量子力学习题课2016-1-6.

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量子力学习题课

1 2 eU a = mvm = hν − W 2
h −W ν Ua = =1.35 = 1.35V e
1 2 mv m = hν − A 2
⒉玻尔假设定态假设：处在不连续的状态E ①定态假设：处在不连续的状态E1，E2¨上，是稳定的，不辐射。是稳定的，不辐射。频率假设：从一个定态跃迁到另一个定态 ②频率假设：从一个定态跃迁到另一个定态时才吸收或辐射一个光子，时才吸收或辐射一个光子，频率为 Ek − En ν= h ③轨道角动量量子化假设 h L = mv r = n = nh (n = 1,2,3L) 2π 四、粒子的波动性 ε h h 德布罗意波： ν= ⒈德布罗意波： λ = =
A ②存在红限频率，ν 0 = h 存在红限频率，
具有瞬时性。 ③具有瞬时性。 ⒉光电效应方程
2h 2 ϕ sin ⒊康普顿效应公式 ∆λ = λ − λ0 = m0 c 2 hc h ⒋光的波粒二象性 ε = hν = p= λ λ 三、氢原子光谱及玻尔理论
⒈实验规律
~ = 1 = R 1 − 1 ( k , n均为正整数且 n > k ) ν 2 2 λ n k R为里德伯常数为里德伯常数
2π rn 2π mr 2 ( n 2 r1 ) 2 T= = = 2π m ∝ n3 vn rn mv n nh
T3 : T2 = 3 : 2 = 27 : 8
3 3
例波长为 λ = 589.3nm 的光照射到钾金属表面产生光电效应，生光电效应，今测得遏止电势差为 U a = 0.36V 。求（1）计算逸出光电子的最大初动能、逸出功和）计算逸出光电子的最大初动能、 λ 红限频率；（；（2）红限频率；（）若改用波长= 400nm 的单色光照射，遏止电势差是多少？照射，其遏止电势差是多少？解：（1）最大初动能）

大学物理第16章量子力学基本原理-例题及练习题

x x x x
由不确定关系：由不确定关系：
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆x ↑ , ∆p x ↓
P 练习：练习：574 17.14 ∆ t = 10 −8 s , E − E 0 = 3.39 eV , 已知: 已知:电子处于某能级 (1)该能级能量的最小不确定量 (1) 求：该能级能量的最小不确定量∆ E (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 λ 及 ∆ λ :(1) 解:(1) Q ∆E ⋅ ∆t ≥ h h 1.055 × 10 ∴ ∆E ≥ = = 1.055 × 10 ( J ) = 6.59×10−6 (eV) 10 ∆t
1. 将此波函数归一化；将此波函数归一化； 2. 求出粒子按坐标的概率分布函数；求出粒子按坐标的概率分布函数； 3. 在何处找到粒子的概率最大？在何处找到粒子的概率最大？
解： 1.由归一化条件得：
∞ 2 A A dx = ∫ dx＝A 2 arctg x ]∞∞ ＝A 2π = 1 ∫∞ 1 + ix − 1 + x2 − −∞
Ψ
E 4 = 16 E 1
(x , t )
n=4 n=3 n=2 n=1
ψ (x )
2
n=4 n=3 n=2 n=1
E
3
= 9E1
E
2
= 4E1
E1
o 驻波波长：驻波波长：
a
x
o
a
x
λn = 2a n, n = 1, 2, 3,......
由
k 2 h 2 n 2π 2 h 2 E= = = n 2 E1 2 2m 2ma
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
λ
2
∴

量子力学习题钱伯初课后详细答案

w.
∫
∞
ψ ( x) dx = 1
2
kh
由归一化条件
da
nπ x a
w. c
om
⎧ h2 ψ ′′ = Eψ ⎪− 或： ⎨ 2m ⎪ψ = 0 ⎩
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
⎧ ⎪ψ ( x) = A cos kx + B sin kx ⎨ ⎪ψ = 0 x ≤ 0, x ≥ a ⎩
由边界条件得：
ψ ( x) = ⎨
− βx ⎧ ⎪ βe
x > 0, x<0
2
βx ⎪ ⎩ βe
β=
mγ h2
、（10）式，对一维，有由书上 p38 第（9）
∞ d h 2 ∞ dψ h2 0 d βx = + β β e − βx dx] [ T = dx e dx ∫ ∫ ∫ 0 − ∞ − ∞ 2m 2m dx dx dx
对力心的角动量守恒, L=mr ω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件 pdq = nh ,得
∫ pdq = ∫ Ldθ = L ∫ dθ = mr ω 2π =
2
mkr 3 2π =nh
解得:
n 2h 2 1/ 3 r = rn = ( ) mk 3 3 n 2h 2 1/ 3 3 n 2h 2 k 2 1/ 3 krn = k ( ) = ( ) 2 2 mk 2 m n = 1,2,3...
0< x<a
k=
2mE h
ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩

量子力学习题及答案

?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x

量子力学习题课

习题课例：求下列各粒子相关的de Broglie 波的波长：（1）能量为100ev 的自由电子；（2）能量为0.1ev 的自由中子；（3）能量为0.1ev,m=1g 的质点；（4） T =1K 时，具有动能E=KT3/2(K Bolzman 常数)的氮原子。

解：在V «C 的情况下，mE h p h mE P 2//,2===λ (1) E=100ev=1.6×10-10erg,因为m=9×10-28g h=6.6×10-27erg.s 所以 2.1102.1106.11092106.68102827=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ（2） E=0.1ev = 1.6×10-13erg, m=1.675×10-24g9.0109.0106.11068.12106.68132427=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ(3) E=0.1ev = 1.610-13erg, m=1g121327107.1106.12106.6---⨯=⨯⨯⨯=λ Å（4） E =1.5×1.38×10-16erg, m=4×1.67×10-24=6.68×10-24g6.121038.15.11068.62106.6162427=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---λ Å星体光谱的成分与绝对黑体光谱十分相近。

估计黑体表面温度的方法之一，在于确定黑体光谱中辐射强度λU 的最大值所对应的波长。

太阳的这2个波长等于0.5μm,北极星的波长等于0.35μm,天狼星的等于0.29μm 。

试计算这些星体的温度。

解：根据黑体辐射的Plank 公式，物体在温度为T 的热平衡态下，辐射的能谱密度λU 与热辐射频率ν之间的关系为)1(1)/exp(833-=kT h C h U ννπλ将（1）式中的辐射频率ν换成辐射波长λ表示，)2(1)/exp(181,52-=-==kT hc hCU d Cd Cλλπλλνλνλ）改写成将（由d λU /d λ=0,可得λU （max ）所应的波长λ：)3(]1)/[exp()/exp(50)1)/exp(18(5-==-=kT hc kT kT hc hc kT hc hc d d d dU λλλλλπλλλ得若令x=hc/λkT, 则（3）改写成 15-=x xe xeXe x =5e x -5, e -x +(x/5)-1=0, e -x =1-(x/5) (4) (4)式是一个超越方程，做图法求解，⎪⎩⎪⎨⎧=-=)6()5(51xe y x y 曲线（5）和（6）的交点的横坐标便是所求的解，如图：求得 x=4.97, (7) 既hc/kT (8) 或T λmax=hc/4.97k=b (9)次式为Wien 位移公式（wien formula ），其b=hc/4.97k=2.9×10-3m.℃ 由（9）式可估计星体表面温度如下：（a ）太阳：λmax=0.55μm=0.55×10-6m, T max =b/λmax=5.27×103℃（b ）北极星：λmax=0.35μm=0.35×10-6m, T max =b/λmax=8.27×103℃ （c ）天狼星：λmax =0.29μm=0.29×10-6m, T max =b/λmax=10×103℃例：如果我们观测一个大小为2.5Å的物体，可用的光子的最小能量是多少？若把光子改成电子呢？解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同数量级或更小。

量子力学课后习题答案

Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2

4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)

k
2
2
(
x)

0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )

1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1

2
[ r
(
r2
ik
) r

r
(
r2
ik
r )]er

k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2

i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为

2
2
d2 dx2

(x) U (x) (x)

E (x)
在各区域的具体形式为：
x0

量子力学教程习题答案周世勋

解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章微扰理论
*
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《量子力学教程》习题解答
单击此处添加副标题
《量子力学教程》习题解答说明为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章
*
01
第一章绪论
第七章自旋和全同粒子
03
第三章力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章态和力学量的表象
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量子力学练习题答案

Wmk =| am (t) |2
∫ ∫ 其中
am
(t)
=
1 i=
t 0
eiωmkτ
H
′
mk
dτ
，
H
′
mk
=
ϕm* Hl ′(t)ϕkdτ ，ωmk = (Em − Ek ) / =
二、证明题 1．证明黑体辐射的辐射本领 E(ν ,T ) 与 E(λ,T ) 之间的关系。证明：黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位频率间隔内的能量，用 E(ν ,T ) 表示。由于ν = c / λ ，所以黑体的辐射本领也可以表示成 E(λ,T ) 。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为
的同时决定，也使得它们的分布同时制约，这种制约就是不确定性原理，
它是任何两个力学量在任何状态下的涨落（用均方差表示）必须满足的相
互制约关系，公式表示为
ΔA⋅ ΔB ≥ 1 ⋅ [lA, Bl] 2
23．如果算符 Aˆ 的本征值分别为 A1, A2, A3,"，在算符 Aˆ 的自身表象中写出
算符 Aˆ 的矩阵形式。
下，所有力学量的概率分布不随时间改变；在一切状态下，守恒量的概率
分布不随时间改变。
25．在 Sz 表象下，写出算符 Sˆz 及其本征态|↑〉 和|↓〉 的矩阵表达式。
答：在 Sz 表象下，算符 Sˆz 的矩阵表达式为
Sz
=
= ⎛1
2
⎜ ⎝
0
0⎞ − 1⎟⎠
其本征态|↑〉 和|↓〉 的矩阵表达式分别为
v∫ 答： pkdqk = nkh (nk = 1, 2,3,")
其中 (qk , pk ) 代表一对共轭的正则坐标和动量。 7．利用光波的双缝干涉实验，说明 Born 的概率波解释。答：Born 认为，微观粒子的运动状态用“波函数”来描述，粒子通过双缝时，每一个缝都有一个所谓的“波”通过，只不过与经典波的强度对应的，是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子，其概率“分成” 了两束（波动性），但对某个具体的粒子，它只能通过其中的一个缝（粒子

量子力学教程课后习题答案（doc）

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h v ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

《量子力学教程》_课后答案

(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件

得

( x) dx 1
2
A2

a
2 sin
0
n xdx 1 a
由

a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10

量子力学练习1～5+解答

2

2

e 2 x dx A
2 2
2
1 2
其中利用
2 x2 1/ 2 e dx ，由此可得 A＝
1
1/ 4
8．已知做直线运动的粒子处于状态 x
1 1 ix
（1）将 x 归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。解：（1）令 x
在 x 0 区域，既存在入射波又存在反射波，故波函数取为
1 x Aei x Be i x
在 x 0 区域，只存在透射波，故波函数取为
－V0 设粒子（能量 E>0 ）从左入射，碰到下列势阱，求阱壁处的反射系数。
2 x Ce
ikx
j B 反射系数 R r ji A
d2 2mE 2 x 2 2 x 0 2 2 2 dx 2m V0 E d2 3 x 2 3 x 0 2 2 dx 2
b x b
bxa
d2 2mE 4 x 2 4 x 0 2 2 2 dx
由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿方向，与 r，有关，因此此粒子绕 z 轴作圆周运动，但几率流密度是量子化的（2）几率密度： r , t
2

*

1 1 exp ikr exp ikr 2 2 r r
几率流密度：
* exp ikr
*
1 1 1 1 exp in er e e exp in r r sin 2 2 r 1 1 1 in exp in e exp in e r sin 2 2 2 r sin n * 故 j Im e m 2 mr sin

第一章量子力学基础习题课

0.867 10 10 m 0.0867nm
3、e 和 cos m 是否为算符 i 的本征函数？若是，求出 d 其本征值。
im
d
解：
d im i e i( imeim ) meim d
ห้องสมุดไป่ตู้
该函数是算符的本征函数，其本征值为－m
d i cos m i( m sin m ) mi sin m d
12、在量子力学中，计算力学量的主要途径是求这力学量的平均值，当体系处于它的本证态时这个平均值就是值。 13、电子在一维势阱中运动n=3，节点数为。 14、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值：。 15、一个在一维势箱中运动的粒子，其能量随着量子数n的增大：；其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大：。（填增大或减小） 12h 2 16、立方势箱中的粒子，具有E= 2 的状态的量子数。 nx ny nz 8ma 是；
第一章量子力学基础
主要概念一、微观粒子的特性 1、波粒二象性 2、几率波二、量子力学基本假定 1、态函数 2、力学量与算符 3、薛定谔方程 4、态叠加原理三、一维无限深势阱 1、能量量子化 2、零点能 3、态函数存在节点且正交归一
主要公式
一（1）
E h
P=h/
2
一（2） dW
解：
(1)、
2 1 1 2 0.51l x 1 2 0.51l (2)、 P1 [ x sin x ]0.49 l [ sin x ]0.49 l 2 l 4 l l 2 l 2 2 2 0.51l 2 ( sin x ) dx ( sin x ) dx 0.49 l 0.49 l l l l l 1 0.02 [sin1.02 sin 0.98 ] 0.0399 2

中科大量子力学习题课1

③
ψ 比较①、③式可知， (− x)和ψ ( x) 都是描写在
同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 ψ (− x)和ψ ( x) 之间只能相差一个常数C. 由①经 x → − x 反演，可得③， ⇒ ψ (− x ) = cψ ( x ) ④ 由③再经 − x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
粒子的定态波函数具有确定的宇称。
2.7 一粒子在一维势阱
U 0 > 0, x >a U ( x) = x ≤a 0, 中运动，求束缚态（ 0 < E < U 0 ）的能级所满足
的方程。
2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为， x<0 ∞, U , 0 ≤ x < a， 0 U ( x) = − U 1 , a ≤ x ≤ b， 0, b<x ，求束缚态的能级所满足的方程。解：定态方程为
r ih * * J= (Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ) 2m 2m
i i i i − Et − Et − Et − Et ih r h r h * r h * r h = [ψ (r )e ∇（ψ (r )e ） −ψ (r )e ∇（ψ (r )e ） ] 2m
ih r r * r * r = [ψ (r )∇ψ (r ) −ψ (r )∇ψ (r )] 2m
hk r hk r = r r 2 0 = 3 mr mr
r r J1与 r 同向，表示向外传播的球面波。
(2)
r ih (ψ 2∇ψ 2* −ψ 2*∇ψ ) J2 = 2m
ih 1 − ikr ∂ 1 ikr 1 ikr ∂ 1 −ikr r = [ e ( e )− e ( e )]r0 ∂r r ∂r r 2m r r

量子力学习题以及课堂练习答案

一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。

2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。

（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。

3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。

4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求（1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率；（3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。

2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。

5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。

6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。

第一章量子力学基础课后习题

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

量子力学基础知识习题解答可修改全文

01.量子力学基础知识本章主要知识点一、微观粒子的运动特征 1. 波粒二象性：,hE h p νλ==2. 测不准原理：,,,x y z x p h y p h z p h t E h ∆∆≥∆∆≥∆∆≥∆∆≥3. 能量量子化；二、量子力学基本假设1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数(,,,)x y z t ψ来描述，它包括体系的全部信息。

这一函数称为波函数或态函数，简称态。

不含时间的波函数(,,)x y z ψ称为定态波函数。

在本课程中主要讨论定态波函数。

由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*ψψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。

在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将*ψψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*d ψψτ为空间某点附近体积元d τ中电子出现的几率。

对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born ）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。

波函数ψ可以是复函数，ψψψ⋅=*2合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。

2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。

算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。

线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算符。

11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 自厄算符：满足**2121ˆˆ()d ()d A A ψψτψψτ=∫∫的算符。

自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。

3. 假设3：若某一物理量A 的算符ˆA作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a 乘以ψ，即：ˆAa ψψ=，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A 具有确定的数字a 。

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