第十章机械振动和电磁振荡振动

x
F v
A
F
2
二、描述简谐振动的特征量
x(t)=Acos( t+ )
1、振幅 A (离开原点的最大距离) 2、振动圆频率 2 1 2 周期T T 3、相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位 — 初相
3
解析法
x A o -A
x
2
x2
x1
2
t
0 A2
1
A1 x
超前、落后以小于 的 相位角来判断！！！
2 1
0 A1
x
7
例、振子的振动周期为12s，振子由平衡位置到正向最 大位置处所需的最短时间是多少？振子经历上述过程的 一半路程所需最短时间是多少？ 解： 旋转矢量转过的角度为 2 最短时间为： t2 x T 2 2 3s t 2 4 T 振子经历上述过程的一半路程时 t 1 旋转矢量转过的角度为 x 6 于是： T 6 6 1s t 3 2 12 T

8
例.一谐振动的振动曲线如图所示.求、以及振动方程 x 解：t = 0时x0 A v 0 0

t =1时
x1 0

3
2
π
A
3
x
A 2
A 0
1.0 t
Φ1 =ωt1 + j =ω × 1 π =π 3 2 π 5 x = A cos (6 πt 3 )
π Φ1 = 2
v1 0
第十章 机械振动和电磁振荡 振动：
物理量 (如位移、电流 等)在某一数值附近 反复变化。 机械振动 振 动 电磁振荡
{
受迫振动 自由振动
{
阻尼自由振动 无阻尼自由振动
{
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动)
1
§10-1 谐振动
一、简谐振动的特征及其表达式 F ——离开平衡位置 的位移是时间的正 弹 弦或余弦函数 v 簧 x(t)=Acos( t+ ) 振 F=0 x=0 子 谐振动的表达式 的 运动学方程 振 -A 动 F=0 x=0 A
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为
x0
2
v0
0.2
2 (m) (SI)
v0

15
六、简谐振动的能量
x A cos(t )
(1) 动能
v A sin( t )
(2) 势能
1 2 E p kx 2
1 2 2 kA sin ( t ) 2 1 2 Ek max kA Ek min 0 2
t
x A cost
17
一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E1，如果谐振动 的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的 4倍，则其总能量将变为
（1）E1/4；（2）E1/2； （ 3） 2E 1 ； （ 4） 4E 1 。
18
M l mg sin 很小) l mg 2 2 d M J ml 2
-A1
两质点同时到达各自 同方向的极端位置， 同时越过原点向相同 方向运动
-A1
0
A1 A2
两质点同时到达各自 相反方向的极端位置， 同时越过原点但向相 反方向运动
A2
0
A1
6
(2)超前和落后 若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2 比x1超前 (或x1比x2落后)。 A
1 1 2 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2
E p max
1 2 (3) 机械能 E Ek E p kA 系统机械能守恒 2 由起始能量求振幅 E 1 kA2 A 2 E 2 E0 k k 2
1 2 2 kA cos (t ) 2 1 2 kA E p min 0 2

b 2a
可见，该系统作简谐振动
20
作业： 10.2， 10.4， 10.3， 10.9
21
2
x A cos(t )
13
d 2x k x0 2 dt m
x A cos(t )
固有(圆)频率
k k:弹簧劲度系数 弹簧振子: m m:振子质量
固有频率ω决定于系统内在性质 振幅A和初相φ决定于 初始条件
x0 A cos x A cos(t ) t 0 A sin(t ) 0 A sin
x = A cos (t﹢ )
2
A 0.12
t = 0 时 x0 A , v0 0 =
x = 0.12 cos (t- /3 )
2 T
/3
x
A cos (t﹢ ) A A
0.104 (m) 0.19 ( m · s -1 ) 1.03 ( m · s -2 )
A
π
2
x
ω=
5 6
π
9
本题ω 的另一种求法：
5 3 2 1 6
A
π
t =1
2
π
t=0
0.04
1 0.04 2
3
x
A
简谐振动的
曲线
完成下述简谐振动方程 0.04


2
10
四、简谐振动的速度、加速度 位移 x A cos( t ) dx 速度 A sin( t ) A cos( t ) dt 2 速度也是简谐振动；频率和位移相同，比位移超前/2 d 2x 2 2 a A cos( t ) 加速度 A cos(t ) 2 dt 加速度也是简谐振动；频率和位移相同，比位移超前 位移和加速度反相 a 2 A x、 、 a A A x T - 2A > 0
曲线法
x(t)=Acos( t+ )
特征量 A、ω、
= /2
T
t
旋转矢量法
A的大小：振幅 A A 旋转方向：逆时针方向
A
t=t
t+ A旋转角速度：振动的圆频率 o t=0时刻 A 与x轴的夹角：初相 x = A cos( t + ) t时刻 A与x轴的夹角：相位 t+ A在x轴上的投影：振动方程
16
1 2 E kA 2 E
Ep
谐振子的动能、势能及总能量
1 2 2 E k kA sin t 2 1 1 kA2 kA2 cos(2 t ) 4 4 1 E p kA2 cos 2 t
2 1 1 2 kA kA2 cos 2 t 4 4
Ek
o x
t
o
a<0 减速
-A - A
o
t <0 <0 加速 <0 >0 减速 >0 >0 加速
11
某物体沿
周期 T = 2 s，t = 0 时 物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a
X 轴作简谐运动， 振幅 A = 0.12 m， 例四
2 2 A x0 02
0 arctan x 0
14
m = 5×10 -3 kg 弹簧振子 k = 2×10 -4 N· m -1 s -1 t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·
完成下述简谐振动方程
k m 0.2 (rad · s –1)
12
五、简谐振动的动力学方程 1、简谐振动的动力学方程（动力学部分） 简谐振动： 质点在与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力 作用下的运动 线性恢复力 (F= -kx) 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
d 2x F ma m 2 kx dt
2
d x d x k 2 x0 x 0 2 2 dt m dt
2 dq bq 证明： E a c 常量 2 dt dE dq d 2q bq dq 对t求导： 2 0 2a 2 dt 2 dt dt dt 2
d 2q b 整理，得： dt 2 2a q 0
A t=0
x

4
三、相位差
x1 A1 cos(1t 1 ) 两振动方程为: x2 A2 cos(2t 2 )
相位差为: =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 初相差
对两同频率的谐振动 = 2- 1
5
(1)同相和反相 = 2- 1 = 2k ( k =0,1,2,…) = (2k+1) ( k =0,1,2,…) 两振动步调相同,称同相 两振动步调相反 , 称反相 x x x 1 A1 A1 同相 反相 x1 A2 A2 x2 T o T o t t - A2 - A2 x2
七、几种常见的谐振动 1.单摆
θ 转 动 正方 + 向
l
m
mg
dt 2 d 2 l mg ml 2 dt 2 d g 2 0
m cost )
dt
l
g l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 l T 2 g
19
例. 求证：若一个系统的总能量不随时间改变，且可 以写成如下形式 dq 2 bq 2 则：该系统一定做 a c 简谐振动 2 dt