高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1

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人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计(表格式)

2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。

本节课的内容起到了承上启下的作用。

本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。

难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。

通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。

二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。

理解函数零点和方程的根的关系。

(3)理解函数零点存在的判定条件。

2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。

3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。

学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。

教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。

(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。

高中数学 241(函数的零点)教案新人教B版必修1 教案

函数的零点教案教学目标：1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.重点、难点：教学过程：一．自主达标1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做．２．把一个函数的图像与叫做这个函数的零点．３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有个零点；Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有个零点；Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有个零点．４．二次函数零点的性质：（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．（２）在相邻的两个零点之间所有．二。

典例解析例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值．例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知⎩⎨⎧=-⨯-=-+ba )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ＝－８．评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键．例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上．评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）•ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００X 桌子．已知制作一X 桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７X 桌子或１０把椅子，所以制作１００X 桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝x7100，制作２００把椅子所需时间为函数ｑ（ｘ）＝)30(10200x -，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． x 7100＝)30(10200x -，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数x N +∈，考察ｐ（１２）与ｑ（１３），ｐ（１２）＝84100≈１．１９，ｑ（１３）＝≈1720１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．三、达标练习：１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（）Ａ．至少有一个零点Ｂ．至多有一个零点Ｃ．没有零点Ｄ．必有唯一零点２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（）Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂＣ．Α＜ａ＜ｂ＜βＤ．ａ＜ａ＜β＜ｂ３．函数ｆ（ｘ）＝222(1)2(1)x x x x x -≥⎧⎨-<⎩，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点．４．如果函数f （x ）=2x +ｍx ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值X 围．５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在0x ∈Ｒ，使ｆ（0x ）＝0x 成立，则称0x 为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f （x ）=a 2x +（b ＋１）x ＋（ｂ－１）（ａ≠０）．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值X 围．参考答案：１．Ｄ２．Ｃ３．254,89- ４．2-6≤≤m ５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝x 2－ｘ－３，由题意可知ｘ＝x 2－ｘ－３解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．（２） f （x ）=a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．∴ｘ＝a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１），即ａx 2＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝)(0)1(42R b b a b ∈>--恒成立，即)(0442R b a ab b ∈>+-恒成立，于是∆1＝016162<-a a ，解得０＜ａ＜１．故当R b ∈，ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点时，ａ取值X 围为０＜ａ＜１．。

高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1 教案

2014年高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1一、内容及其解析（一）内容：零点存在性定理．（二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课的第二小节，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其它知识的联系的角度来引入较为适宜。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。

函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。

函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。

定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。

从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。

用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

二、目标及其解析（一）教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

零点存在定理的教案

教案课题：零点存在定理授课人：一、内容及内容解析：本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：方程的根⇔零点⇐零点存在定理⇑二分法二、三维目标：知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(<b f a f 的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点：[难点] 二分法的使用及对定理的理解.[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？因为函数只有一个零点，所以函数图象与x 轴只有一个交点。

那函数图象与x 轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。

（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）这种情况下，零点附近函数值同号。

高中数学第三章函数3.2第2课时零点的存在性及其近似值的求法学案新人教B版必修第一册

第2课时零点的存在性及其近似值的求法(教师独具内容)课程标准：1.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性．教学重点：二分法求函数零点的步骤．教学难点：二分法求函数零点的原理.【情境导学】(教师独具内容)在一个风雨交加的夜里，从某水库到防洪指挥部的通信光缆发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何才能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 内，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理呢？学完本节课的知识你就知道了．【知识导学】知识点一函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是□01连续不断的，并且□02f (a )f (b )<0(即□03在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上□04至少有一个零点，即□05∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＝0.知识点二二分法的概念对于在区间[a ，b ]上图像连续不断且f (a )f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．知识点三用二分法求函数零点近似值的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ，b ]上的图像是□01连续不断的，且□02f (a )f (b )<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x 0的近似值x 1，使得|x 1－x 0|<ε的一般步骤如下：第一步：□03检查|b －a |<2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：□04计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步．第三步：□05若f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·f (b )<0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步．这些步骤可用如下所示的框图表示．【新知拓展】1．函数零点存在定理的使用范围(1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f (a )f (b )<0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点．(2)此判定定理是不可逆的，因为f (a )f (b )<0⇒函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点．但是已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点不一定推出f (a )f (b )<0.如图③，在区间(a ，b )内函数有零点，但f (a )f (b )>0.2．函数零点的判定(1)若f (a )f (b )<0，函数f (x )在[a ，b ]上连续且单调，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内只有一个零点．(2)若f (a )f (b )>0，函数f (x )在[a ，b ]上连续且单调，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内一定没有零点．(3)若f (a )f (b )>0，且函数f (x )在[a ，b ]上不单调，则零点在(a ，b )内是否存在不确定． (4)若f (a )f (b )＝0，则a 或b 是零点． 3．关于用二分法求函数零点近似值的一般步骤在第一步中，初始区间[a ，b ]的选定一般在两个整数间，且区间长度尽量小，另外f (a )，f (b )的值比较容易计算，且f (a )f (b )<0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )f (b )<0.( ) (2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求零点．( ) (3)二分法求出的函数的零点都是近似值．( )(4)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f (x )在区间(2,5)上是减函数，且图像是一条连续不断的曲线，f (2)f (5)<0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．(2)用二分法求函数f (x )＝x 3－3的零点时，若初始区间为(n ，n ＋1)，n ∈Z ，则n ＝________.(3)用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f (2)f (3)<0，取区间[2,3]的中点x 1＝2＋32＝2.5，计算得f (2.5)f (3)>0，此时零点x 0所在的区间是________．答案 (1)1 (2)1 (3)(2,2.5)题型一二分法的适用条件例1 下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )[解析] 按定义，f (x )在区间[a ，b ]上是不间断的，且f (a )f (b )<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B ，C ，D 满足条件，而A 不满足，在A 中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.[答案] A 金版点睛运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．[跟踪训练1] (1)下列图像中表示的函数能用二分法求零点的是( )(2)用二分法求函数f (x )在区间[a ，b ]上的零点时，需要的条件是( )①f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的；②f (a )f (b )<0；③f (a )f (b )>0；④f (a )f (b )≥0. A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②答案 (1)C (2)A解析 (1)由于只有C 中的图像满足连续，且零点左右函数值异号，故只有C 能用二分法求零点．(2)由二分法的定义知①②正确. 题型二判断函数零点所在的区间例2 若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a －c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．[答案] A金版点睛确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点．[跟踪训练2]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案 A解析因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根.题型三用二分法求函数零点的近似值例3 判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]上有无零点，如果有，求出一个零点的近似值(精确度小于0.1)．[解]因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：由上表可知，1.3125就是所求函数的一个近似零点，且精确度小于0.1.金版点睛利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图像确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n ∈Z.(2)利用二分法求出满足小于精确度2倍的方程的根所在的区间M.(3)区间M的中点就是方程的近似解．[跟踪训练3]求33的近似值(精确度小于0.1)．解令33＝x，则x3＝3.令f(x)＝x3－3，则33就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算，列表如下：由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以33的近似值可取为1.4375.1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝x2－3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1答案 C解析因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]答案 A解析∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．3．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)答案 B解析令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.4．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点个数是________．答案 2解析由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2.5．求函数f(x)＝x2－8的正无理零点的近似值(精确度小于0.1)．解由题意只需求出函数f(x)＝x2－8的正零点即可，由于f(2)＝－4<0，f(3)＝1>0，故取区间(2,3)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：理零点的近似值可取为2.8125.。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：3.2.2 零点的存在性及其近似值的求法

第2课时零点的存在性及其近似值的求法1.函数零点存在定理(1)定理条件函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0 结论函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0始点(a，f(a))与终点(b，f(b))分别在x轴两侧，则此连续曲线至少与x轴有一个交点．(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间[a，b]上的零点个数？提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．能否用二分法求方程的近似解？提示：能，方程的根即为函数的零点． 3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f (x )零点x 0近似值x 1，使得|x 1－x 0|<ε的一般步骤如下：第一步，检查|b －a |≤2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2 ，计算结束，如果不成立，转到第二步；第二步，计算区间(a ，b )的中点a ＋b2 对应的函数值，若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝0，取x 1＝a ＋b2 ，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ≠0，转到第三步；第三步，若f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＜0，将a ＋b 2 →b ，回到第一步；否则必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 f (b )<0，将a ＋b2 →a ，回到第一步．当|b －a |<2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|<ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)函数y ＝2x －1的零点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 .( × )提示：函数y ＝2x －1的零点是12 .(2)若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上f(a)f(b)>0，则在区间(a ，b)上一定没有零点．( × )提示：如f(x)＝x 2在区间(－1，1)上有f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)上有零点0.(3)求任何函数的零点都可以用二分法．( × )提示：函数需满足在区间[a ，b]上连续不断且f(a)f(b)<0，才能用二分法求零点．2．下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B .二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B ，图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A ，C ，D 零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．根据二分法的理论依据选项B 不能用二分法求图中函数零点．3．(教材例题改编)已知函数f ()x ＝x 2＋x ＋a 在区间()0，1 上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14C ．()－2，0D ．[]－2，0【解析】选C .函数f(x)＝x 2＋x ＋a 的图像的对称轴方程为x ＝－12 ，故函数在区间(0，1)上单调递增，再根据函数f(x)在(0，1)上有零点，可得⎩⎨⎧f ()0＝a<0，f ()1＝2＋a>0，解得－2<a<0.类型一函数零点所在区间的求法(数学运算)1．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】选A.因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝ (b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a <b <c ，所以f (a )＞0，f (b )<0，f (c )＞0，所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，故∃x 1∈(a ，b )，x 2∈(b ，c )，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，2．(2021·太原高一检测)函数f (x )＝x 3＋x －12的零点所在的大致区间为()A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【解析】选D.因为f(－1)＝－1－1－12＝－14<0，f(0)＝－12<0，f(1)＝1＋1－12＝－10<0，f(2)＝8＋2－12＝－2<0，f(3)＝27＋3－12＝18>0，所以f(2)f(3)<0，所以f(x)的零点所在的大致区间为⎝⎛⎭⎫2，3.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．【补偿训练】对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)【解析】设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7＞0，所以f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，所以∃x 1∈(－2，－1)，x 2∈(－1，0)，x 3∈(1，2)，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，f (x 3)＝0.则f (x )在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确．答案：①②③类型二确定零点的个数(数学运算、直观想象)【典例】1.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －x 2＋1的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【思路导引】令f (x )＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断．【解析】选C.令f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －x 2＋1＝0，得|1x |＝x 2－1，则函数f (x )的零点个数，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 与y ＝x 2－1的交点个数，如图所示，有两个交点，故函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －x 2＋1有两个零点．2．函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3－k 有四个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(3，4) B ．(－∞，3] C ．(0，3] D ．(1，3]【思路导引】转化为函数g (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像与直线y ＝k 的交点讨论问题．【解析】选A.设g (x )＝－x 2＋2|x |＋3，作出g (x )的图像，当3<k <4时，直线y ＝k 与g (x )的图像有4个交点．利用函数的图像判断零点个数(1)原理：函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个函数，作图观察交点个数．(2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．函数f (x )＝x 2－(k ＋2)x ＋1－3k 有两个不等零点x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求实数k 的取值范围．【解析】因为函数f (x )＝x 2－(k ＋2)x ＋1－3k 有两个零点x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，所以设f (x )＝x 2－(k ＋2)x ＋1－3k ，画出函数的大致图像如图．据图像有f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15 .所以实数k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |0<k <15 .【拓展延伸】方程f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的区间根问题二次函数的零点分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图像从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1，x 2，其零点分布情况如下：零点分布(m< n<p 为常数)图像满足条件x 1<x 2<m⎩⎨⎧Δ>0，－b2a <m ，f （m ）>0 m<x 1<x 2⎩⎨⎧Δ>0，－b2a >m ，f （m ）>0x 1<m<x 2f(m)<0 m<x 1 <x 2<n⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，m<－b2a <n ，f （m ）>0f （n ）>0m<x 1<n <x 2<p⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0，f （n ）<0，f （p ）>0只有一根在 (m ，n)之间⎩⎨⎧Δ＝0，m<－b2a <n ，或f(m)·f(n)<0【补偿训练】4x2＋()m－2x＋m－5＝0的一根在区间()－1，0内，另一根在区间()0，2内，则m的取值范围是()A．⎝⎛⎭⎪⎫53，5B．⎝⎛⎭⎪⎫－73，5C．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53∪()5，＋∞D．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53【解析】选B.设f()x＝4x2＋⎝⎛⎭⎫m－2x＋m－5，因为方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间⎝⎛⎭⎫－1，0内，另一根在区间⎝⎛⎭⎫0，2内，所以⎩⎨⎧f⎝⎛⎭⎫－1>0，f()0<0，f()2>0即⎩⎪⎨⎪⎧4－⎝⎛⎭⎫m－2＋m－5>0，m－5<0，16＋2⎝⎛⎭⎫m－2＋m－5>0，解得－73<m<5.类型三二分法的应用(数学运算、直观想象)二分法概念的理解【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B．x2C．x3D．x4【思路导引】根据二分法的定义判断．【解析】选C.二分法求函数f(x)的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)f(4)<0，给定精度为0.1，需将区间等分____次．【思路导引】根据二分法求零点的步骤判断．【解析】开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为1，2n－1因为用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精度为0.1，所以1≤0.2，解得n≥4.2n－1答案：4运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．用二分法求函数零点的近似值【典例】求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精度0.01).【思路导引】【解析】确定一个包含负零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：＝－1.929 687 5由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.求本例函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－2，－1]上精度为0.1的一个零点近似值．【解析】因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋1的图像是连续的曲线，根据函数零点存在定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(－1)>0， f(－2)<0 (－2，－1) x 0＝－1－22 ＝－1.5 f(x 0)＝ 4．375>0 (－2，－1.5) x 1＝－1.5－22 ＝－1.75 f(x 1)≈ 2．203>0 (－2，－1.75) x 2＝－1.75－22 ＝－1.875 f(x 2)≈ 0．736>0 (－2，－1.875) x 3＝－1.875－22＝－1.937 5 f(x 3)≈ －0.097 4<0(－1.937 5，－1.875)由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.利用二分法求方程近似解的过程图示1．下列函数中，不能用二分法求零点的是()【解析】选D.由函数图像可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点．2．下列函数的零点不能用二分法求解的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝2x－1C．f(x)＝|x| D．f(x)＝－x2＋4x－1【解析】选C.所给函数均为连续函数，故只需考虑是否存在区间[a，b]，使得f(a)f(b)<0即可．对于A，存在区间[0，2]，使得f(0)f(2)<0，对于B，存在区间[0，1]，使得f(0)f(1)<0，对于C，由于f(x)＝|x|≥0，故不存在区间[a，b]，使得f(a)f(b)<0，对于D，存在区间[0，1]，使得f(0)f(1)<0.3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2，1] B．[－1，0]C．[0，1] D．[1，2]【解析】选A.二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足f(a)·f(b)<0.本题中函数f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，显然满足f(－2)·f(1)<0，因此∃x0∈(－2，1)，f(x0)＝0，故函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是[－2，1].4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝____________．【解析】根据题意，方程f(x)＝0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m＝1.375＋1.52＝1.437 5.答案：1.437 5备选类型二次函数零点分布(直观想象、数学运算)【典例】若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________.【思路导引】根据函数的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，可以求出f(－2)与f(0)的关系和f(1)与f(3)的关系，再求出a 的取值范围．【解析】根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a>0，a<0，3－5＋a<0，27－15＋a>0，解得－12<a<0. 答案：(－12，0)结合二次函数的图像，通过零点存在定理建立相应的不等式组进行求解．已知关于x 的方程x 2－2ax ＋4＝0，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)一个根大于1，一个根小于1.(2)一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内．【解析】设f ()x ＝x 2－2ax ＋4.(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的图像与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>52 . (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的图像与性质及零点存在定理得⎩⎪⎨⎪⎧f ()0＝4>0，f ()1＝5－2a<0，f ()6＝40－12a<0，f ()8＝68－16a>0，解得103 <a<174 .1．已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f (x )123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】选B.由数表可知，函数分别在(2，3)，(3，4)，(4，5)上各至少有一个零点，因此在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．已知函数f (x )＝3ax －1－2a 在区间(－1，1)上存在零点，则( ) A ．15 <a <1B ．a >15C ．a <－15 或a >1D ．a <－15【解析】选C.因为f (x )＝3ax －1－2a 在区间(－1，1)上单调且存在零点，所以f (－1)·f (1)＝(－3a －1－2a )·(3a －1－2a )＝(－5a －1)·(a －1)<0，所以a >1或a <－15 .3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算f (0)<0，f (0.5)＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0，0.5)，f (0.125)B ．(0.5，1)，f (0.25)C ．(0.5，1)，f (0.75)D ．(0，0.5)，f (0.25) 【解析】选D.令f (x )＝x 5＋8x 3－1，则f (0)<0，f (0.5)＞0，所以f (0)·f (0.5)<0，所以其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应该为f (0.25).4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤4x 2－8x ＋16，x >4 ，若关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )和y ＝a 的图像，如图所示，由图知，函数f (x )与y ＝a 的图像恰有三个交点，即f (x )＝a 恰有三个不同实数解时，a 的取值范围是0<a ≤4.答案：⎝⎛⎦⎤0，45．已知二次函数f ()x ＝x 2－x －6在区间[1，4]上的图像是一条连续的曲线，且f (1)＝－6<0，f (4)＝6>0，由零点存在定理可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点a ，则f (a )＝________．【解析】显然(1，4)的中点为2.5，则f ()a ＝f ()2.5 ＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.25。

高中数学零点、根的存在性和二分法导学案新人教A版必修1

1高中数学零点、根的存在性和二分法导学案新人教A 版必修13.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点第一课时一、导学目标1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围. 二、课前自主预习一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河? 显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x 轴,那么问题即转化为函数图象与x 轴是否存在交点. 问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗? (2)二次函数的零点个数如何判断? (1)对于函数y=f (x ),我们把使的实数x 叫作函数y=f (x )的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. (2)在二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中,当 ___________时,有两个零点;当Δ=0时,有 ______个零点;当时,没有零点. 问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x 轴交点的横坐标,这三者有什么关系?问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上满足零点存在性定理的条件,那么在(a ,b )上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a ,b )内有零点,那么你认为f (a )·f (b )与0的关系是怎样的?请举例说明.（下面几个函数图象供参考）三：立竿见影 1.函数y=x 2－2x －3的零点是( ). A.(－1,0),(3,0) B.x=－1 C.x=3 D.－1和3 2.若函数f (x )=x 2+2x+a 有零点,则实数a 的取值范围是( ). A.a<1 B.a>1 C.a ≤1 D.a ≥1 3.观察函数y=f (x )的图象,则f (x ): 在区间[a ,b ]上 (填“有”或“无”)零点;f (a )·f (b ) ______0(填“<”或“>”), 在区间[b ,c ]上零点;f (b )·f (c )0 在区间[c ,d ]上__ 零点;f (c )·f (d )0 4.已知函数f (x )=2x －x 2,问方程f (x )=0在区间[－1,0]内是否有解,为什么?四：合作探究探究一：函数零点的概念 1. 指出下列函数的零点：①()43f x x =- ②2()32f x x x =-+③4()1f x x =-2．函数2()f x x a x b =++的两个零点是2和－4，求.a b 、3.函数2()1f x a x x =--仅有一个零点，求实数a 的取值范围.跟踪练习：判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f (x )=3x x +;(2) f (x )=1－log 3x ;(3)f (x )=2x－3;探究二：函数零点个数的判断 (1)二次函数2y a x b x c =++中，a ·0c <，则函数的零点个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定(2)判断函数f (x )=ln x+x 2－3的零点的个数.跟踪练习：(1)2()f x x m x n =++,若()0()0f a f b >>，，则()f x 在区间()a b ，内( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至少有一个零点 (2)若函数()f x 在定义域{x x ∈R 且}0x ≠上是偶函数，且在(0)+∞，上为减函数，(2)0f =，则函数()f x 的零点有 ( )A.一个B.两个C.至少两个D.无法判定探究三：函数零点所在的大致区间2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.1(1)e ，和(3，4) D. ()e +∞，跟踪练习：(1)方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根( ).A.(－2,－1)B.(0,1)C.(1,2)D.(－1,0) ※(2) (2013年·重庆卷)若a<b<c ,则函数f (x )=(x －a )(x －b )+(x －b )(x －c )+(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ).A.(a ,b )和(b ,c )内B.(－∞,a )和(a ,b )内C.(b ,c )和(c ,+∞)内D.(－∞,a )和(c ,+∞)内探究四：函数零点的性质求函数22()(2)(28)f x x x x x =+---的零点，并指出使0y <成立的x 的取值范围.2点．其中正确结论的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4．9()lg f x x x=-的零点所在的大致区间是A ．(6，7)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，10) 5．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定 6．若函数()f x a x b =+的零点是2，则函数g (x )=2b x －a x 的零点是 A ．0，2 B ．0，12C ．0,－12D ．2，－127．函数f (x )=223,0,2ln ,0x x x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00,x y )，则0x 所在区间为A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)9．f (x )=22xx -，问方程 f (x )=0在[－1，0]内是否有解，为什么？10．讨论函数f (x )=ln x +2x －6的零点个数．11．定义在R 上的偶函数y =f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (1og 14x )≥0的x 的取值集合．12. 讨论 ( 1)( 2)()y a x x a R =--∈的零点。

《方程的根与函数的零点》(第二课时)——零点存在性定理教学设计

【课堂聚焦·教学设计】《方程的根与函数的零点》（第二课时）——零点存在性定理教学设计广西南宁市第四中学　敬　燕一、教材分析本节课内容是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版》第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第一小节的第二课时。

函数是中学数学的核心概念，函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个联结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生系统地掌握了函数的概念及性质，掌握基本初等函数、方程的根与函数零点之间的关系后，学习函数在某个区间上存在零点的判定方法并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性，为后续学习“用二分法求方程的近似解”打基础。

因此，本节课内容具有承前启后的作用，地位重要。

二、学情分析这个阶段的普通高中学生，思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻了解，在第二章《基本初等函数（Ⅰ）》中又学习了指数函数、对数函数及幂函数的基本性质，掌握了函数图像的一般画法，具备了一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图像判断函数在某个区间上存在零点提供了一定的知识基础。

对于函数零点的判断，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。

三、设计理念本节课采用探究式教学，按照“问题驱动—激发兴趣—创设情境—探索新知—实践应用—总结反思”的基本模式展开教学，其中渗透数形结合、由特殊到一般等数学思想方法。

探究式教学倡导学生的主动参与，亲身经历知识的产生、发展、理解与应用的过程。

本节课的设计笔者以学生为主，从学生熟悉的天气变化入手，让学生轻松掌握用图像法求零点存在的条件。

其次，教学过程中，教师鼓励学生多动手画图。

通过画图，不仅锻炼了学生动手、动脑的能力，教师还可以了解学生对知识掌握的情况。

四、教学目标1.知识与技能（1）体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理。

高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教学设计新人教A版必修1

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）教学目标：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定．难点：零点的确定．一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．二、师生互动，新课讲解： 1、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况。

人教B版高中数学必修1-2.4《函数的零点》教学教案1

2.4.1 函数的零点一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。

2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。

知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。

过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。

情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。

2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。

3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。

三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。

一次二次学方法，指对幂中活运用。

数形结合诚美妙，重要性质作沟通。

因果变化多联系，物换星移运不穷。

前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。

（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。

设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。

（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。

高中数学函数的零点教案(2) 新人教B版必修1

函数的零点
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）理解函数零点的意义，会求函数的零点。

（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。

2、过程与方法：
（1）以具体的二次函数为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出函数零点的概念，体会由特殊到一般的思维方法。

（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透数形结合的思想方法。

3、情感、态度与价值观：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。

一、教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。

二、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。

四、教学过程。

高中数学函数的零点教案(1) 新人教B版必修1

高中数学函数的零点教案（1）新人教B版必修1一、教学目标：1、知识与技能：了解函数的零点与方程根的关系。

理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点。

培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。

2、过程与方法：通过描绘函数图像，分析零点的存在性. 体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。

3、情感态度与价值观：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。

二、教学重点、难点：重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。

三、教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。

四、教学流程：结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．体验数学，对二次函数的零点及零点存在性的初步认识．感知数学，以零点存在性为练习重点进行练习．零点的存在性判断及零点的确定．利用计算机绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试五、教学过程：号。

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。

对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。

6、二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图；②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。

导学生总结。

引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析，总结概括形成结论，并进行交流。

有利于突出重点，又有利于培养学生观察、分析、归纳的数学能力，同时也深化了对函数零点的认识。

应用举例例 :求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的图象。

通过以上两例题你能总结出求函数)(xfy=零点的求法吗？引导学生归纳：○1（代数法）求方程0)(=xf的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。

《函数零点的存在性定理》教案1新人教A版

《函数零点的存在性定理》教案1（新人教A版必修1）3.1.2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾提出问题1．函数零点的概念2．函数零点与方程根的关系3．实例探究已知函数y= x2+4x- 5，则其零点有几个？分别为多少？生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数y= x2+4x- 5的零点有2个，分别为-5，1回顾旧知，引入新知示例探究引入课题1．探究函数y = x2 + 4x - 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点-5∈(-6，-4)零点1∈(0，2)且f (-6)·f (-4)＜0f (0)·f (2)＜0师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.①f (x) = 2x - 1，②f (x) = log2(x - 1)生：函数f (x) = 2x - 1的零点为且f (0) f (1)＜0.函数f (x) = log2(x - 1)的零点为2∈(1，3)且f (1) f (3)＜0由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理发现定理零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根师生合作分析，并剖析定理中的关键词①连续不断②f (a)·f (b)＜0师：由于图象连续不断，若f (a)＞0，f (b)＜0，则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点形成定理，分析关键词，了解定理.深化理解定理的理解（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数师：函数y = f (x) = x2 - ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a的取值范围.生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则②f(x)在(0，3)内有1个零点则通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.应用举例例1 求函数f (x) = lnx + 2x - 6的零点的个数.师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.x12345f (x)-4-1.03691.09863.38635.6094x6789f(x)7.79189.945912.079414.1972由表和图可知，f (2)＜0，f (3)＞0，则f (2)· f (3)＜0，这说明函数f (x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.师生合作交流，体会定理的应用练习巩固练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x) = -x3 -3x + 5；（2）f (x) = 2x·ln(x - 2) - 3；（3）f (x) =ex-1 + 4x - 4；（4）f (x) = 3 (x + 2) (x - 3) (x + 4) + x.学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f (1) = 1＞0，f (1,5 ) = -2.875＜0所以f (x) = -x3 -3x + 5在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为 f(x)是上的减函数，所以f(x) = -x3 -3x + 5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x-2) -3在区间(3，4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2) -3在上是增函数，所以f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f (x)=ex-1 + 4x - 4在区间(0，1)上有一个零点又因为f(x) =ex-1 + 4x - 4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f (-4)＜0，f (-3)＞0，f (-2)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0，所以f (x) = 3 (x + 2) (x - 3) (x + 4) + x在(-4，-3)，(-3, -2)，(2，3)上各有一个零点.尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.归纳总结1．数形结合探究函数零点2．应用定理探究零点及存在区间.3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.学生总结师生完善补充学会整理知识，培养自我归纳知识的能力课后练习3.1第二课时习案学生自主完成整合知识，提升能力备选例题例1 已知集合A = {x∈R|x2 - 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.【解析】设全集U = {a|△= (-4a)2 - 4 (2a + 6)≥0}==若方程x2 - 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则因为在全集U中集合的补集为{a|a≤-1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤-1}.例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 - 1 = 0，x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值.【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {-4，0}. ∵A∪B=A，∴BA.1°当B = A，即B = {-4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 -1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 - 4 (a2 - 1) = 8a + 8＜0.解得，a＜-1.3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，4°当B = {-4}时，即需无解.综上所述，若A∪B=A，则a≤-1或a = 1.。

高中数学零点、根的存在性和二分法导学案新人教A版必修1

高中数学零点、根的存在性和二分法导学案新人教A版必修13.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点第一课时一、导学目标1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.二、课前自主预习一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河?显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当___________时,有两个零点;当Δ=0时,有______个零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.（下面几个函数图象供参考）三：立竿见影1.函数y=x2－2x－3的零点是().A.(－1,0),(3,0)B.x=－1C.x=3D.－1和32.若函数f(x)=x2+2x+a有零点,则实数a的取值范围是().A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥13.观察函数y=f(x)的图象,则f(x):在区间[a,b]上(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)______0(填“<”或“>”),在区间[b,c]上零点;f(b)·f(c)在区间[c,d]上__零点;f(c)·f(d)4.已知函数f(x)=2x－x2,问方程f(x)=0在区间[－1,0]内是否有解,为什么?四：合作探究探究一：函数零点的概念1. 指出下列函数的零点：①()43f x x=-②2()32f x x x=-+③4()1f x x=-2．函数2()f x x ax b=++的两个零点是2和－4，求.a b、3.函数2()1f x ax x=--仅有一个零点，求实数a的取值范围.跟踪练习：判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=3xx+;(2) f(x)=1－log3x;(3)f(x)=2x－3;探究二：函数零点个数的判断(1)二次函数2y ax bx c=++中，a·0c<，则函数的零点个数是 ( )A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2)判断函数f(x)=ln x+x2－3的零点的个数.跟踪练习：(1)2()f x x mx n=++,若()0()0f a f b>>，，则()f x在区间()a b，内( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至少有一个零点(2)若函数()f x在定义域{x x∈R且}0x≠上是偶函数，且在(0)+∞，上为减函数，(2)0f=，则函数()f x的零点有 ( )A.一个B.两个C.至少两个D.无法判定探究三：函数零点所在的大致区间2()lnf x xx=-的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.1(1)e，和(3，4) D. ()e+∞，跟踪练习：(1)方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根().A.(－2,－1)B.(0,1)C.(1,2)D.(－1,0)※(2)(2020年·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间().A.(a,b)和(b,c)内B.(－∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(－∞,a)和(c,+∞)内探究四：函数零点的性质求函数22()(2)(28)f x x x x x=+---的零点，并指出使0y<成立的x的取值范围.探究五：概念易误点A.1B.2C.3D.4 4．9()lg f x x x=-的零点所在的大致区间是 A ．(6，7) B ．(7，8) C ．(8，9) D ．(9，10) 5．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定 6．若函数()f x ax b =+的零点是2，则函数g (x )=2bx －ax 的零点是 A ．0，2 B ．0，12 C ．0,－ 12 D ．2，－127．函数f (x )=223,0,2ln ,0x x x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00,x y )，则0x 所在区间为A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)9．f (x )=22xx -，问方程 f (x )=0在[－1，0]内是否有解，为什么？10．讨论函数f (x )=ln x +2x －6的零点个数．11．定义在R 上的偶函数y =f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (1og 14x )≥0的x 的取值集合．12. 讨论 ( 1)( 2)()y ax x a R =--∈的零点。

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