4_3_控制系统性能的复域分析讲解

G (s) H (s) K1 s ( s 4)( s 6)

（2）分离点： 1 1 1 0
即
s s4 s6 3s 2 20s 24 0
s1 1.57
(0 4 6) 0 3.33 3
s 2 5.1
（舍去）
5
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4-3 控制系统性能的复域分析
K1 K1

Im K 1
K1

K1

Im
K1


bc
K1 0 K1 0 K1 0
K1 0
K1 0
Re
K1 0
n =2.9s
3.5
σp=16.3%
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4-3 控制系统性能的复域分析
二、增加开环零、极点对系统性能的影响
系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共 同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。 1．增加极点（以具体系统加以说明） 一般可以认为，当函数G(s)H(s)在s左半平面增加极点，会 促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。 设系统的开环传递函数： 增加零点
Gs Hs K1 ss a
a 0
K1 GsHs ss a s b
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b a
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4-3 控制系统性能的复域分析
K1 1 G1 ( s1 ) H 1 ( s1 ) ＝ 开环极点至向量 s长度的乘积 开环零点至向量 s长度的乘积
4
10 K1计算
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4-3 控制系统性能的复域分析
例: 系统的开环传递函数 试画根轨迹，并确定 0.5 时K1的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) 渐近线：3条。 180 ( 2k 1) 渐近线的夹角： 60 ,180 3 1 渐近线与实轴的交点：
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（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 s j 代入，求得 实部方程: 10 K1 0 虚部方程： 3 24 0 解得： 4.9 0 K 240 1 K 1 0 (舍去) （4）确定 0.5时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 60 测量得: 使得 AOC cos1 0.5 ，
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4-3 控制系统性能的复域分析
一、复域分析
1．稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1>240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正 实部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1<240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在 S左半平面，系统是稳定的。 2．稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳 定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好， 但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。
4-3 控制系统性能的复域分析
Im
K1
K1 0
K1 K1

Im

K1 0

b
a
K1

a 2
0
Re
K1 0
K1 0
a

a 2
0
Re

K1

K1

GsHs
K1 s b ss a
b a
增加一对轭复数零点后的根轨迹
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4-3 控制系统性能的复域分析
2．增加零点（以具体系统加以说明）
Im
对G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向s平面左半部移动， Im 系统的稳定性增加。 K
1
b
K1
K1 0

K1 0
-
a
K1

a 2
0
Re

K1
K1
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复习
序 内容 1 起点 终点 2 分支数 3 对称性 渐近线 4
实轴上 5 分布
规 则 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 无限零点） 等于开环传递函数的极点数（nm） 对称于实轴 相交于实轴上的同一点： n m zj 180 ( 2k 1) 坐标为： pi 倾角为：
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4-3 控制系统性能的复域分析
3. 闭环零、极点对系统动态性能的影响
(1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型。 (2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。 (3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加 快，超调量增大，峰值时间提前。 (4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。 (5) 远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。 (6) 主导极点。
Im
K1 240
K 1 4 4 .5 K 1 4 4 .5
4 .3
2 .1
A
5 .3
B
6
C
3 .5
1 .5 7
2.4
60
1 .2
7 .6
4
0
Re
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K1 0
K1 0
b
a

a 2
0பைடு நூலகம்
Re

K1

GsHs
K1 s b ss a
b a
增加一个零点，根轨迹将向 左弯曲形成一个圆
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求得
OA 2.4, AB 5.3, AC 3.5 2.4 3.5 5.3 K1 44.5 1
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4-3 控制系统性能的复域分析
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: s1 1.2 j 2.1 s 3 7 . 6 K1=44.5时另外两个极点 s 2 1.2 j 2.1 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。
d[G1 (s) H1 (s)] dK 0或 1 0 ds ds
分离（回 实轴上的分离（会合）点 合）点 ——（必要条件） 出射角 入射角 复极点处的出射角：
m i 1
a 180 (2k 1) i j
j 1 j a
n
复零点处的入射角：
n j 1
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自动控制原理
(频域分析部分)
航空航天学院 肖刚
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第四章 根轨迹法
4－1
闭环系统的根轨迹 4－2 绘制根轨迹图的基本规则 4－3 控制系统性能的根轨迹分析
b 180 (2k 1) j i
i 1 i b
m
8 9
虚轴交点 （1）满足特征方程1 G( j ) H ( j ) 0 的 j值； （2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
走向
当n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。 根轨迹上任一点处的K1：
Im
K1
K1 0
Im
K1

K1 0

K1

b
a
K1

a 2
0
Re

K1 K 1 0
K1 0
K1 0
b
a
K1
0
Re


K1

(a)
K1 GsHs ss a
a 0
(b)
GsHs
K1 ss a s b
b a
增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由±900变为±600。分离点 向右移。 (a) 稳定， (b) 在K1小时稳定， K1大可能不稳定。
c
K1
b a
0
a
0
Re

K1 K1


K1