F F ==⋅==4) 结点D ：F PFN 3F N 5D2F P2F P /3410(48)2()6F N P P P M F F F F −==+=−∑压3) II-II 右：xF=∑(5)F PCA B dⅠ1 1.5F P 1.5F P02F P F Pd 0复杂桁架1)结点C：结构与荷载均对称，两斜杆轴力为零。
教学课件第五章静定平面桁架
60
40
20
-
A
-120 C -20 F -20
15kN 15kN
4m
4m
4m
G
15kN
结点分析时把所有杆内力均画成拉力（含已求得的压力）并代 入方程，然后是拉力的得正值，是压力的得负值。结果为正说 明该杆受拉，结果为负说明该杆受压，这样做不易出错。
§5-2 结点法
小结
• 以结点作为平衡对象，结点承受汇交力 系作用；
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆对不称受轴力处垂的直杆对不称受轴的力杆不受力
FFAAyy
FFBBy y
§5-2 结点法
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。 对称结构:几何形状和支座对某轴对称的结构.
FP
§5-2 结点法
关于零杆的判断
桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持 结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往 往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在 另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了 它，就不能保证桁架的坚固性。
分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆， 这对后续分析往往有利。
§5-2 结点法
• 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建 立各结点的平衡方程，则桁架各结点未 知内力数目一定不超过独立平衡方程数；
• 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
§5-2 结点法 二、结点法计算简化的途径
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直 接判断该结点的某些杆件内力为零。 零杆
(1) L型结点：两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆 的内力都为零。
07.桁架与习题课
§2-6 平面简单桁架的内力计算§3-4 平面简单桁架的内力计算桁架——一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架节点——桁架中杆件的铰接接头桁架的优点：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量桁架计算中的通用假设：●桁架的杆件都是直杆●杆件用光滑铰链连接●桁架所受的力（载荷）都作用在节点上●忽略杆重，或平均分配到杆件两端的节点上手工计算桁架杆件内力的方法：●节点法：逐个节点地研究节点平衡，由已知力逐步求出全部未知的杆件内力。
●截面法：选取一适当截面，假想地将桁架截分为二，考察其中任一部分的平衡，以被截断杆件的内力代替另一部分对此部分的作用，由平衡方程求出这些内力。
例：节点法和截面法求桁架内力图示桁架，已知P 1= P 7= P ，P 2= P 3= P 4= P 5= P 6= 2P 。
用节点法求第1 至第6 各杆内力，用截面法求第14 杆内力。
P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 72a 2a 2a 2a 2a2a 3a AB C D E F G H I K L1234567891011121314161718192021解：1. 求约束反力以整体为对象，画受力图。
A J15F LyF Ax F Ay列平衡方程0:0==∑Ax F X :0=∑AM ()021086421212=⋅⋅++++-⋅-⋅P a P a a F Ly 得：F Ly = 6P:0=∑LM()021086421212-=⋅⋅+++++⋅+⋅P a P a a F Ay 得：F Ay = 6P校核：()07654321=++++++-+=∑P P P P P P P F FY Ly Ay2. 节点法求各杆内力P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 72a2a2a2a2a2a3aA B C D E F G H I J K L123456789101112131415161718192021F LyF Ax F Ay研究A 点平衡，设各杆均受拉力。
《平面桁架习题》课件
04 平面桁架的优化 设计
平面桁架的尺寸优化
总结词
尺寸优化是平面桁架优化设计的重要环节，主要涉及对杆件长度、截面尺寸等参 数的调整，以达到更好的力学性能和经济效益。
详细描述
在平面桁架的尺寸优化过程中，通常采用数学模型和计算机模拟技术，通过对杆 件长度、截面面积等参数的调整，使整个结构在满足承载能力的前提下，具有更 小的重量和成本。同时，尺寸优化还可以改善结构的稳定性和振动性能。
平面桁架习题
目 录
• 平面桁架的基本概念 • 平面桁架的内力分析 • 平面桁架的位移分析 • 平面桁架的优化设计 • 平面桁架的应用实例
01 平面桁架的基本 概念
平面桁架的定义
总结词
平面桁架是一种由杆件组成的结 构，其所有杆件都在同一平面内 相互连接。
详细描述
平面桁架是由若干直杆在端点以 铰链连接组成的结构，所有杆件 都在同一平面内，形成了一个几 何不变体系。
总结词
高层建筑中，平面桁架用于连接高层建筑竖 向结构和水平楼板，提高整体稳定性。
详细描述
在高层建筑中，平面桁架被广泛应用于连接 高层建筑的竖向结构和水平楼板。通过合理 设计平面桁架的结构形式和尺寸，可以有效 地提高高层建筑的整体稳定性，增强结构的 承载能力和抗风能力，确保高层建筑的安全 性和稳定性。
05 平面桁架的应用 实例
桥梁工程中的平面桁架
总结词
桥梁工程中，平面桁架常被用于主梁和桥墩的连接，以承受和传递荷载。
详细描述
在桥梁工程中，平面桁架结构因其高强度的承载能力和稳定性而被广泛应用。 通过合理设计平面桁架的结构形式和尺寸，可以有效地将桥面荷载传递到桥墩 上，确保桥梁的整体稳定性和安全性。
平面桁架的结构优化
桁架计算习题
取 D 结点为研究对象，得：
1 D 3 1 2 2 1
∑Y = 0
N12 y = −( N13 + 60) = −10kN
N12 = 11.31 × N12 y = −14.14 kN 8
N13 + N12 y + 60 = 0
N12 x = N12 y = −10kN
∑X =0
N 2 = N1 − N12 x = −90kN
0 3 1 G 9 4
N9 + N5 y − N6 y = 0
取 G 结点为研究对象，得：
∑Y = 0
N10 y = − N 9 = 30kN
N10 = 11.31 × N10 y = 42.43kN 8
N10 y + N 9 = 0
N10 x = N10 y = 30kN
0 6 0 3 0 3 5 4 0 6
= 3 4
C
=0
得
：
N ax × 6 + 100 × 4 − 150 × 12 = 0
N ax = 233.33kN
N ay N ax
N ay = 3 × 233.33 = 175kN 4
∴ Na
= 291.67kN
齐欣制作
西南交通大学结构力学教研室
13
西南交通大学结构力学教研室
b 0 a K
取 K 结点为研究对象，对称结构在对称荷载作用下：
F B 1 C F 2 A F D F
Ⅱ
b
Ⅱ
由 ∑ Y = 0 得, Rb = 0 5-14 解：根据支座特性及 L 型结点特N
N7 − F + 2N5x = 0
F F
N 7 = 2F
静力学-5平面桁架
4 4 FDB 0 ; FDB 2.5kN; 5 5
FAD
FDA
FDB
3 3 FDA FDE 0 ; FDE 3kN; 5 5
[D]
FDE
[B]
4 4 Fiy 0, FBD FBE 0 ; FBE 2.5kN; A 5 5
FR
左螺旋
当空间力系简化为一合力时，合力矩定理仍然成立。 空间一般力系的平衡条件 空间一般力系平衡 的充分和必要条件：
FR Fi 0
M O M Oi 0
FR Fi 0
M O M Oi 0
——空间一般力系的平衡方程
刚体系的平衡
刚体系平衡 系统中每个刚体平衡 平面任意力系的平衡方程
F2 F1
F3
解: 1、选取截面
2、画出研究对象受力图 3、建立平衡方程 研究整体:
FB
研究部分桁架
M
A
0 FB
F
y
0 F1
例: 求图示结构中, CB杆上C端的约束力和杆1的内力 已知:M, P, AE=EC=CD=DB=DH=EG=L 解: 1、研究整体
FAy F Ax
A
E
C
F
P
一、节点法：将每个节点视为平面汇交力系平衡对 像，逐个节点求解内力。 二、截面法：截取桁架每一部份视为平面力系平衡 对像，应用三个平衡方程求解内力。
二、平面桁架内力的计算方法
1、节点法： 以节点为研究对象计算杆件内力的方法 A D 4 例: 在图示桁架中,已知水平杆 1 和铅垂杆等长, 节点E上作用有 7 3 5 铅垂力P, 求各杆内力. E 6 C 2 B 节点法的特点: P 研究节点E－>杆1、2的内力 研究节点C－>杆3、6的内力 研究节点D－>杆4、5的内力 研究节点B－>杆7内力和B处的约束力
第5章静定平面桁架（零载法与习题课）9-26
图示组合体系，零荷载时， FAH=0；设FAV≠0，由梁上的弯矩 图可得B支座的反力向下。显然不满 体系为几何不变体系。 足∑MF=0，FAV应为0。
§5-7 用零载法分析体ห้องสมุดไป่ตู้的几何构造
零载法只适用于W=0的体系
图a所示体系是几何可变体系， W=1。如果用零载法会得出是几何 不变体系的结论。
图b所示体系是几何不变且有多 余联系的体系，W=-1。 如果用零载法会得出是几何可变体 系的结论。
练习
练习
练习
练习
第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 结点法 §5-3 截面法 §5-4 结点法和截面法的联合应用 §5-5 各式桁架比较 §5-6 组合结构的计算 §5-7 用零载法分析体系的几何构造
§5-7 用零载法分析体系的几何构造
零载法：对于W=0的体系，从零荷载时是否有非零的内力 存在来判定其是否几何不变。
原理：静定结构静力解答的唯一性,即当荷载为零时, 静定结 构的反力和内力显然均为零,如果存在非零解,则为几何体系。
零载法主要步骤：
(1)若W=0,设其中一反力或内力不为零,比如取R=x;
(2)进行受力分析,计算其它的反力和内力; (3)进行判断,如果所有反力或内力均能满足平衡条件， 表明存在非零解,体系几何可变；如果所计算的反力或 内力存在前后矛盾，表明只有零解,体系为几何不变．
体系为几何不变体系。
图b所示体系零荷载时，可知DH、 DE、CG、FB为零杆，其余各杆件不
能判断。
设EH的内力为 2 ，计算得到其余杆件 的内力如图b，能够满足结点平衡条件。
体系为几何可变体系。
§5-7 用零载法分析体系的几何构造
理论力学课件 平面简单桁架。摩擦
动摩擦
Fd = fFN
f称为动摩擦因数，和物体相对运动速度有关。
3.5 摩擦
静摩擦力 大小：是一个范围
0 ≤ F ≤ Fmax = fs FN
只有临界的情况才能引用 Fmax = fs FN 而且摩擦力方向不能假设
方向：与相对运动 摩擦
MA
FAy
∑Fx = 0
FBy FBx
∑Fy = 0
∑MA =0
FAx − FBx = 0 FAx = 8kN
FAy − FBy = 0 FAy = 4kN
M A + M + FBx × 2a − FBy × a = 0
M A = −22kN ⋅ m
3.3 简单物体系平衡问题
思考题：人重W，板重P，若人有足够大的力量。 1、可能维持平衡的是？ 2、哪种情况人更费力？
注意: 平面静定桁架的零力杆只是在特定载荷下内力为零, 所以它绝不是多余的杆件。
3.4 平面简单桁架
判断０杆
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
3.4 平面简单桁架
3、截面法
用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对 象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。
截取的部分上的力系是平面任意力系
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
FP
E
FP
FP
FP
H
C
FP
2 I
30° 30°
2
30° 30° A
G
D
B
FIy
a
a
a
a
FA
FP
FCE
C
y FCD x
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O
O
3）计算 a杆内力 结点法：
O O
O
O
OOO
取结点B计算 a杆内力；
截面法：
13 P
b
b
a
6a 6a
B 5P
6
2P
6
MA 0
P
Na
2a a
2 2
Na
3a
13 6
P
3a
4 Pa
0
Na
52 6
P
4）计算 b杆内力
13 P
Nb A 6a
3a 2a a
MC 0
Nb
2a
5 6
P
4a
0
C
Nb
5 3
P
例3：试求图示桁架指定杆的内力。
Nb
6a
e
H
5P 6
d
cF Eb
A
G Ca D
B
4P P P P P P P P P 4P
9a
3a
Na
11 P 3
Ne
11 3
P
Nc 0
Ne
H
5P 3
Nc
5P 3
例4：求桁架 a杆内力。 G
G
P
H
P
a
Na
P P P P 4P
[ 分析 ]
a
E
F
截面法计算
a
A
B
C
B F
a
aP
2
解法 III：用截面法计算关键杆件内力
取隔离体图如下： D
f DD
a
a
N DC
N DC N DE
G
EP
C
GG
EP
a
a
N GA
N EF
NGA NGB f
MF 0
BA
B
F N BF
F
a
X
a
f
f
0
a
2 2
N DC
2a
2 2
NGA
a
Pa
0
NDC NGA 0
联立方程计算杆件DC和GA的轴力，然后用结点法逐步计算其它
b
F
NGba
H E
J H
A 5P
E
K B
MK 0
6
K
Nb
3 3 5 P1 0 10 6
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 B
Nb
5 10 36
P
注意： 对于较为复杂的平面桁架，指定杆件内力的计算往往是从
结构本身的几何构造分析入手。
例6：求桁架结构中 a、b杆的内力。
2m222mmm 4m444mmm
D
1）反对称荷载作用下
C
P
G
2
E
P
2
A
B
F
解法 II：截面法求解关键杆内力
a
判断零杆 用结点法分别取E、F结点 为隔离体，逐步计算各杆 内力。
D
对右半部分隔离体，取CD、
AG和EF杆法线方向力的平
C
a
衡方程，首先计算杆FB的
轴力，然后按B、E、D、C、 A
A顺序用结点法逐步计算各
P
杆轴力。
2
G
EP
截面单杆内力可直接由力矩平衡方程求出。
例1：试用结点法计算图示桁架结构各杆内力。
解： 1）首先判断零杆：
6
依次观察结点2，7，3，8，
15m
3m5=15m
4，9，10，可发现链杆27，
73，38，84，49，95和10-5 1 均为零杆。
2 3 604 5
2）取结点1为隔离体
Y 0
45
N17
3 5
静定平面桁架习题课
一、桁架 简单桁架：通过逐步增加二元体可构成的桁架；
分类 联合桁架：由两个（或三个）刚片组成的桁架； 复杂桁架：
二、计算 结点法：以宜单用个于结简点单为桁隔架离的体计，算利用平面汇交力系平
方法
衡条件为依据计算杆件内力；
截面法：以宜包用含于两联个合及桁两架个计以算上刚结片点间部联分系为杆隔件离的体内，力
E
F
2m 4m
Nb P
2
A
B
Y 0
b
K
2P
N AE
0 52
3m 1.5m 1.5m 3m
P
P
2
2
N AE
5P 4
X 0
Nb '
5 P 4
1 0 5
Nb
'
1 4
P
2）反对称荷载作用下
P
P
取结点 F为隔离体
P
C
2 Na
F
2
2a
D
E
F
2m 4m
G
计算得： N FB
5
A
N FB
4
P
N
a
1 4
P
b 3m
根据对称性可得： N EA
5P 4
取结点 A为隔离体，
X 0
1 Nb'' 4 P
H
B K
1.5m 1.5m 3m
N AG
A
5P 4
Nb P 2
例7：求桁架结构各杆的内力。
D
a
解法 I：利用对称性简化计算
1）正对称荷载作用下
C
G
EP
a
判断零杆
D
C
P
G
2
A
B
F
E
P
a
a
2
A
B
F
用结点法按照E、D、G、B顺序，分别取结点隔离体图，利 用平面汇交力系的平衡条件，逐步计算各杆内力。
PPPP
PPPP
CC C
2P222P
2 EEE
2P222 a a
F2FF a
DD D
E
F
GG
HH
G
H
AAA A
bbb KKK
BBB B
3m33mmb 1.151.m5.5mmK1.151.m5.5mm 3m33mm
3m 1.5m 1.5m 3m
1）正对称荷载作用下 取结点 A为隔离体
P
P
2
2
N AE A
0
45
N17 75 kN
7 N12 4455kkNN 8
9
N17
10
4m5=20m
N 56 N511
1111
X 0
N12
75
4 5
0
N12 60 kN
3）取结点5为隔离体 X 0
2a a
例2：求图示桁架中指定杆件的内力。
解： 1）先判断零杆
PP
2）求支反力
O
22PP b
OO
O a
a OO
a
Na O’
Na
2 2 5
P
a D
P
J
P
C
bE
F cGaH O
Nc Na
K
A N JA
N
B
KB
MO' 0
1.5 1.5 1.5 1.5
2m 1m 2m 1m 2m 1m 2m 1m
Nc 6 4P 3P 0
P
Nc
1 6
P
X 0
Na
1 P P 0 P
6
Na
5 6
P
下面计算杆 b的轴力
C D
结点单杆：如果在同利一用结平点衡的条所件有计内算力某未些知关的键各杆杆件中的，内除力某；一杆 外，其余各杆都共线，则该杆称为该结点的结点单杆
结点单杆内力可直接根据静力平衡条件计算得到；
截面单杆：如果在同一截面所截取的所有内力未知的各杆中，除 某一杆外，其余各杆都汇交于一点，则该杆称为该截
面的截面单杆。
3a
将杆件EG、FH和BC三根 联系杆件截断，取任一边 D 为隔离体进行计算。
P
NGE
Na
a
Mo 0
2 Pa
2 2
Na
5a
0
2m 1m 2m 1m
O
N CB
a
3a
例5：求图示桁架结构中 a、 b 和 c杆的内力。
解： [ 分析 ] 这是一个上、下两层三铰刚
架构成的桁架 结构。
取上部三铰刚架为隔离体。
所有杆件的内力。