由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于( )A.222)(b a b a ⋅- B.222)(b a b a ⋅+ C.222)(21b a b a ⋅- D.222)(21b a b a ⋅+答案：C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：定理1 若三点B A O ,,不共线，则222)(21OB OA OB OA S OAB ⋅-=∆. 证明 2222)(21cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ⋅-=∠-=∆. 由此结论，还可证得定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，则122121y x y x S OAB -=∆. 证法1 由定理1，得1221221212222212121)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++=∆ 证法2 可得直线AB 的方程是0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y所以坐标原点O 到直线AB 的距离是ABy x y x 1221-，进而可得AOB ∆的面积是122112212121y x y x ABy x y x AB S OAB -=-⋅=∆. 下面用定理2来简解10道高考题.高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解 B.得⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>.由22122212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得212121211222211221212121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-⋅=-=-=∆ 所以38928941212121121=-≥-=⋅+-=+∆∆y y y y y y y S S AFO ABO (可得当且仅当89,3421-==y y 时取等号)所以选B.高考题3 (2011年高考四川卷文科第12题)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则=n m( ) A.215B.15C.415 D.13解B.所有满足题意的向量有6个)5,4(),3,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(654321======αααααα，以其中的两个向量为邻边的平行四边形有15C 26==n 个.设),(),,(2211y x y x j i ==αα，得)5,3,1(,);4,2(,2121∈∈y y x x ，由定理2得，以j i αα,为邻边的平行四边形的面积是2211221=-=y x y x S ，可得这样的向量j i αα,有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(.所以51153==n m . 高考题4 (2011年高考四川卷理科第12题) 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则=n m( ) A.154 B.31 C.52 D.32解 基本事件是由向量)3,4(),5,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(中任取两个向量为邻边作平行四边形，得15C 26==n .由定理2可得：组成面积为2的平行四边形的向量有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(. 组成面积为4的平行四边形的向量有2对：)3,2(),1,2();5,2(),3,2(.组成面积为6的平行四边形的向量有2对：)5,4(),1,2();3,4(),3,2(.组成面积为8的平行四边形的向量有3对：)5,4(),3,4();3,4(),1,4();5,2(),1,2(. 组成面积为10的平行四边形的向量有2对：)5,4(),5,2();1,4(),3,2(. 组成面积为14的平行四边形的向量有1对：)3,4(),5,2(. 组成面积为16的平行四边形的向量有1对：)5,4(),1,4(. 组成面积为18的平行四边形的向量有1对：)1,4(),5,2(. 满足条件的事件有523=+=m 个，所以31155==n m . 高考题 5 (2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，离心率25=e ，顶点到渐近线的距离为552. (1)求双曲线C 的方程；(2)如图1所示，P 是双曲线C 上一点， B A ,两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,31,λλPB AP ，求AOB ∆面积的取值范围.图1解 (1)(过程略)1422=-x y . (2)可设0,0),2,(),2,(>>-t s s s B t t A ，由定理2及题设可得st S AOB 2=∆. 由PB AP λ=，可得⎪⎭⎫⎝⎛+++-λλλλ122,12s t s t P ，把它代入双曲线C 的方程，化简得st λλ4)1(2=+，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆2311121λλλAOB S 可得AOB ∆面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡382，.高考题 6 (2007年高考陕西卷理科第21题即文科第22题)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是36，短轴的一个端点与右焦点的距离是3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值.解 (1)(过程略)1322=+y x . (2)设),(),,(2211y x B y x A ，由定理2及题设得12212y x y x S AOB -=∆由椭圆的参数方程知，可设ββααsin ,cos 3,sin ,cos 32211====y x y x ，得)sin(321221αβ-=-=∆y x y x S AOB从而可得，当且仅当点B A ,是椭圆C 的两个顶点且2π=∠AOB 时AOB ∆的面积取到最大值，且最大值是23. 高考题7 (2010年高考重庆卷理科第20题)已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图2所示，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N (其中12x x ≠)的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.图2解 (1)(过程略)双曲线C 的标准方程为1422=-y x ，其渐近线方程为02=±y x .(2)由“两点确定一直线”可得直线MN 的方程为：44=+y y x x E E . 分别解方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+0244,0244y x y y x x y x y y x x E E E E ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++E E E EE E E E y x y x H y x y x G 22,24,22,24. 因为点E 在双曲线C 上，所以4422=-E E y x . 由定理2，得24848484821222222==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∆E E E E E E OGHy x y x y x S 注 下面将指出图2的错误：因为点E 关于x 轴的对称点),(E E y x E -'也在双曲线C 上，而双曲线C 在点E '处的切线方程为1)(4=--y y xx E E 即44=+y y x x E E 也即直线MN ，所以直线MN 与双曲线C 应当相切，而不是相离.高考题8 (2011年高考山东卷理科第22题)已知动直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),(2211y x Q y x P 、两不同点，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. (1)证明：2221x x +和2221y y +均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点G E D 、、，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.解 (1)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(ββααQ P 、，由定理2，得26)(sin 26=-=∆βαOPQ S 0)cos(,1)(sin ,26)(sin 26=-=-=-=∆βαβαβαOPQ S ∈++=k k (2ππβαZ )所以3,3)cos (sin 3)cos (cos 3222122222221==+=+=+=+ y y x x βββα. (2)在(1)的解答中： 当k 为奇数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+)cos (sin 22),cos (sin 23ββββM ，所以β2sin 25212-=⋅PQ OM . 当k 为偶数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-)sin cos (22),sin cos (23ββββM ，所以β2sin 25212-=⋅PQ OM . 所以PQ OM ⋅的最大值是25. (3)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(γγββααG E D 、、，由(1)的解答知∈+=-+=-+=-m l k m l k ,,(2,2,2ππαγππγβππβαZ )把这三式相加，得∈+++++=m l k m l k (23)(0ππZ )，这不可能！所以椭圆C 上不存在三点G E D 、、，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S . 高考题9 (2013年高考山东卷文科第22题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.解 (1)(过程略)1222=+y x .(2)当直线OE 的斜率不存在时，可求得2=t 或332. 当直线OE 的斜率存在时，可设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，由定理2得212cos ,21)cos(,23)sin(,46)sin(22=-=-=-=-=∆βαβαβαβαOAB S 或23. 可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+2cos 2sin ,2cos 2cos 2βαβαβαβαE ，所以直线2tan 2:βα+=x y OE ，求得⎪⎭⎫ ⎝⎛+±+±2sin ,2cos 2βαβαP ，所以 22cos1=-==βαEP y y t 或332总之，2=t 或332. 高考题10 (2008年高考海南、宁夏卷理科第21题)设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． (1)求()f x 的解析式.(2)证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案：(1)11-+=x x y .(2)略.(3)2. 高考题11 (2008年高考海南、宁夏卷文科第21题)设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案：(1)xx y 3-=.(2)6. 下面给出这两道高考题结论的推广.定理 3 (1)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点的切线与两条渐近线x aby x a b y -==,围成三角形的面积是ab S =； (2)曲线)0(≠+=b xbax y 上任一点的切线与两条渐近线ax y x ==,0围成三角形的面积是b S =；(3)曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 上任一点的切线与两条渐近线c ax yd x +==+,0围成三角形的面积是b S =.证明 (1)如图3所示，可求得过双曲线上任一点))(,(2220220200b a y a x b y x P =-的切线方程是220202b a y y a x x b =-，还可求得它与两条渐近线x aby x a b y -==,的交点分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002002002002,,,ay bx ab ay bx b a N ay bx ab ay bx b a M ，再由定理2可立得欲证成立.图3(2)由)0(≠+=b x b ax y ，得2x ba y -='.所以过该曲线上任一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000,x b ax x P 的切线方程是)(02000x x x b a x b ax y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--从而可求得它与两条渐近线ax y x ==,0的交点分别为)2,2(,2,0000ax x N x b M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛，再由定理2可立得欲证成立.因为ad c dx bd x a d x b c ax y -++++=+++=)(，所以曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 是由曲线)0(≠+=b x b ax y 沿向量),(ad c d --平移后得到的，所以由结论(2)立得结论(3)成立.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系n n a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n 123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a .解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3a 时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.所以当a<1且1所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.(3)(4)。