高考数学总复习教案：基本不等式

第六章不等式第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)89～90页

)

考情分析考点新知

掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不

等式，能利用基本不等式求最大(小)值．

了解基本不等式的证明过程.

②会用基本不等式解决简单的最大(小

)值问

题.

1. (必修5P91习题7改编)若x>0，则x＋

2

x的最小值为________．

答案：2 2

解析：∵ x>0，∴x＋

2

x≥2x·

2

x＝22，当且仅当x＝2时等号成立．

2. (必修5P94复习题8改编)设x<0，则y＝3－3x－

4

x的最小值为________．

答案：3＋4 3

解析：∵x<0，∴y＝3－3x－

4

x＝3＋(－3x)＋⎝

⎛

⎭

⎫

－

4

x≥3＋2（－3x）·⎝

⎛

⎭

⎫

－

4

x＝3＋43，当且仅当x＝－

23

3时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.

3. (必修5P88例2改编)若x>－3，则x＋

2

x＋3的最小值为________．

答案：22－3

解析：∵ x＋3>0，∴x＋

2

x＋3＝(x＋3)＋

2

x＋3－3≥2（x＋3）×

2

x＋3－3＝22－3.

4. (必修5P91练习题2改编)设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是________．

答案：18 3

解析：3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183，当且仅当x＝y＝

5

2时等号成立．

5. (必修5P88例2改编)已知函数f(x)＝x＋

a

x－2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．

答案：6

解析：∵函数f(x)＝x＋

a

x－2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a，∴a＝4.∵ x－2>0，

∴f(x)＝(x－2)＋

4

x－2＋2≥2（x－2）·

4

x－2＋2＝6，当且仅当x＝4时等号成立，故此函数的最小值是6.

1. 算术平均数与几何平均数

对于正数a ，b ，我们把a ＋b

2称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． 2. 基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；

(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；

(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数． 3. 拓展：若a ＞0，b ＞0，2

1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤

a2＋b2

2，当且仅当a ＝b 时等号成立．

[备课札记]

题型1 利用基本不等式证明不等式

例1 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4

x ＋y

.

证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证． 变式训练

(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4

a －c ；

(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥k

a －c

恒成立的k 的最大值．

证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4

x ＋y ，由作差法可证该

不等式成立，故原不等式成立．

(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥k

a －c ，k 的最大值为4.

题型2 利用基本不等式求最值 例2 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋1

4x －5的最大值；

(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9

y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：(1) x<5

4，∴ 4x －5<0.

∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1

（5－4x ）]＋3

≤－2

（5－4x ）1（5－4x ）

＋3＝1，ymax ＝1.

(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9

y ＝1，

∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·y

x ＝16，即x ＋y 的最小值为16.

备选变式（教师专享） 已知函数f(x)＝x2＋2x ＋a

x

，x ∈[1，＋∞)． (1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；

(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x2＋2x ＋4x ＝x ＋4

x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.

(2) x ∈[1，＋∞)，x2＋2x ＋a x

>0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x2＋2x ＋a>0恒成立．

等价于a>－x2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立， 令g(x)＝－x2－2x ，x ∈[1，＋∞)，

∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3. ∴a 的取值范围是()－3，＋∞.

题型3 利用基本不等式解应用题

例3 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2) 若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？

解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ， 则⎩⎪⎨⎪

⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，

面积S ＝xy. 由于2x ＋3y≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．

则⎩

⎪⎨

⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，

y ＝3， 所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．

(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．

⎩

⎪⎨

⎪⎧xy ＝242x ＝3y ⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝6，

y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m. 备选变式（教师专享）

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162

x m.

总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭

⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x

＋12 960＝1