2019高考数学专题题库及解析 附加题(BC)

(第21-C 题图)

已知圆C ：22

1x y +=在矩阵0=(0,0)0a a b b ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为椭圆22

194x y +=，求a ，b 的值．

解：设(,)P x y 为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点(,)P x y '''，

则 00x a x y b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，即,.x a x y b y '=⎧⎨'=⎩ …………………………………………………4分 又因为点(,)P x y '''在椭圆22194x y +=上，所以 2222

194a x b y +=． 由已知条件可知，221x y += ，所以 a 2=9，b 2=4．

因为 a >0 ，b >0，所以 a =3，b =2． ………………10分

C ．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B

(4

π) 的圆的极坐标方程．

解：设(,)P ρθ是所求圆上的任意一点，…………………3分 则cos()4

OP OB θπ=-，

故所求的圆的极坐标方程为)4ρθπ=-． …………10分

注

：cos()4ρθπ=-亦正确．

7. 变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2

的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用 下所得的曲线方程．

【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=， 即22221x xy y ++=，

所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分

(第21-C 题答图)