社会统计学(卢淑华),第十一章
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.
检验：
1）H 0 ： xi 与yi 相互独立 双侧
H
x ： 1
i
与yi 相关
2）H 0 ：xi 与 yi 相互独立
H
x ： 1
i
与
yi 正相关
3）H x 0 ： i 与 yi 相互独立
单侧
H
x ： 1
i
与
yi 负相关
.
例：某大学调查学生每周学习时间 与得分的平均等级之间的关系，抽 查的学生资料如下：
S
S
2r
n
1c
1
se
A2 B2
n 1
A
B2 3
nn
A 3B
1
2
A3 B3
nn 1n
2
.
.
变量
等级
学习时数 平均成绩 学习时数 平均成绩
xi
yi
d d2
i
i
24
3.6
6
7.5 -1.5 2.25
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1.5 2.25
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4
00
41
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8
7.5
0.5 0.25
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3.7
10
9
11
23
3.1
5
5
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3.8
9
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-1 1
17
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2.5
3
-0.5 0.25
15
2.1
.
第三节 其它等级相关系数
一、肯氏 系数系列
n n 1、 a （一般式）：
a
1
s nn
d
1
2
当全为同序对时： 1
当全为异序对时： 1
a 取值： 1,1
.
2、 b
当出现同分对时：
b
ns nd
1 2
nn
1
Tx
1 2
nn
1
Ty
T x ：变量x方向的全部同分对数
T y ：变量y方向的全部同分对数
统计量 Z n 0 n
其中： n n s n d 2n 1 n (n 1)(2n 5)
18
.
3、 c
当同分对很多的情况下，先作成等级列 联表
c
1 2
ns nd
2 m
n• m
1
2
mns nd
n2m -1
m minr, c
.
二、d系数
D系数对等级相关系数的分母作了两个方
.
二、 Gamma系数
1、表达式：G ns nd ns nd
ns ：同序对数目；
nd ：异序对数目
2、取值范围：
不考虑同分对时，当数据均为同序对 G 1 不考虑同分对时，当数据均为异序对 G 1
取值 1,1
.
3、利用列联表中频次计算 ns 和 nd
.
已知列联表，求同序、异序对
d
2 i
则：
rs 1
xi y2i
n
6 d i2
i1
nn 2 1
.
外貌等级：1；2；3； 4；5；6；恋爱的6对 男女学生配对如表：
求rs 并分析结果
.
例
男xi
女yi
1
3
2
2
3
4
4
5
6
1
5
6
r 2、 s 的取值范围：
1）完全正等级相关：rs 1
（1；1）（2；2） …
2）完全负等级相关： rs 1
向的修正，并分别给出了d yx 和 d xy 两个
系数。
d yx
ns nd ns nd n y
d
xy
ns nd ns nd nx
d yx ：仅考虑在y方向的同分对 d xy ：仅考虑在x方向的同分对
.
三、s值检验
H0： s 0
H1： s 0
统计量：
S
z —N(0,1)
Se
s ns nd
（1；n）（2；n-1）… 取值范围为：
.
rs的统计检验
目的：通过对抽样数据的检验，确认总 体中也存在等级相关。
H0 ：总体变量x与变量y等级相关 s 0 H1 ： s 0或s 0 统计量：
当 n 10 时，统计量 t rs 1 rs2
当 n 30 时，统计量 z rs 0 1 n1
ns nd n
.
例：在某地选取409名已婚男人，研究他们对 母亲的感情会否影响他们对婚姻的适应，并问 是否有总体推论价值。
婚姻适应
丈夫对母亲的感情
平淡 不错 良好 很好
差
32 41 26 28 127
一般
28 47 41 22 138
很好
15 69 61 59 204
75 157 128 109 409
同。 2、异序对：x的变化方向与y的变化方向相
反。 3、同分对：存在相同等级 变量x具有相同等级 x同分对 变量y具有相同等级 y同分对 变量x、y都具有相同等级 x、y同分对
.
找同序、异序、同分对
单元
X的等级
y的等级
A
1
2
B
2
C
4
D
4
E
4
F
6.5
G
8
H
6.5
I
9
1 3.5 3.5 5 9 7 7 7
第十一讲 等级相关
第一节 斯皮尔曼等级相关系数
r 一、斯皮尔曼等级相关系数 s
例：
1）婚姻中的门当户对：
高配高、低配低 高配低、低配高
完全正等级相关 完全负等级相关
2）家庭背景与事业成就
.
现在，作如下调查： x=父亲的身高； y=本人的身高；
y﹨x 矮
矮 1 中 2 高 3
1中
2高
3
.
Tx
C
2 ti
1 2
t i (t i 1)
t i Txi TXiyj
Ty
Ct2j
1 2
t j (t j 1)
t j Tyj TXiyj
.
根据下列数据求Tb
学生 A B C D
第一年名次 1 2.5 2.5 4
第二年名次 3.5 3.5 1 2
.
Tb的检验
H0 : b 0
1
2
11
29
3.3
7.
6
11
练习：学生工作能力不智商调查数据如下：二者是否有显
著差异？（ a=0.05)
学生
活动能力名次
智商
1
1
110
2
2
110
3
3
105
4
4
95
5
5
120
6
6
94
7
7
100
8
8
105
9
9
105
10
10
.
110
第二节 Gamma等级相关
一、名词 1、同序对：x的变化方向与y的变化方向相
Y\x
10
1
12
4
32
2
22
4
23
4
32
2
12
1
12
5
.
4、 Gamma系数的PRE性质：
PRE ns nd ns nd 与G系数相同
5、当定序变量只有两种等级 G
n1 n4 n3 n2
不计符号时（方向）与Q系数相同
.
三、 Gamma系数的检验
H0： r0
H1： r0
统计量：
z G 1 G2
.
每对父子（女）作为一个观测单元，将其等 级写成一个集合：如（1，2）
将等级差平方后求和 其极值会是怎样？
.
r 1、相关系数 s
以等级差的平方和为基础来讨论等级相关。
设样本共有n对单元，x、y均有n个等级
没一个单元x和y的观察值为：
xi , yi i 1，，23 n
等级差的平方和为：
检验：
1）H 0 ： xi 与yi 相互独立 双侧
H
x ： 1
i
与yi 相关
2）H 0 ：xi 与 yi 相互独立
H
x ： 1
i
与
yi 正相关
3）H x 0 ： i 与 yi 相互独立
单侧
H
x ： 1
i
与
yi 负相关
.
例：某大学调查学生每周学习时间 与得分的平均等级之间的关系，抽 查的学生资料如下：
S
S
2r
n
1c
1
se
A2 B2
n 1
A
B2 3
nn
A 3B
1
2
A3 B3
nn 1n
2
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变量
等级
学习时数 平均成绩 学习时数 平均成绩
xi
yi
d d2
i
i
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-1 1
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2.5
3
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第三节 其它等级相关系数
一、肯氏 系数系列
n n 1、 a （一般式）：
a
1
s nn
d
1
2
当全为同序对时： 1
当全为异序对时： 1
a 取值： 1,1
.
2、 b
当出现同分对时：
b
ns nd
1 2
nn
1
Tx
1 2
nn
1
Ty
T x ：变量x方向的全部同分对数
T y ：变量y方向的全部同分对数
统计量 Z n 0 n
其中： n n s n d 2n 1 n (n 1)(2n 5)
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3、 c
当同分对很多的情况下，先作成等级列 联表
c
1 2
ns nd
2 m
n• m
1
2
mns nd
n2m -1
m minr, c
.
二、d系数
D系数对等级相关系数的分母作了两个方
.
二、 Gamma系数
1、表达式：G ns nd ns nd
ns ：同序对数目；
nd ：异序对数目
2、取值范围：
不考虑同分对时，当数据均为同序对 G 1 不考虑同分对时，当数据均为异序对 G 1
取值 1,1
.
3、利用列联表中频次计算 ns 和 nd
.
已知列联表，求同序、异序对
d
2 i
则：
rs 1
xi y2i
n
6 d i2
i1
nn 2 1
.
外貌等级：1；2；3； 4；5；6；恋爱的6对 男女学生配对如表：
求rs 并分析结果
.
例
男xi
女yi
1
3
2
2
3
4
4
5
6
1
5
6
r 2、 s 的取值范围：
1）完全正等级相关：rs 1
（1；1）（2；2） …
2）完全负等级相关： rs 1
向的修正，并分别给出了d yx 和 d xy 两个
系数。
d yx
ns nd ns nd n y
d
xy
ns nd ns nd nx
d yx ：仅考虑在y方向的同分对 d xy ：仅考虑在x方向的同分对
.
三、s值检验
H0： s 0
H1： s 0
统计量：
S
z —N(0,1)
Se
s ns nd
（1；n）（2；n-1）… 取值范围为：
.
rs的统计检验
目的：通过对抽样数据的检验，确认总 体中也存在等级相关。
H0 ：总体变量x与变量y等级相关 s 0 H1 ： s 0或s 0 统计量：
当 n 10 时，统计量 t rs 1 rs2
当 n 30 时，统计量 z rs 0 1 n1
ns nd n
.
例：在某地选取409名已婚男人，研究他们对 母亲的感情会否影响他们对婚姻的适应，并问 是否有总体推论价值。
婚姻适应
丈夫对母亲的感情
平淡 不错 良好 很好
差
32 41 26 28 127
一般
28 47 41 22 138
很好
15 69 61 59 204
75 157 128 109 409
同。 2、异序对：x的变化方向与y的变化方向相
反。 3、同分对：存在相同等级 变量x具有相同等级 x同分对 变量y具有相同等级 y同分对 变量x、y都具有相同等级 x、y同分对
.
找同序、异序、同分对
单元
X的等级
y的等级
A
1
2
B
2
C
4
D
4
E
4
F
6.5
G
8
H
6.5
I
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1 3.5 3.5 5 9 7 7 7
第十一讲 等级相关
第一节 斯皮尔曼等级相关系数
r 一、斯皮尔曼等级相关系数 s
例：
1）婚姻中的门当户对：
高配高、低配低 高配低、低配高
完全正等级相关 完全负等级相关
2）家庭背景与事业成就
.
现在，作如下调查： x=父亲的身高； y=本人的身高；
y﹨x 矮
矮 1 中 2 高 3
1中
2高
3
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Tx
C
2 ti
1 2
t i (t i 1)
t i Txi TXiyj
Ty
Ct2j
1 2
t j (t j 1)
t j Tyj TXiyj
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根据下列数据求Tb
学生 A B C D
第一年名次 1 2.5 2.5 4
第二年名次 3.5 3.5 1 2
.
Tb的检验
H0 : b 0
1
2
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29
3.3
7.
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练习：学生工作能力不智商调查数据如下：二者是否有显
著差异？（ a=0.05)
学生
活动能力名次
智商
1
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2
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第二节 Gamma等级相关
一、名词 1、同序对：x的变化方向与y的变化方向相
Y\x
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4、 Gamma系数的PRE性质：
PRE ns nd ns nd 与G系数相同
5、当定序变量只有两种等级 G
n1 n4 n3 n2
不计符号时（方向）与Q系数相同
.
三、 Gamma系数的检验
H0： r0
H1： r0
统计量：
z G 1 G2
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每对父子（女）作为一个观测单元，将其等 级写成一个集合：如（1，2）
将等级差平方后求和 其极值会是怎样？
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r 1、相关系数 s
以等级差的平方和为基础来讨论等级相关。
设样本共有n对单元，x、y均有n个等级
没一个单元x和y的观察值为：
xi , yi i 1，，23 n
等级差的平方和为：