泊松过程
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
第二章泊松过程
2
泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有
P { X ( t s ) X ( s ) n } e
18
例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
1 ( t) ( 1 cos t) 的非齐次泊 2
松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
n [ m ( t s ) m ( t )] X X exp{ [ m ( t s ) m ( t )]}, n 0 X X n !
或
n [ m ( t )] P { X ( t ) n } X exp{ m ( t )}, X n !
17
到达时间的条件分布
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P { W s |X ( t ) 1 } ? 1
分布函数
s 0 0, s F 0 s t W 1(s) t , 1| X(t) 1 , s t
泊松过程 poisson
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t) 表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则 { X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 X(t) 为某网站在时间 [0, t] 内的被访问次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
例6
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
(t ) 0.5(1 cost )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
t 0 t0
E[ wn ] n 2 D [ w ] n n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程poisson课件
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
为什么泊松过程到达时间间隔服从指数分布证明
泊松过程是概率论和统计学中重要的随机过程之一，它描述了在一定时间内某一事件发生的次数。
在实际应用中，泊松过程常常用于描述诸如通联方式呼叫、交通流量、以及粒子的撞击等随机现象。
泊松过程的到达时间间隔服从指数分布是其重要性质之一，本文将对这一性质进行证明。
证明内容如下：1. 泊松过程的定义泊松过程是一种随机过程，其具体定义为：在任意时间段[0,t]内，事件的到达次数N(t)服从泊松分布，即N(t)~P(λt)，其中λ为事件的到达速率。
泊松过程具有无记忆性和独立增量等性质。
2. 指数分布的定义指数分布是一种连续概率分布，描述了随机变量等待的时间长度。
指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ为分布的参数，x 为随机变量的取值。
3. 证明泊松过程的到达时间间隔服从指数分布假设事件的到达时间分别为t1,t2,...,tn，其中ti表示第i个事件的到达时间。
根据泊松过程的定义，事件到达的时间间隔t2-t1,t3-t2,...,tn-tn-1分别服从指数分布，下面我们将对这一性质进行严格的证明。
考虑事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率，其中Δt为一个小的时间间隔。
根据泊松过程的定义，该时间段内到达次数N(Δt)服从泊松分布，即N(Δt)~P(λΔt)。
事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以表示为P(Δt) = P(N(Δt)=1)，即事件在该时间段内到达一次的概率。
当Δt趋近于0时，事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以近似为P(Δt) = λΔt。
而事件到达时间间隔在[t,t+Δt]之外的概率可以忽略不计，因为Δt趋近于0。
事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率密度函数为f(Δt) = λe^(-λΔt)。
而指数分布的概率密度函数也为f(Δt) = λe^(-λΔt)。
事件到达时间间隔服从指数分布。
4. 结论根据上述证明，可以得出结论：泊松过程的到达时间间隔服从指数分布。
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
泊松过程
泊松过程马春光machunguang@ 哈尔滨工程大学泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson 过程是一类直观意义很强,而且极为重要的过程,其应用范围很广,遍及各个领域，公用事业、生物学、物理学、电子通信工程等很多方面的问题都可用Poisson过程物理模拟.考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”, 顾客到服务点的到达过程可认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点和“顾客流有不同的含义时，便可得到不同的””Poisson过程. 例如,某电话交换台得电话呼叫,交换台就是服务点，所有的呼叫依先后次序构成一顾客流.计数过程2.7.6 N t ), t 0}定义称实随机过程{(),≥}为计数过程，如果N (t ) 代表到时刻t 所发生的随机事件数.计数过程{N (t ), t ≥0}应该满足下列条件：(1)t ()N ()是非负整数;(2) 代表时间间隔0()()s t N t N s ∀≤<≥，；(3)t-s 内发生的随机事件数.0()()s t N t N s ∀≤<−，Poisson 过程2.7.7 N t t 0}定义称计数过程{(),≥}是参数(强度、比率)为λ(λ>0) 的Poisson 过程，如果：(1) N (0)=0;(2) {N (t ),t ≥0}是平稳的独立增量过程；(3) ，N (t ) 服从参数为λt 的Poisson 分布，即0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！定理2.7.6 设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，则(1)=0;)=(1) m N (t )λt ，t ≥0; D N (t )λt , t ≥0;C N (s,t )=λmin (s,t ), s,t ≥0；R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)服从参数为的Poisson 分布.0()()s t N t N s ∀≤<−，()t s λ−z 证明：(1) 只需证明：R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)()往证：()(())(()()),0,1,2,kt s t s P N t N s k e k k λλ−−−−==="！)定义2.7.8称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果：(1) N(0)=0;(2) {N t), t≥0}(){(),}是平稳的独立增量过程；(3) 当充分小时，在(t, t+ )内出现事件一次的概率为tΔtΔΔ，即(4)当充分小时，在(t, t+ )内出现事件两次或是两次()t tλοΔ+ΔtΔtΔ(()()1)()P N t t N t t tλο+−==Δ+Δ以上概率为，即()tοΔ−≥=Δ(()()2)()P N t t N t tο+Δ277277278定理2.7.7定义2.7.7与定义2.7.8等价.证明：z 设定义2.7.7成立，只需证明定义2.7.8中的条件(3)、(4) 成Δ立，即(()()1)()P N t t N t t t λο+Δ−==Δ+Δ(()()2)()P N t t N t t ο+−≥=Δz 设定义2.7.8成立，只需证明0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson Poisson过程的到达时间间隔分布设N (t )表示知道t 时刻到达的随机点数,{N (t ),t ≥0}是强度为λ的Poisson 过程，分别表示第1个，第2个12,,,,n τττ""12=",…,第n 个,…,随机点的到达时间，称为Poisson 过程的到达时间序列，它是一个随机变量序列，{,1,2,}n n τ令称{T n , n=1,2,…}为Poisson 10,1,2,,0,defn n n T n τττ−=−=="过程的到达时间间隔序列，它也是一个随机变量序列.显然12n nT T T τ=+++"定理2.7.8设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，T ,n=1,2,…T ,T ,…,T ,…,{n ,,,}是其到达时间间隔序列，则1,2,,n ,,相互独立同服从参数λ的指数分布.即⎧⎧,0()0, 0n t T e t f t t λλ−≥=⎨<⎩1,0()0, 0n tT e t F t t λλ−−≥=⎨<⎩泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程3. 泊松过程的到达时间分布定理2.7.9设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程是其到达时间序列，则1,2,}n τ="1,2,n τ="服从Г分布，即的概率密度函数为{,,,n (,,)n n τ1(),0n t t e t n λλλ−−⎧≥⎪−()(1)0,0n f t t τ=⎨⎪<⎩！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程4. 泊松过程的到达时间的条件分布)t [0)设{N (t ), t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内仅有一个随机点到达，τ是其到达时间，则τ服从[0,t ) 上的均匀分布.0s <t 事实上，当0 ≤ s < t 时，|()1(|()1)(|()1)1N t F s N t P s N t ττ===≤=()(,()1)(()1,()()0) (()1)(()1)s t s P s N t P N s N t N s P N t P N t s λλτ−−−≤==−=====[0)(()1)(()()0) (()1)t P N s P N t N s se e P N t te tλλλ−=−=====从而τ服从[0,t ) 上的均匀分布.4.)t 0}泊松过程的到达时间的条件分布定理2.7.10设{N (t ), t ≥ 0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内有n 个随机点到达，则n 个到达时间n [0)12nτττ<<<"和n 个相互独立同服从[0,t ) 上均匀分布的随机变量的顺序统计量同分布.12,,n U U U "(1)(2)()n U U U <<<"4. )t 0}泊松过程的到达时间的条件分布例2.7.2假设乘客按照参数为λ的Poisson 过程{N (t ), t ≥ 0}来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t 启程，试求在[0,t ] 内到达火车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。
泊松过程
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
泊松过程
2 N ( t ) D[ N ( t )] D[ N ( t ) N (0)] t
13
解：首先M1(0)=0， M1(t) 具有平稳独立
增量，接下来只需验证 M1(t) 服从均值
为 pt 的泊松分布. 即对任意 t >0 ,
(pt)m pt P{ M 1 ( t ) m } e . m!
下边将用到全概率公式，二项分布的背 景、公式，以及泰勒展式 x n ex n! n 0
泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义1 随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t 为止已经发 生的事件A 的总数，且 N(t) 满足条件
(1) N(t) 0 ， 且 N(t) 取整数； (2)当s< t 时，则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s) 表示在时间(s, t]中事件A 发生的次数.
6
10k 10 P{N (t 1) N (t ) 20} e 0.9984 k 0 k!
20
P{N (t 2) N (t ) 0} e20 2.06109
984 k 0 k!
3
• 定义2 计数过程{N(t)，t 0 }是泊松过程, 如果N(t)满足 (1) N(0)=0， (2) N(t)是独立增量过程， (3) 在任一长度为 t 的区间中，事件A发生 的次数服从参数 t >0 的泊松分布，即 对任意s, t 0，有 n t ( t ) P N ( t s ) N ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
泊松过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
一维分布
定理 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，
则对任意固定的t >0, N(t)服从泊松分布π(λt )，即
P(N(t)
k)
(t)k k!
et
,
k 0,1,2,
证明：略。
注 该定理指明了泊松过程的一维分布，即在每个固定
P(N(t) 2) o(t), （ 0是常数）
普通性
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
9 December 2015
随机过程
《随机过程》
1
2015/12/9
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次 数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质：
(4)在足够小的时间间隔△t内， P(t时间间隔内无呼叫) P(N(t) 0) 1 t o(t) P(t时间间隔内有一次呼叫) P(N(t) 1) t o(t) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P(N(t) 2) o(t)
则计数过程{N(t), t∈[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
－N(t1)服从参数为λ(t2－t1)的泊松分布, 即 增量平稳性
或齐次性
P(N(t1,
t2
)
k)Βιβλιοθήκη [(t2 t1 k!)]k
e(t2t1
)
,
k 0,1,2,（ 0）
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
试利用定理说明上述两个泊松过程定义的等价性。
第三章泊松过程
第三章 泊松过程3.1 泊松过程的定义和例子定义3.1 称随机过程}0),({≥t t N 为计数过程,若N(t)表示到时刻t 为止已发生的事件A 的总数,且N(t)满足下列条件:(1)0)(≥t N ;(2)N(t)取整数值;(3)若s<t,则);()(t N t N ≤(4)当s<t 时,N(t)-N(s)等于区间],(t s 中发生的事件A 的次数.如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A 发生的次数是相互独立的即若4321`t t t t <≤<,则在],(21t t 内事件A 发生的次数)()(12t N t N -与在],(43t t 内事件A 发生的次数)()(34t N t N -相互独立,此时计数过程N(t)是独立增量过程. 若计数过程N(t) 在],(s t t +内(s>0),事件A 发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s 有关,而与t 无关,则计数过程N(t)是平稳增量过程.泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义如下:定义3.2 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件 (1) X(是独立增量过程;(3)在任一长度为t 的区间中,事件A 发生的次数服从0>λ的泊松分布,即对任意0,≥t s 有 ,...,2,1,0,!)(})()({===-+-n n t en s X s t X P ntλλ (3.1) 从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([.t t X E /)([=λ表示单位时间内事件A 发生率平均个数,故称0>λ为此过程的速率或强度. 条件(3)的检测是非常困难的.为此给出泊松过程的另一个定义.定义3.3 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件:(1)X(是独立平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式:),(}1)()({h o h t X h t X P +==-+λ),(}2)()({h o t X h t X P =≥-+ (3.2)定义中的条件(3)说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两个或两个以上事件同时发生,这种假设对于许多物理现象较容易得到满足.定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的.例3.1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤,令X(t)表示电话交换台在],0(t 内收到的呼唤次数,则}0),({≥t t X 满足定义3.3的条件,故该随机过程是一个泊松过程.例3.2考虑来到某火车站售票处购买车票的旅客.若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票处窗口的旅客数,则}0),({≥t t X 为一个泊松过程.例3.3考虑机器在],(h t t +内发生故障这一事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在],(h t t +内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机过程,它可以用泊松过程进行描述. 3.2 泊松过程的基本性质 一,数字特征根据泊松过程的定义,我们可以导出泊松过程的几数字特征. 设}0),({≥t t X 是泊松过程,对任意的),0[,∞∈s t ,且s<t,有 ),()]()([)]()([s t s X t X D s X t X E -=-=-λ 由于X(0)=0,故,)]0()([)]([)(t X t X E t X E t m X λ=-== (3.4),)]0()([)]([)(2t X t X D t X D t X λσ=-==)]()([),(t X s X E t s R X ==)]}()()()[({s X s X t X s X E +- =2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=).1()()(2+=++-t s s s s t s λλλλλλ.)()(),(),(s t m s m t s R t s B X X X X λ=-= (3.5) 特征函数为)].1(exp[][)()(-==iu t iuX X e t e E u g λ (3.6) 二,时间间隔与等待时间的分布设}0),({≥t t X 是泊松过程,令X(t)表示t 时刻事件A 发生(顾客出现)的次数,,...,,21W W 分别表示第一次,第二次,…事件A 发生的时间,)1(,≥n T n 表示从第(n-1)次事件A 发生到第n 次事件A 发生的时间间隔,(如图3.1所示)._________________12211→-----→←→←→←-n n n W T W W T W T图3.1通常,称n W 为第n 次事件A 出现的时刻或第n 次事件A 的等待时间,n T 是第n 个时间间隔,它们都是随机变量.定理3.2设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松分布, )1(,≥n T n 是对应的时间间隔序列,则随机变量)1(,≥n T n 是独立同分布的均值为λ1的指数分布.证明 首先注意到事件}{1t T >发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生,因而,}0)({}{1t e t X P t T P λ-===>,1}{1}{)(111t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤=所以1T 是服从均值为λ1的指数分布,利用泊松过程独立,平稳增量性质,有],{(}{12t s s P s T t T P +==>内没有事件发生}1s T = =],{(t s s P +内没有事件发生}=}0)()({=-+s X s t X P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(222t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤= 所以2T 也是服从均值为λ1的指数分布.对于任意,0,...,,,,1121≥≥-n s s s t n 有}0...()...({},...,{1111111=++-+++===>----n n n n n s s X s s t X P s T s T t T P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(t n n T e t T P t T P t F n λ--=>-=≤= 所以对任n T 也是服从均值为λ1的指数分布. {,,0,0,0,1}{)(<≥-=≤=-t t e t T P t F t n T n λ其概率密度为 ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,t t e f t T n λλ因为 ∑==nk k n T W 1由定理 3.2知,n W 是相互独立的指数分布随机变量之和,故用特征函数方法,立即可得如下定理:定理3.3设}1,{≥n W n 是与}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列,则n W 服从参数为n 与λ的Γ分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1t t n t e t f n t W n λλλ (3.7) 定理3.3的另一证明.注意到第n 个事件在时刻t 或之前发生当且当到时间t 已发生事件的数目至少是n,即.)(t W n t X n ≤⇔≥因此 !)(})({}(j t en t X P t W P jn j tn λλ∑∞=-=≥=≤. 对上式求导,得n W 的概率密度是 !)()(j t et f jn j tW n λλλ∑∞=--=. =.)!1()(1-=--n t en tλλλ 三,到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A 已经发生一次,我们要确定这一事件到达时间1W .的分布.因为泊松过程有平稳独立增量,故有理由认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同.换言之,这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布.事实上,对s<t, 有}1)({}1)(,{}1)({11==≤==≤t X P t X s W P t X s W P}1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P }1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P =,)(t ste e se t s t s =----λλλλλ 即分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==;,1,0,,0,0)(1)(1t s t s t s s s F t X W定理3.4设}0),({≥t t X 是泊松过程,已知在[0,t]内事件A 发生n 次,则这n 次到达时间n W W W <<<...,21与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布.证明 令,....0121t t t t n =<<≤+且取i h 充分小使得1+<+i i i t h t (i=1,2,…,n),则在给定X(t)=n 的条件下,我们有})(,...,{1111n t X h t W t h t W t P n n n n =+≤≤+≤≤ =})({],0[,,...2,1,],{[n t X P t n i h t t P i i i ==+的别处无事件中有一事件=,...!!/)(...21)...(111n n nt h h t h n h h h h tn n t e e e h e h nn=-------λλλλλλλ 因此ni i i i h h n t X n i h t W t P ...})(,....,1,{1==+≤≤=.!n t n 令0→i h ,我们得到n W W ,...,1在已知X(t)=n 的条件下的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥<≤==.0;,0,0,1)(1)(1s t s t s ts f t X W⎪⎩⎪⎨⎧<<<=,,0,...0,!),...,(11其它n n n t t t n t t f例 3.4设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,且,0t s <<对于,0n k <<求}.)()({n t X k s X P ==解 利用条件概率及泊松分布得})({})(,)({})()({n t X P n t X k s X P n t X k s X P =======})({})()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==!)()!()]([!)()(n t e k n s t ek s entkn s t k tλλλλλλ-------=.)1()(k n kk n t s t s C -- 这是一个参数为n 和s/t 的二项分布.例3.5设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,求第k(k<n)次事件A 发生的时间k W 的条件概率密度函数解 先求条件概率},)({n t X h s W s P s =+≤<再对s 求导. 当h 充分小时,有==+≤<})({n t X h s W s P s=})({/)(,{n t X P n t X h s W s P s ==+≤<=!)(})()(,{n t e k n h s X t X h s W s P n t s --=+-+≤<λλ =!)(})()({}{n t e k n h s X t X P h s W s P n t s --=+-+≤<λλ将上式两边除以h,并令0→h 取极限,得到 hn t X h s W s P n s f k h t x W k})({lim )(0)(=+≤<=→=!)(})()({)(n t e k n s X t X P s f n t W k --=-λλ=.)1()!()!1(11kn kk ts t s k n k n -----其中利用了定理3.3的结论.例3.6 设}0),({1≥t t X 和}0),({2≥t t X 是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为21,λλ.记)1(k W 为过程}0),({1≥t t X 的第k 次事件到达时间,)2(1W 为过程}0),({2≥t t X 的第一次事件到达时间,求}{)2(1)1(W W P k <,即第一个泊松过程的第k 次事件发生比第二个泊松过程的第1次事件发生早的概率.解 设)1(k W 的取值为x, )2(1W 的取值为y,由(3.7)式⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1111)1((x x k x e x f k x W kλλλ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,)(2)2(12y y e y f y W λλ则⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(其中D 为由y=x 与y 轴所围区域,f(x,y)为)1(k W 与)2(1W 的联合概率密度.由于两个随机过程相互独立,因此),()(),()2(1)1(y f x f y x f W W k=所以 ⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(=dydx e k x ey n xx2121101)!1()(λλλλλ---∞∞-⎰⎰=.)(211k λλλ+例3.7 仪器受到振动而引起损伤.如果震动是按照强度为λ的泊松过程发生,第k 次震动引起的损伤为k D ,,...,21D D 是独立同分布随机变量序列,且和}0),({≥t t N 独立,其中N(t)是表示[0,t]时间段仪器受到震动次数,又假设仪器受到震动而引起的损伤随时间按指数减少,即如果震动的初始损伤为D 则震动之后经过时间t 后减少为).0(>-ααt De 设损伤是可叠加的,即在时刻t 的损伤可表示为))()(1)(k t t t N k ke D t D --=∑=α,其中k t 为仪器受到第k 次震动的时刻,求E[D(t)].解 E[D(t)]=][)(1)(∑=--t N k t t k k eD E α =)},(][{)(1)(t N e D E E t N k t t k k ∑=--α由于==∑=--})(]{[)(1)(n t N eD E t N k t t k k α})(]{[1)(n t N e D E nk t t k k =∑=--α=])([)(11n t N e E eD E nk t tk =∑=-αα由定理3.4知(U(k)是[0,t]上相互独立的均匀随机变量的顺序统计量) ]1[1][][])([0)(1)(1-=====⎰∑∑==tt x k U nk k U nk t e tn dx e t nEe n e E n t N eE kαααααα, 因此).1()()]([),(]1[)()]()([11t t e D E t D E D E e tt N t N t D E αααλα---=-=3.3非齐次泊松过程定义3,4称计数过程}0),({≥t t X 为具有跳跃强度函数)(t λ的非齐次泊松过程,如果它满足下列条件; (1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程;(3)).(}2)()({),()(}1)()({h o t X h t X P h o h t t X h t X P =≥-++==-+λ显然根据强度的物理意义,非齐次泊松过程的均值函数为⎰=tX ds s t m 0)()(λ (3.9)概率分布由下面定理给出.定理3.5 设}0),({≥t t X 是具有均值函数⎰=tX ds s t m 0)()(λ的非齐次泊松过程,则有})()({n t X s t X P =-+=)0()]},()([exp{!)]()([≥-+--+n t m s t m n t m s t m X X nX X 例3.8 设}0),({≥t t X 是具有跳跃强度)cos 1(21)(wt t +=λ的非齐次泊松过程 )0(≠w ,求E[X(t)]和D[X(t)].解 由(3.9)E[X(t)]=D[X(t)]=).sin 1(21)cos 1(210wt wt ds ws t+=+⎰ 3.4 复合泊松过程定义3.5 称计数过程}0),({≥t t N 为具有跳跃强度函数λ齐次泊松过程,},...,2,1,{=k Y k 是一列独立同分布的随机变量,且与}0),({≥t t N 独立,令,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程.例3.10设N(t)是在时间段],0(t 内到达某商店的顾客数, }0),({≥t t N 是泊松过程.若k Y 是第k 个顾客在商店所花的钱数,则},...,2,1,{=k Y k 是独立同分布随机变量序列,且与}0),({≥t t N 独立,记X(t)为该商店在],0(t 时间段内的营业额,则,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是一个复合泊松过程.定理3.6 设,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是复合泊松过程,则(1) }0),({≥t t X 是独立增量过程;(2) X(t)特征函数]},1)({exp{)()(-=u g t u g Y t X λ其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数;λ是事件的到达率;(3)若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ== 证明 (1)令,....0210m t t t t <<<≤则.,...,2,1,)()()(1)(11mk Y t X t X k k t N t N i ik k ==-∑+=-- 由条件,不难验证X(t)具有独立增量性.(2) 因为=)()(u g t X ][)(t i u X eE =})({])([)(0n t N P n t N e E t iuX n ==∑∞==1)(])([1n t en t N eE ntY iun nk kλλ-∞==∑=∑=!)(][1n t eeE ntY iun nk kλλ-∞=∑=∑=!)()]([0n t eu g ntn Y n λλ-∞=∑=exp{]}.1)([-u g t Y λ (3) 由条件期望的性质E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N ,由假设知 ==])()([n t N t X E ==∑=])([)(1n t N Y E t N i i ==∑=])([1n t N Y E ni i),(][11Y nE Y E ni i ==∑=所以E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N =E[N(t)])(1Y E =).(1Y tE λ 类似地],[)()]()([1Y D t N t N t X D =)({)]([t N E t X D =D[1Y ]}+D{N(t)E[]}1Y =.)()()(21211Y tE EY t Y tD λλλ=+。
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
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即
FT2(t)=P(T2≤t)=1- P(T2>t)=1- e- t
所以T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立。
对于任意n>0和t, s1, s2 ,…, sn-1≥0,有 P(Tn t | T1 s1, ,Tn1 sn1) P( X (t s1 sn1) X (s1 P( X (t) X (0) 0) et
E[ X (s) X (0)][ X (t) X (s) X (s)]
E[ X (s) X (0)][ X (t) X (s)] E[X (s)]2
s(t s) s (s)2 s(t 1) (s t)
当s t时，RX (s,t) t(s 1)
sn1) 0)
即 FTn (t) P(Tn t) 1 et
所以对任一Tn(n≥1)，其分布是均值为1/ 的指数分布，
且独立。
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另一个感兴趣的是等待时间Wn的分布，即第n次事件 A到达的时间分布，因
n
Wn Ti (n 1) i 1
P( X (s) 1, X (t) X (s) 0) P( X (t) 1)
P( X (s) 1)P( X (t) X (s) 0) P( X (t) 1)
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sese (ts) tet
s t 北京邮电大学电子工程学院
上式又称爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指
数分布的随机变量之和的概率密度。
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证明：由于第n个事件在时刻t或t之前发生当且仅当时 间t已发生的事件数目至少是n，即
X (t) n Wn t
因此
P(Wn
t)
P(X (t)
n)
et
（1） N(t)≥0；
（2） N(t)取整数值；
（3）若s<t，则 N(s)≤ N(t)；
（4）当s<t时， N(t) - N(s)等于区间(s, t]中“事 件A”发生的次数。
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泊松过程是计数过程的最重要类型之一：
定义3.2 称计数过程{X(t), t≥0 }为具有参数为(>0)的
n
P{X (t) X（0） n j, X (t h) X（t） j} j2
由定义3.3的（2）和(3)得
Pn (t h) Pn (t)P0 (h) Pn1(t)P1(h) o(h)
(1 h)Pn (t) hPn1(t) o(h)
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设{X(t),t≥0}是泊松过程，令X(t)表示[0, t]内事
件A发生（顾客出现）的次数，W1,W2,…表示第一 次、第二次，…事件A发生的时间，Tn(n ≥1)表示 从第(n-1)次事件A发生到第n次发生的时间间隔。
通常称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A 的等待时间, Tn为第n个时间间隔.
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例3.2 已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有
参数的泊松过程。若仪器振动k(k≥1)次就会出现故障，
求仪器在t0正常工作的概率。
解： 依题意知发生故障的时刻T就是发生第k次振动的
时刻Wk，由定理3.2知T的概率密度为
fT
(t)
et
第三章 泊松过程
掌握泊松过程的基本概念 掌握泊松过程的数字特征 掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分
布 掌握泊松过程达到时间的条件分布 了解非齐次泊松过程和复合泊松过程
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第一节 泊松过程的定义
例3.1 电话交换台在时间段[0，t]内接到 的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)。对于 固定的t，X(t)是取非负整数的随机变量。
由定理3.2知，Wn是n个相互独立的指数分布随机变量 和，可以得到如下结论：
定理3.3 设{Wn，n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个
等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率
密度为：
fWn
(t)
et
(t)n1 ,
(n 1)!
0,
t 0, t 0.
例3.2 在时间段[0，t]内意外事故或意外 差错的发生次数；在时间段[0，t]内要求服 务的顾客到达服务站的人数；等等。
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定义3.1.称随机过程 {N(t), t≥0 }为计数过程， 若N(t)表示[0，t]已发生的“事件A”的总数，且 N(t)满足下列条件：
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于是
Pn (t
h) h
Pn (t)
Pn (t)
Pn1 (t )
o(h) h
令h 0 ,取极限得：
于是 所以 得
Pn '(t) Pn (t) Pn1(t)
et[Pn '(t) Pn (t)] et Pn1(t) [et Pn (t)]' et Pn1(t)
n!
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第二节 泊松过程的基本性质
一、数字特征
(1) mX (t) E[ X (t)] t
(2)
2 X
(t)
D[
X
(t)]
t
(3) RX (s,t) E[ X (s) X (t)] E[ X (s)[ X (t) X (s) X (s)]]
5
证明：定义3.2蕴含定义3.3，显然。
下证定义3.3蕴含定义3.2。
令Pn (t) P{X (t) n} P{X (t) X（0） n}
根据定义3.3之（2）和（3）有
P0 (t h) P{X (t h) 0} P{X (t h) X（0） 0} P{X (t) X（0） 0, X (t h) X（t） 0} P{X (t) X（0） 0}P{X (t h) X（t） 0}
P0
'(t)
于是：P0 (t) cet 而P0 (0) 1，则P{X (t) 0} et
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类似地，对于n 1有
Pn (t h) P{X (t h) n} P{X (t h) X（0） n} P{X (t) X（0） n, X (t h) X（t） 0} P{X (t) X（0） n 1, X (t h) X（t） 1}
[et Pn (t)]' etPn1(t)=et（(nt)n1)1!et （(nt)n1)1!
则
et Pn (t)=
(t)n
n!
c
由Pn (0)=0，代入上式得
Pn
(t)=
(t)n
n!
et
根据平稳增量性，得P{X (t s) - X (s) n} (t)n et , n 0,1,
假设在[0，t]内事件A已经发生一次，我们要确定这 一事件到达时间W1的分布。因为泊松过程有平稳独立 增量性，故有理由认为[0，t]内长度相等的区间包含这
个事件的概率应该相同。换言之，这个事件的到达时
间应在[0，t]上服从均匀分布。事实上，对0<s<t有
P(W1
s
|
X
(t)
1)
P(W1 s, X (t) 1) P( X (t) 1)
(t )k 1
, (k 1)!
t 0,
0,
t 0.
故仪器在t0时刻正常工作的概率为
p P(T t0 )
et (t)k 1 dt =et0 k1 (t0 )n
t0
(k 1)!
n0 n!
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三、到达时间的条件分布
P(T1>t)=P(X(t)=0)=e- t 即
FT1(t)=P(T1≤t)=1- P(T1>t)=1- e- t
所以T1服从均值为1/的指数分布。利用泊松过程的 独立、平稳增量性质，有
P(T2>t|T1=s)=P(在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s) = P(在(s,s+t]内没有事件发生)=P(X(t+s)-X(s)=0)=e- t
泊松过程，若它满足下列条件：
(1) X(0)=0; (2)X(t)是独立增量过程；
如意外事故
(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参
数为t的泊松分布，即对任意s, t ≥0 ，有
P{X (t s) X (s) n} et (t)n , n 0,1,
n!
从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=t。 由于 E[X (t)]
jn
(t) j
j!
对上式求导，得
fWn (t)
et
jn
(t) j
j!
et
jn
(t) j1
( j 1)!
et (t) j et (t) j
jn
j ! jn1
j!
et (t)n1
(n 1)!