高考数学总复习教案：基本不等式

第六章不等式第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)89～90页)考情分析考点新知掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1. (必修5P91习题7改编)若x>0，则x＋2x的最小值为________．答案：2 2解析：∵ x>0，∴x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时等号成立．2. (必修5P94复习题8改编)设x<0，则y＝3－3x－4x的最小值为________．答案：3＋4 3解析：∵x<0，∴y＝3－3x－4x＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x≥3＋2（－3x）·⎝⎛⎭⎫－4x＝3＋43，当且仅当x＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. (必修5P88例2改编)若x>－3，则x＋2x＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x＋3>0，∴x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3≥2（x＋3）×2x＋3－3＝22－3.4. (必修5P91练习题2改编)设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是________．答案：18 3解析：3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183，当且仅当x＝y＝52时等号成立．5. (必修5P88例2改编)已知函数f(x)＝x＋ax－2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵函数f(x)＝x＋ax－2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a，∴a＝4.∵ x－2>0，∴f(x)＝(x－2)＋4x－2＋2≥2（x－2）·4x－2＋2＝6，当且仅当x＝4时等号成立，故此函数的最小值是6.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． 2. 基本不等式ab ≤a ＋b2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数． 3. 拓展：若a ＞0，b ＞0，21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a2＋b22，当且仅当a ＝b 时等号成立．[备课札记]题型1 利用基本不等式证明不等式例1 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证． 变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c ；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.题型2 利用基本不等式求最值 例2 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，ymax ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·yx ＝16，即x ＋y 的最小值为16.备选变式（教师专享） 已知函数f(x)＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)． (1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x2＋2x ＋a x>0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立， 令g(x)＝－x2－2x ，x ∈[1，＋∞)，∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3. ∴a 的取值范围是()－3，＋∞.题型3 利用基本不等式解应用题例3 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2) 若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ， 则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy. 由于2x ＋3y≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m. 备选变式（教师专享）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x (x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a2x ≥29x·a2x ＝6a ，所以6a≥a ＋1，即a≥15.2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________．答案： 2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz 2x －x ，∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz ≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________． 答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y(x ＋y)＝5＋y x ＋4xy ≥9.4. 若不等式4x2＋9y2≥2kxy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________． 答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3. 5. 设正项等差数列{an}的前2 011项和等于2 011，则1a2＋1a2 010的最小值为________． 答案：2解析：由题意得S2 011＝2 011（a1＋a2 011）2＝2 011，∴ a1＋a2 011＝2.又a2＋a2 010＝a1＋a2 011＝2，∴ 1a2＋1a2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a2＋1a2 010(a2＋a2 010)＝12(a2 010a2＋a2a2 010)＋1≥2.1. a2＋b2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b2≥ab 成立的条件是a≥0，b ≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑“等技巧，使其满足基本不等式中的”一正“(即条件中字母为正数)，”二定“(不等式的另一边必须为定值)，”三相等“(等号取得的条件)．3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小“.4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5. 函数y ＝ax ＋bx (a>0，b>0)的单调性要掌握，特别是运用基本不等式不能满足“三相等“时．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。