由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用

高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于( )

A.2

2

2)(b a b a ⋅- B.2

2

2)(b a b a ⋅+ C.22

2)(21b a b a ⋅- D.

22

2)(2

1

b a b a ⋅+

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1 若三点B A O ,,不共线，则22

2)(2

1

OB OA OB OA S OAB ⋅-=∆. 证明 22

22)(2

1cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ⋅-=∠-=

∆. 由此结论，还可证得

定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是

),(),,(2211y x y x ，则12212

1

y x y x S OAB -=

∆. 证法1 由定理1，得

1221221212

22221212

1)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++=

∆ 证法2 可得直线AB 的方程是

0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y

所以坐标原点O 到直线AB 的距离是

AB

y x y x 1

221-，进而可得AOB ∆的面积是

122112212121

y x y x AB

y x y x AB S OAB -=-⋅=

∆. 下面用定理2来简解10道高考题.

高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →

＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )

A ．2

B ．3 C.172

8

D.10

解 B.得⎪⎭

⎫

⎝⎛0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>.

由2212

2212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得

2121212112

222112212

12121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-⋅=-=-=

∆ 所以

38

9

28941212121121=-≥-=⋅+

-=+∆∆y y y y y y y S S AFO ABO (可得当且仅当8

9

,3421-==y y 时取等号)

所以选B.

高考题3 (2011年高考四川卷文科第12题)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则

=n m

( ) A.215

B.15

C.4

15 D.13

解

B.

所

有

满

足

题

意

的

向

量

有

6

个

)5,4(),3,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(654321======αααααα，以其中的两个向量为邻边的平行

四边形有15C 2

6==n 个.

设),(),,(2211y x y x j i ==αα，得)5,3,1(,);4,2(,2121∈∈y y x x ，由定理2得，以j i αα,为邻边的平行四边形的面积是22

1

1221=-=

y x y x S ，可得这样的向量j i αα,有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(.

所以

5

1153==n m . 高考题4 (2011年高考四川卷理科第12题) 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则

=n m

( ) A.154 B.31 C.52 D.3

2

解 基本事件是由向量)3,4(),5,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(中任取两个向量为邻边作平

行四边形，得15C 2

6==n .由定理2可得：

组成面积为2的平行四边形的向量有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(. 组成面积为4的平行四边形的向量有2对：)3,2(),1,2();5,2(),3,2(.

组成面积为6的平行四边形的向量有2对：)5,4(),1,2();3,4(),3,2(.

组成面积为8的平行四边形的向量有3对：)5,4(),3,4();3,4(),1,4();5,2(),1,2(. 组成面积为10的平行四边形的向量有2对：)5,4(),5,2();1,4(),3,2(. 组成面积为14的平行四边形的向量有1对：)3,4(),5,2(. 组成面积为16的平行四边形的向量有1对：)5,4(),1,4(. 组成面积为18的平行四边形的向量有1对：)1,4(),5,2(. 满足条件的事件有523=+=m 个，所以

3

1155==n m . 高考题 5 (2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线C 的方程为

)0,0(12222>>=-b a b x a y ，离心率2

5=e ，顶点到渐近线的距离为552. (1)求双曲线C 的方程；

(2)如图1所示，P 是双曲线C 上一点， B A ,两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈=2,3

1,λλPB AP ，求AOB ∆面积的取值范围.

图1

解 (1)(过程略)14

22

=-x y . (2)可设0,0),2,(),2,(>>-t s s s B t t A ，由定理2及题设可得st S AOB 2=∆. 由PB AP λ=，可得⎪⎭⎫

⎝⎛+++-λλλ

λ122,12s t s t P ，把它代入双曲线C 的方程，化简得