基于非标准分析在拓扑学中的应用分析

2019第3期下（总第295期

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HONG GUO NONG CUN JIAO YU

基于非标准分析在拓扑学中的应用分析

黄兵昌

当前，非标准分析已经广泛应用在微分学、

分析学、代数几何学和拓扑学等学科中，而且在拓扑学中取得了重大的突破。为了阐明拓扑学的概念与本质，本文将会通过非标准分析的概念与兴致，结合现时国内外的发展状况，通过对拓扑学展开应用分析，希望能够为非标准分析厘清有关拓扑学运用的一些研究成果与数学学术界的研究贡献。

一、什么是非标准分析

非标准分析是数学家A.Robinson 于1960年发现的。当时，由于在微积分创建初期，牛顿和

Leibnizi 对于无穷小的解释

“小于所有正实数而又不等于0”比较含糊，由于缺乏科学的理论基础，导致数学学科领域对于

“无穷”这个概念的争议不断。而正是这种争议不断的探究，推动数学家不断深入探究。经过探究分析，数学家A.Robinson 发现在分析学当中的无穷小和模型论研究的成果有着相通的内在联系。因此，他把实数域扩张成包括无穷小和无穷大数的超实数域*R ，继而建立了非标准分析的这门新的数学学科，从而使300年来对于无穷小的争议才能为学界所接受。

在通过运用模型论证实无穷小的这个分析方法的逻辑和严密性之后，A.Robin-son 开始致力于非标准分析的研究并通过荷兰皇家科学院在1961年发表论文《non-standard

analysis 》，分享有关非标

准分析理论的研究成果总结，这也宣告非标准分析这门新数学学科的诞生。之后分

析学就被分成标准分析和非标准分析两种方法。

二、非标准分析在拓扑学领域中的运用（一）模糊拓扑空间的非标准分析

当前，国际与国内的学者都先对模糊集合及模糊集合的运算进行非标准的扩张，然后将非标准分析的概念结合到模糊数学之中，运用共点原理，将非标准扩大的模型导入到模糊数学之中，令非标准扩大的模型具备模糊运算的表达模式，继而可以得出关于模糊拓扑空间的定义，基于这个运算基础，应用转换原理，对模糊滤子的聚点、极限点以及模糊滤子的收敛性展开非标准刻画，研究模糊拓扑学的三种邻近结构:重域、

邻域与远域，根据结合非标准分析的单子有关知识，分析出了Q －单子、N －单子和R－单子的概念，更可推断出与它们相对应的逼近定理与相关关系，也对模糊拓扑空间中的Moore-Smith 收敛理论，紧性，分离公理等展开了非标准刻画，而这种刻画更加充分地展现出非标准分析的直观优点，从而使模糊拓扑学中既有的概念原理和研究成果的本质更加明朗化。

（二）一致拓扑空间的非标准分析

一致空间作为一种特殊的拓扑空间，它是拓扑空间与度量空间之间的纽带。学界利用非标准分析与格集的概念，为一致空间上函数的一致收敛展开了刻画，归纳了一致空间上函数的U －微连续性、U －等度连续性、U －*－和rs －连续性的概念，对上述四种非标准连续性相互之间存在的

关系展开研究。这些研究成果都为将来一致空间的研究奠定了非常重要的理论基础。

（三）线性拓扑空间的非标准分析

线性拓扑空间指的是拓扑空间的一种特殊的表现形式，空间E 它既是线性空间，也是拓扑空间，而且E 中的任意代数都能够按其拓扑连续运算，则可以称这类型的空间E 是线性拓扑空间。

同时，我们也可以视为这是线性距离空间的推广。学界通过对其进行研究，总结出已有的结论，从而使线性拓扑空间的理论能够更为容易理解和接受，为线性拓扑空间的长远发展作出研究贡献。

非标准分析学科的建立是数学研究史上的重要发现之一，虽然经过长时间的发展已取得了许多非常重要的研究成果，但是，有关非标准分析应该如何更有效地运用自身的模型，又应该如何更好利用它来进行研究数学学科现存的各式各样的问题，这就仰赖数学界的众多学者一同对非标准分析进行更深层次的研究，相信通过学界的共同努力科研探究，非标准分析将会对各学科的发展将会产生更大的影响。

作者简介：

男（1984.1--）,广西崇左,硕士研究生,主要从事一般拓扑学及其应用的研究。

(通联：广西城市职业学院）

本文先阐述有关非标准分析诞生的背景与当前国内国际学术界有关非标准分析在拓扑学的应用，然后对有关非标准分析在模糊拓扑空间、线性拓扑空间与一致拓扑空间的应用展开论述，从而得出有关运用非标准分析的方法作为基础研究拓扑学，使拓扑学的概念、本质更加明朗

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