八年级培优--初中几何中的最短路径与最值问题

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八年级培优--初中几何中的最短路径与最值问题

初中几何中的最短路径与最值问题例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L 上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）LBA例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.O例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）B河流练习1：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？BA练习2：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

草地河流A例：如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.BA例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B ．cmC．4cm D．3cmB例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B ．C．5 D ．例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．例：如图，在一个长AB为10米，宽为AD为5米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块是底面边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达例：如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。

(最新整理)初二数学最短路径问题知识归纳+练习

作法
N A
M
l1
l2 B
作点 A 关于 l2 的对称
A 为 l1 上一定点，B 为点 A＇，作点 B 关于 l1
l2 上一定点，在 l2 上求的对称点 B＇，连 A＇
点 M，在 l1 上求点 N, B＇交l2 于 M，交 l1 于 N．
使 AM+MN+NB 的值最小．
图形
原理
B'
AN M
A'
在直线 l 上求两点 M、N A＇＇，连 A＇＇B，交直线 l
（M 在左），使 MN a ，于点 N，将 N 点向左平
并使 AM+MN+NB 的值最移 a 个单位得 M．
小．
【问题 7】
作法
A
A'
B
l MN
A''
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为 A＇＇B+MN．
图形
原理
l1 P
【十二个基本问题】
【问题 1】
作法
图形
原理
A
l 连 AB，与 l 交点即为 P．
B
在直线 l 上求一点 P，
使 PA+PB 值最A
P
l
B
图形
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB．
原理
A
作 B 关于 l 的对称点
B
l
B＇连 A B＇，与 l 交
在直线 l 上求一点 P，
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
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尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初二数学最短路径问题知识归纳+练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初二数学最短路径问题知识归纳+练习的全部内容。

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
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初中几何中最值问题的依据是:''两点之间,线段最短''、''垂线段最短''.在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题。

平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解。

两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
下面小编找了很多相关的练习，提供给老师、同学们去练习，只有见得多，练得多，才能熟能生巧哦！。

八年级最短路径问题归纳

八年级最短路径问题归纳最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。

在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。

本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。

一、最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。

其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。

二、最短路径问题的应用最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。

通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。

三、最短路径问题的解决方法1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。

该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为止。

迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：- 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离；- 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。

2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。

该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。

弗洛伊德算法的具体步骤如下：- 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；- 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离；- 重复上述步骤，直到更新完所有顶点对之间的最短路径。

四、最短路径问题的注意事项在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：1. 图的表示方式：可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，根据具体的问题选择合适的表示方式。

2. 边的权值：边的权值可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等，根据具体的问题选择合适的权值。

人教版八年级上册数学《最短路径问题》轴对称培优说课教学复习课件

课堂检测
基础巩固题
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关
于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确
的是（ A ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
.
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
.
.
M
A
BN
题目解析 O
.A .B
E
F
L
如图：E、F分别为两边OM、ON上一个动点，那么，上述问题可转化为：当点E、点F在OM、ON的什么位置时，
.
AE+EF+FB的距离之和最短？
.
M
A
BN
.
A'
两定点，一定河做对称，再连接
O
E
F 化折为直
..
M A BN
. A ' M
O .E .F .
. . B' A BN
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′

八年级数学上培优专题七最短路径问题

精品文档专题七最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB的交点．与是直线＋最短，这时点(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交点．CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和lBB′的垂直平分线．是线段所以直线CCl上，因为点′在直线与BCBCBCBC′所以.＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB.＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl.(2)连接′交直线于点精品文档．精品文档M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．ABAB村与如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向，【例2】村供水．AB村的距离相等，则应选择在哪建厂？，(1)若要使厂部到AB两村的水管最短，应建在什么地方？，(2)若要使厂部到AB两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段，分析：(1)到ABEF 的交点即为的垂直平分线，与两端点的距离相等”，又要在河边，所以作符合条件的点．AB村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”(2)要使厂部到，村、ABEFBEF的交点即为所求． )点关于点，与作的对称点，连接对称点与(或ABGGABEFP，画如图解：(1)1，取线段于的中点的垂线，交，过中点1PABABAB为半径画弧，两到、，为圆心，以大于的距离相等．也可分别以则2EFP即为所求．的交点弧交于两点，过这两点作直线，与AEFAABEFP，则′，连接′于交，画出点如图(2)2关于河岸的对称点PAB的距离和最短．到，精品文档．精品文档BA，今欲在河上建一)如图，从(地到河岸平行地经过一条小河【例3】BA地到座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从地的路程最短？MNNBAABM是定值，思路导引：从→到→要走的路线是→，如图所示，而BNAM 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，于是要使路程最短，只要＋BCCBMNAC 的线段即为最短的，此时不到平移到应是余下的路程，连接，从MNN难说明点即为所建的桥．即为建桥位置，ACACA垂直于河岸，且使(1)如图2，过点等于河宽．作解：NBC.连接与河岸的一边交于点(2)MN. 作河岸的垂线交另一条河岸于点(3)过点MN 则为所建的桥的位置．．生活中的距离最短问题4求距离之和最小)可知，由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边从就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，问题，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转而解决这个问题，运用轴对称性质，ACBOAO的长．所以作已知点关于某直线的对称点是＋化成一条线段，如图，＝解决这类问题的基本方法．班举行文艺晚会，桌子摆成如图(2) (】实际应用题)茅坪民族中学八【例4OBAOBOAO桌面上摆满了糖果，，)图中的，桌面上摆满了橘子，(a所示两直排DC请你帮助他设计一处座位上，然后到站在处的学生小明先拿橘子再拿糖果，条行走路线，使其所走的总路程最短？精品文档．精品文档b图图ab.解：如图DDCOBCOACD，点关于，的对称点(2)，作连接点关于(1)作的对称点1111DPQOBPQCOA 的路线行走，所走的总路程最于→，，→，那么小明沿分别交→短． 5.运用轴对称解决距离之差最大问题先做出利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．所得直线与对称轴其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证的交点，即为所求．明这就是最大值．运用轴对称变换及三角形三边关系解决距离的最值问题的关键破疑点是解决一些距离的最值问题的有效方法．CClABl，使点，两点在直线如图所示，上找一点的两侧，在【例5】BA、的距离之差最大．到点BAABl作直，′的对称点(分析：此题的突破点是作点′(或或)关于直线)ClBABA边把问题转化为三角形任意两边之差小于第三′)线与直线′，(交于点来解决．BAAllA′′，解：如图所示，以直线关于直线为对称轴，作点的对称点CCllC异于点即为所求．理由：在直线的连线交′于点上任找一点，则点(llBAACCCACACA 为线.)，连接，因为点′′关于直线，，′′，对称，所以′BACACBCAAACACACB 又因为段′的垂直平分线，则有′－＝′′，所以＝－＝.BACCAAACABCCCBClC′＝′.′在△′′′中，＝′－′－′点′在上，所以′CBBCCAABAC′＜.－＜′，所以′′－通过比较来说明最值问根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，点拨：题是常用的一种方法．精品文档．精品文档精品文档．。

八年级上册数学同步培优：第8讲最短路径问题--基础班

第8讲最短路径问题知识点1 将军饮马问题（一）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．解决办法：从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．【典例】1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．【方法总结】【随堂练习】1．（2018•上虞区模拟）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（）A．3B．4C．4 D．3知识点2 将军饮马问题（二）【典例】1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．【方法总结】【随堂练习】1．（2017秋•东城区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°知识点3 造桥选址问题【典例】【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．【方法总结】1.”造桥选址”问题解答方法：注意：如果要求架桥到两地的距离相等，则需要根据“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”来进行设计.2.勾股定理如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c².即直角三角形中两直角边的平分和等于斜边的平分，如下图所示：注：勾——最短的边，股——较长的直角边，弦——斜边.“造桥选址”问题中桥的长度的计算通常借助勾股定理来解决.（选学）知识点4 几何图形中的最短距离问题【典例】1.（1）问题发现：如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）（2）解决问题：如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）【方法总结】综合运用1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2√3cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）6. 已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？。

初中数学培优专题《最短路径》原卷

培优专题12 最短路径◎类型一：两定一动型两定点到一动点的距离和最小。

类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则△EBC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．45°2．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在等边ABC中，BC边上的高6AD=，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB EF+存在最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．83．（2022·河南郑州·七年级期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．4．（2022··八年级期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（）A．B．C．D．5．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（）A．8B．6C．4D．26．（2022·福建泉州·七年级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出ABC向下平移4个单位得到的111A B C△；(2)在网格中画出ABC关于直线m对称的222A B C△；(3)在直线m上画一点P，使得ACP△的周长最小．◎类型二：两动一定型类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．7．（2022·全国·七年级期末）如图，四边形ABCD中，120BAD∠=︒，90B D∠=∠=︒，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN∆周长最小时，则AMN ANM∠+∠的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在五边形ABCDE中，BAEα∠=（BAE∠为钝角），90B E∠=∠=︒，在BC，DE上分别找一点M，N，当AMN周长最小时，MAN∠的度数为（）A．12αB．90α-︒C．2180α-︒D．45α-︒9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，若△AOB=44°，P为△AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，△MPN的度数为()A．82°B．84°C．88°D．92°10．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD△BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（）A．7B．8C．9D．1011．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，等边△ABC中，BD△AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．60◎类型三：两定两动型最值类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

人教版数学八年级下动点与最短路径、图形长度最值问题知识点总结及重难点

专题03 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野最短路径原理1：两点之间线段最短；原理2：垂线段最短（1）二维平面内前提：A点B点是固定点，点P是x轴上一动点。

当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；（2）立体图形中常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定理求解。

题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．2D．4例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3B．5C．7D题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F 分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B.4C.5D.6例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．D．353. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π227. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D 为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE 的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A8.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P的坐标______．答案解析题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3【答案】D．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，即OE是△ABC的中位线，∴OE＝12BC＝1.5，∴EF＝2OE＝3，即EF的最小值是3．故答案为：D．例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．【答案】24 5.【解析】解：∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF=AP，当AP⊥BC时，AP的值最小，此时AP=245，∴EF的最小值为245．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．2D．4【答案】A．【解析】解：由题意知，点B’的轨迹是以E为圆心，BE的长为半径的圆弧，当B’、E、D共线时，B’D的值最小，最小值为：DE-BE2，故答案为：A.例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是.【解析】解：将△BAD绕点D顺时针旋转90°，得到△DCM，易证，△ADM是等腰直角三角形，AD AM，当A、C、M共线时，且C在A、M之间时，AM的长度最大，最大为7，.∴AD的最大值为：2例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D 【答案】B .【解析】解：如图，点P 的轨迹为以A 为圆心，以OA 为半径的圆，点M 的轨迹为以点O ’为圆心以EF 的长为直径的圆，∴O ′（72）， ∴AO ′＝3，当点M 在AO ′的延长线上时，AM 的值最大，最大值为3+2＝5，故答案为：B ．题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =8，BD =6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（）A .3B .4C .5D .6【答案】C .【解析】解：设AC 交BD 于O ，作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，则此时EP +FP 的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，∴AN=CF，∴△ANP≌△CFP，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵AC⊥BD，OA=12AC=4，BO=12BD=3，由勾股定理得：AB=√AO2+BO2=5，故答案为：C．例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是【答案】【解析】解：设△ABP边BA上的高为h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴h=2，即动点P的运动轨迹是与AB平行，且与AB距离为2的直线，不妨设这条直线为l，作A点关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长度即为所求的最短距离，由勾股定理，得：BE=即P A+PB的最小值是故答案为：例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6【答案】B．【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．由题意得：AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC＝cm，这圈金属丝的周长最小值为：2AC＝cm．故答案为：B．例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【答案】【解析】解：命题：在直角三角形中，若一条直角边是斜边长的一半，则该直角边所对的角为30°（证明略）；如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵AB=CB=4，S△ABC=∴AH=∴∠HAB=30°，∠ABH=60°，∴∠ABC=120°，∵∠BAC=∠C=30°，作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q的长度=PK+QK的最小值，∴∠P′AK=∠BAC=30°，∴∠HAP′=90°，∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q=AH=即PK+QK的最小值为，故答案为：【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【答案】125．【解析】连接BP∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，1 2BC•AB＝12AC•CP，即12×4×3＝12×5•CP，CP＝125．故答案为：125．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．D．35【答案】B．【解析】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝（3）如图：BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，由勾股定理得：AB＝由于25＜故答案为：B．3. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ，BD 互相垂直平分，∴点B 关于AC 的对称点为D ，∴FD ＝FB ，∴FE +FB ＝FE +FD ≥DE ，所以当点F 运动到点M 时，取等号，△ABD 是等边三角形，E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴AE ＝12AD ＝1，DE∴EF +BF4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD =3，AB =7，则线段MN 的取值范围是______．【答案】MN ≤≤【解析】解：∵点P ，M 分别是CD ，DE 的中点，∴PM =12CE ，PM ∥CE ，同理，PN =12BD ，PN ∥BD ， ∵△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，PN∥BD，∴∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM=PN=12 BD，∴MN=2BD，∴点D在线段AB上时，BD最小，最小值为4，MN的最小值点D在BA延长线上时，BD最大，最大值为10，MN的最大值为，故答案为：MN≤≤5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC【答案】B.【解析】解：在菱形ABCD中，A与C关于直线BD对称，连接EC，与BD交于点P，此时P A+PE=CP+EP=CE值最小，故答案为：B．6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π22【答案】C.【解析】解：（1）蚂蚁可以沿A-B-C的路线爬行，AB+BC=6，（2）把圆柱侧面展开，展开图如图所示，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=1.5π，AC=√AD2+CD2=3√4+π2＜6，2故答案为：C．7. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D 为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE 的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A.2【答案】A.【解析】解：如图，作EH⊥x轴于H，连接CE，∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，∴∠ADO+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠ADO=∠DEH，∵AD=DE，∴△ADO≌△DEH（AAS），∴OA=DH=OC，OD=EH，∴OD=CH=EH，∴∠ECH=45°，过点O作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，∵OC=3，，∴OE′=2，由垂线段最短，知OE的最小值为：2故答案为：A．8.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．【解析】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面圆的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB=√AC2+BC2=√41cm．故答案为：√41．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）①联立y=-2x+12，y=x，解得：x=y=4，即点C的坐标为（4，4）；②在y=-2x+12中，当x=0时，y=12，当y=0时，-2x+12=0，x=6，∴点B（0，12），A（6，0），则△OAC的面积为：12×6×4=12；（2）∵ON平分∠AOC，AB⊥ON，∴ON是线段AC的垂直平分线，∴AQ=CQ，∴AQ+PQ=CQ+PQ，当C、Q、P共线，且CP⊥OA时，AQ+PQ取最小值，最小值为△OAC边OA上的高，∵△OAC的面积为6，OA=4，∴△OAC边OA上的高=2×6÷4=3.∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∵AC=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC等边三角形，∴∠ABC=60°，由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，∴△PBE是等边三角形；②由①知AB=BC=5，由旋转知△ABP≌△CBE，∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，∴△ACP是直角三角形，∴∠APC=90°，∴∠APB+∠BPC=270°，∵∠APB=∠CEB，∴∠CEB+∠BPC=270°，∴∠PBE+∠PCE=90°，∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠PCE=90°-60°=30°；（2）如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，由旋转知△ADG≌△A'DG'，∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，∵∠G'DG=60°，G'D=GD，∴△G'DG是等边三角形，∴GG'=DG，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即AG+EG+DG的值最小，∵∠A'DA=60°，∠ADE=12∠ADC=30°，∴∠A'DE=90°，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E=5，∴AG+EG+DG的最小值为5．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P 的坐标______．【答案】（1）（-1，0）；（-2，-2）；（-4，-1）；（2）见解析；（3）（-5，0）. 【解析】解：（1）由图象可知点A （-1，0），点B （-2，-2），点C （-4，-1）；（2）如图所示：（3）作点B 关于x 轴的对称点F （-2，2），连接MF 交x 轴于P ，点P 就是所求的点，理由：在x 轴上任意取一点P 1， ∵|P 1M -P 1B |=|P 1M -P 1F |≤FM ，∴|PM -PB |的最大值为线段FM 的长度，设直线FM 解析式为：y =kx +b ，把F 、M 两点坐标代入，得： k +b =1，-2k +b =2，解得：23103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线FM 解析式为：y =21033x +，当y =0时，x =-5，即点P坐标为（-5，0）．故答案为:（-5，0）．。

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结(2),推荐文档

原理
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． PA PB ＝0．
【问题 10】
作法
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 的值最大．
【问题 11】
作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P．
作法
图形
A B l P
图形
原理三角形任意两边之差小于
第三边． PA PB ≤AB．
PA PB 的最大值
原理
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小．
【问题 3】
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为
P．
作法
l1
P l2
在直线 l1 、 l2 上分别求点
分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇＇，连 P＇P＇＇，与两直线交点即为 M，N．
M、N，使△PMN 的周长最小．
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
图形
l1
P'
P
A
B
原理
点到直线，垂线段最短． l2 PA+AB 的最小值为线段
P＇B的长．
【问题 8】
N A
M
l1
l2 B
作法作点 A 关于 l2 的对称点
A 为 l1 上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1 上求点 N，使

八年级数学(上)培优专题七：最短路径问题

专题七最短路径问题1．最短路径问题（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点,与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA ＋CB最短,这时点C是直线l与AB的交点．（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求．如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B。

如下:证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中,AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：（1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M。

（3）则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。

2。

运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图,小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B 村供水．（1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：（1）到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边,所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2）要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A,B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于错误!AB为半径画弧,两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．（2）如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．【例3】如图,从A地到B地经过一条小河（河岸平行）,今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引:从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示,而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解:（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．（2）连接BC与河岸的一边交于点N。

初中数学几何综合大题压轴讲义——最短路径、线段最值

初中数学几何综合大题压轴讲义——最短路径、线段最值先上整篇目录：
一、最短路径
在初中的平面几何中，有一类求最短路径的问题，比较常见的类型可以称为“将军饮马”问题。

这类题在题型上比较典型，一般是求线段和(通常是两条线段，少见三条线段)的最小值。

在解决问题的方法上也是比较典型，即通过对称，借助”两点之间，线段最短”解决问题。

经典问题再现
详细解答过程
对于求线段和最小值的问题，通常都是借助对称来完成的，不同的是，如果是求两条线段的最小值，一般可以通过作一次对称解决；如果是求三条线段和的最小值，通常需要作两次对称才可以解决。

作对称的目的，是要把所求线段的最值转化为两点之间的距离。

与垂线段的结合：
垂线段最短
练习
二、线段最值
在众多的中考试题类型当中，有一类题目是求某一条线段的最值。

实际上，初中阶段有关最值的题目类型比较单一。

比较常见的解题思路之一是构造函数，利用函数求最值；解题思路之二是直线外一点到
直线上所有点的连线中，垂线段最短；还有一种解题思路是构遺三角形，利用第三条边与另外两条边的数量关系确定最值。

这一节，我们主要来研究后者。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ．故答案为：85．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=．故答案为：32．【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213，故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22．故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=．故答案为：32．【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。

专题05 最短路径的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题05最短路径的三种考法类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，角形全等是解题的关键．【变式训练1】如图所示，点(,0)A a ，(0,)B b ，且a ，b 满足2(1)|22|a b -+-轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，以线段PB 为边构造等腰直角点），连接AE ．(1)如图1所示，直接写出点A 的坐标为，点B 的坐标为；(2)如图2所示，当点P 在点O ，A 之间运动时，则AB 、AE 之间的位置关系为；并加以证明；(3)如图3所示，点P 在x 轴上运动过程中，若AE 所在直线与y 轴交于点F ，请直接写出点的坐标为，当OE BE +的值最小时，请直接写出此时OE 与BE 之间的数量关系【答案】(1)(1,0)，(0,1)；(2)垂直，见解析；(3)(0,1)-，2=BE OE【分析】（1）根据非负数的性质得到1a =，1b =，得到1OA =，1OB =，于是得到结果；（2）过点E 作EH x ⊥轴于H ，证明(AAS)BOP PHE ≌，由全等三角形的性质得出1,OB PH OA OP EH ====，由等腰直角三角形的性质得出45OAB ∠=︒，证出EAB ∠则可得出结论；（3）由直角三角形的性质证出1OA OF ==，则可得出(0,1)F -；取点(1,1)G -，连接FG 、OG ，O 与G 关于直线AF 对称，连接BG 交AF 于E ，连接OE ，则OE EG =，根据三角形的面积关系可得出2=BE OE ．【详解】（1）解：∵2(1)|22|0a b -+-=，∴10a -=，220b -=，∴1a =，1b =，∴(1,0)A ，(0,1)B ，故答案为：(1,0)，(0,1)；（2）证明：过点E 作EH x ⊥轴于H ，∵BPE 是等腰直角三角形，∴,90BP PE BPE =∠=︒，∴90BPO EPH ︒∠+∠=，∵90OBP BPO ∠+∠=︒，∴OBP EPH ∠=∠，又∵90BOP PHE ︒∠=∠=，∴(AAS)BOP PHE ≌，∴1OB PH OA ===，OP EH =，∴OP PA PA AH +=+，∴OP AH =，∴.EH AH =，又∵90AHE =︒∠，∴45HAE ∠=︒，∵OA OB =，90AOB ∠=︒，∴45OAB ∠=︒，∴90EAB ∠=︒，∴BA AE ⊥；故答案为垂直；（3）解：∵BA AE ⊥，∴90BAF ∠=︒，∵OA OB =，∴45BAO ∠=︒，∴45OAF ∠=︒，∵90AOF ∠=︒，∴45OAF OFA ∠=∠=︒，∴1OA OF ==，∴(0,1)F -；取点G (1,1)-，连接,FG OG ，∵(0,1)F -，45OFA AFG ∠=∠=︒，∴O 与G 关于直线AF 对称，连接BG 交AF 于E ，连接OE ，则OE EG =，此时OE BE +最小，OE BE EG BE BG +=+=，∵E 到,FB FG 的距离相等，2BF =，1FG =，∴2BFE GFE S S ∆∆=，∴2BE EG =，∴2=BE OE ．故答案为：(0,1)-，2=BE OE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，，以OB 为一边作等边△OAB （点A 在x 轴正半轴上）．（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD ．①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C 的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）【详解】解：（1）①证明：∵△OAB 和△ACD 是等边三角形，∴BO ＝AO ＝AB ，AC ＝AD ，∠OAB ＝∠CAD ＝60°，∴∠BAD ＝∠OAC ，在△ABD 和△AOC 中，AB AO BAD OAC AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AOC （SAS ），∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ；②解：存在两种情况：当点D 落在第二象限时，如图1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝∵△OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，﹣4）；当点D 落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，4）；综上所述，若△ABD 是等腰三角形，点C 的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB 于N'，作MN ⊥OB 于N ，如图2所示：∵△OAB 是等边三角形，ON'⊥AB ，FB 是OA 边上的中线，∴AN'＝12AB ＝2，BF ⊥OA ，BF 平分∠ABO ，∵ON'⊥AB ，MN ⊥OB ，∴MN ＝MN'，∴N'和N 关于BF 对称，此时OM+MN 的值最小，∴OM+MN ＝OM+MN'＝ON ，∵ONOM+MN ＝OM+NM 的最小值为类型二、几何图形中的最短路径问题例1．如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出PCD ∠.【详解】解：∵24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，∴12AOP BOE ∠=∠=︒，作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，'12AOP AOP ∠=∠=︒，'=12BOE BOE ∠∠=︒，【答案】12.5︒【分析】在BC 下方作CNA 时A 、N 、A '三点在同一直线上，即可得到MAD BAC ∠=∠-【详解】解：在BC 下方作则NCA MBA '∠=∠，AM =∴AM AN A N AN AA '+=+≥即AM AN +最小值为AA ∵50BAC ∠=︒，AB AC =∴65ACB ABC ∠=∠=︒，∵BD AC ⊥，∴905040ABD ∠=︒-︒=︒∴40NCA '∠=︒，∴6540105ACA '∠=︒+︒=︒，∴1801052A AC A ︒-''=∠=∠【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，一般要考虑线段的性质定理，【变式训练1】如图，在等腰∠的平分线上一动点，连接P是BAC【答案】20【分析】先确定点P是等腰值为BD的长，从而使问题得到解决．【详解】连接PB，是等腰三角形，AB∵ABCA ．8B ．10【答案】C 【分析】连接MA ，AD ，根据ABC S = 得到MC MD AD +＞，当A ，M ，D 计算即可．【详解】解：连接MA ，AD ，∵等腰三角形ABC 的底边BC 的长为∴AD BC ⊥，∴1142422ABC S BC AD AD ==⨯⨯= ∵腰AC 的垂直平分线EF 分别交边∵MA MD AD +＞，∴MC MD AD +＞当A ，M ，D 三点共线时，CM MD +故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键．【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF 最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D．【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a b ，表示一条河的两岸，且a b ∥现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A 经桥过河到村庄B 现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ．在CD 处建桥．路径是---A C D B ．小红：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ；把CD 平移至BE ，连AE ，交b 于G ，作GF a ⊥于F ．在FG 处建桥．路径是A G F B ---．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：连接CE ，∵DC BE ，且DC BE =，∴DCBE 为平行四边形，可得BE CD =，小红走的路线是：AG GF FB AE BE ++=+，小明走的路线是：AC CD BD AC BE CE ++=++，∵在三角形ACE 中，AC CE AE +>，,所以小明的路线比小红的要长，即：小红设计的路径更短一些；（2）设小船一共走了n 次完整的来回，两桥之间距离为s 千米，由题可得顺流所需时间为14216s s =+，逆流所需要的时间是14212s s =-，所以一个完整来回所需时间为7161248s s s +=，n 次完整的来回所需时间为：748ns ；∵小船早上10点出发，第二天早上6点发现，∴小船行驶了20小时；①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，则依题意可得：740204816ns +=，化简可得：ns 120=，∵n 为整数，且s 40>，∴260n s =⎧⎨=⎩，即：两桥之间的距离为60千米；②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，则依题意可得：74020481612ns s ++=，化简可得：7ns 3s 800+=，∵n 为整数，且s 40>，∴280017n s =⎧⎪⎨=⎪⎩，或180n s =⎧⎨=⎩；即：两桥之间的距离为80017千米或80千米；综上可得：两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；例2．如图a ，圆柱的底面半径为4cm ，圆柱高AB 为2cm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB ＋底面直径BC ，如图a 所示，设长度为1l ．路线2：侧面展开图中的线段AC ，如图b 所示，设长度为2l ．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm ，高AB 为4cm ”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是．（填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为A C边上的动点，点D为AB 边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm．【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，∴PB+PD＝PB+PD′，根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，∵BC＝CB′，AC⊥BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，∴∠BAH＝30°，在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝4cm，∴PB+PD的最小值为4cm．故答案为4．课后训练A ．4【答案】D 【分析】由勾股定理可得点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到【详解】解：在ABC ∴22AB AC BC =-=作A 关于BC 的对称点∵AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，∴当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +∵垂线段最短，∴A Q AC '⊥时，连接A C '，∵,A A '关于BC 对称，∴6A B AB '==，∴12AA '=，∵A Q AC '⊥，AB BC⊥∴1122ACA S AA BC AC A Q '''=⋅=⋅ ，即：故选D ．【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．最小是解题的关键．A ．100︒B ．【答案】C 【分析】根据要使AMN 关于BC 和ED 的对称点A ('''+2AMN ANM A A ∠∠=∠+∠【详解】解：作A 关于BC 则'A ，''A 即为AMN 的周长最小值．作∵120BAE ∠=︒，∴'60HAA ∠=︒，∴∠∵''A MAA ∠=∠，''A NAE ∠=∠，且'A ∠+∠∴''''+A MAA NAE A AMN ANM ∠+∠+∠+∠=∠∠故选：C ．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键．4．如图，ACD 中，AB 垂直CD 于点12MCD ACD S S =△△，则点M 到C D 、两点距离之和最小时，【答案】45则D D l '⊥，MD MD '=，此时点作MN CD ⊥于N ，则DD AB CD ⊥ ，AB CD =，∴D DC '∴ 是等腰直角三角形，MD MD '= ，MDD '∴∠=故答案为：45．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，在锐角ABC ∆中，和AB 上的动点，则BM 【答案】92【详解】关于AD的对称点R，作AC边上的高∠，△ABC是锐角三角形平分BACAC上（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点上，求PA PB +的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.（3）如图4，30AOB ∠=︒，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，AD 平分BAC ∠，BH AC ⊥，'''M N M H∴=由对称可得OA 垂直平分'DD ，OB 垂直平分''12,30OD OD AOD AOB ︒∴==∠=∠=''''D OC AOD AOB C OD ∴∠=∠+∠+∠=在''Rt D OC ∆中由勾股定理得'2OC OD +'''2'22212513C D OC OD ∴=+=+=(1)AE =______，ACD ∠=______度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD ∠的度数；(4)若点M 在线段CD 上，连接MP 、ME 【答案】(1)4；45(2)4(3)90︒或45︒或67.5︒(4)2【分析】（1）根据题意可得30B ∠=︒，则分ACB ∠，即可求得ACD ∠的度数；（2）根据轴对称图形的性质可得答案；（3）根据题意可得45PCD ∠=︒，分三种情况：三角形内角和定理即可求解；（4）过点M 作MP BC ⊥，点P 关于CM CM =，根据AAS ，可得PCM ≌MP ME MP ME EP ''+=+≥，以此得点EP BC '∥，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【详解】（1）解： 90ACB ∠=︒，A ∠18030B ACB C ∴∠=︒-∠-∠=︒，28AB AC ∴==，点E 是边AB 的中点，142AE AB ∴==MP BC ⊥ ，MP AC '∴⊥，CD 平分ACB ∠，PCM P CM '∴∠=∠，在PCM △和P CM ' 中，MPC MP C PCM P CM CM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，∴(AAS)PCM P CM ' ≌PM P M '∴=，CP CP '=MP ME MP ME EP ''+=+≥ ，∴当点E ，M ，P '三点共线时，MP +又根据垂线段最短，∴当EP AC '⊥时，EP '有最小值，∴EP BC '∥，30AEP B '∴∠=∠=︒，AP E ACB '∠=∠4AE = ，122AP AE '∴==，2CP CP AC AP ''∴==-=．【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．。

几何最值问题常用解法初二

几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P .PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为，点D 的坐标为.分析本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =，AC CD +11BD A C B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11A C B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+, 点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -，点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩，∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,5，点D 的坐标为7(,0)3.二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为.分析因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2.PQ ∴.四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是.分析这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解在21Rt A B B ∆中，2112A B = cm ,15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+= ,213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。

初二数学培优专题 (4)——最短路径问题(答案详解)

y
A O
B x
（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标； y
B A
O
x
（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
y
B A
O
CD
x
【变式 4】（2015 年贵阳中考）如图，在矩形纸片
中，
，
初二数学培优专题(4)
最短路径问题
——将军饮马及拓展、胡不归问题、立体图形的展开图问题
（一）“两点之点线段最短”问题(对称求最短路径)
1.“两定点,一个动点”——“将军饮马”
当题中只出现一个动点时,可作其中一定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值【例 1】（2015 内江中考）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点
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初二数学培优专题(4)
【变式 3】如图，在菱形 ABCD 中，边长为 2，∠B=60°．将△ACD 绕点 C 旋转得△CA′D′， CA′与 AB 交于点 E，CD′与 AD 交于点 F，点 E，F 和 A 构成△AEF，则△AEF 周长的最小值为（）
3
A.4
B.2+ 3
C.3
答案：
【例 3】 28 5
（二）“垂线段最短”问题
【例 3】
如图，在平面直角坐标系中，点
P
的坐标
为（0，4），直线
y

3 4
x

3
与 x 轴、
y 轴分别交于点 A，B，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则 PM 长的最小值为___________ ．

八年级培优--初中几何中的最短路径与最值问题