高二数学人教B选修同步练习二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量 一、选择题 1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A ．相等
B ．互补
C ．相等或互补
D ．不能确定
[答案] C
[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．
2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，P A ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )
A ．∠ADE 是二面角A —PC —
B 的平面角
B ．∠AED 是二面角A —PB —
C 的平面角
C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角
D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角
[答案] B
[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.
3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB
于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点
A 在平面BCDE 内的射影恰为点
B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角
的大小为( )
A ．45°
B ．90°
C ．135°
D ．180°
[答案] B
[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，
设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，
A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12
)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12
)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.
4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12
a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° [答案] C
5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是
( )
A.12
B.22
C.33
D.55 [答案] C
6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.2π3
[答案] D
7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435
，那么二面角A —BD —P 的度数是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° [答案] A
8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )
A.
36 B.34 C.33 D.233
[答案] D
[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为
原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系
O —xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，
∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝
⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭
⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．
∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277
， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233
. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] A
[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12
， ∴二面角P —CD —E 为30°.
10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
[答案] C
[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，
CD →＝CA →＋AB →＋BD →.
∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →
＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉
＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12
， 即〈CA →，BD →〉＝120°，
∴二面角的大小为60°，故选C.
二、填空题
11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若
a
折起后B、C间距离为
2，则二面角B—AD—C的大小为________．
[答案] 60°
12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．
[答案] 90°
13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．
[答案] 13
14．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.
[答案] 23
三、解答题
15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD
为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE
＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．
[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系．
设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，
因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0.
所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.
于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12
，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66
. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos
66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP
＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819
.
[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．
∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．
设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，
则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ
＝|AP →·AC →||AP →||AC →|
＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．
[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，
∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．
设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，
A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1
B 1→＝(－2,0,0)，
∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，
设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|
＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3
. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.
(1)求证：BD ⊥平面P AC ；
(2)求二面角A —PC —D 的大小．
[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，
∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，
∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.
∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，
又P A ∩AC ＝A ，
∴BD ⊥平面P AC .
(2)设平面PCD 的法向量为
n ＝(x ，y,1)，
则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，
又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－433，y ＝2，
∴n ＝⎝⎛⎭
⎫－433，2，1 平面P AC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，
则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331
. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331
.。