简单的线性规划(教案)
第七章第四节 简单的线性规划 教案
第七章第四节 简单的线性规划1．本节知识结构：2．学习目的要求（1）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域； （2）了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； （3）了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力.3．教学任务分析（1）本小节介绍了用二元一次不等式（组）表示平面区域和简单的线性规划问题. 重点是二元一次不等式（组）表示平面区域，相对困难的是把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决这一困难的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.（2）教科书首先借助于“献爱心活动”的具体例子，抽象出线性规划的模型：“在条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-.1,3753,01x y x y x下，求y x z 35+=的最大值的问题”.在此基础上，提出了研究二元一次不等式的含义的必要性. 这样安排的目的，是使学生体会从具体问题到数学问题的过程，并由此明确所研究问题的基本模型.（3）在探求二元一次不等式所表示的平面区域时，图形计算器或计算机是一个十分有用的工具. 教科书先安排研究“献爱心活动”中的不等式01<+-y x 的含义，在得到它的几何意义是表示直线01=+-y x 的一侧的平面区域后，再给出了不等式01>+-y x 所表示的平面区域，并由此不加证明地给出了一般的二元一次不等式0<++C By Ax （或0>++C By Ax ）表示平面区域的结论，说明了怎样确定不等式0<++C By Ax （或0>++C By Ax ）表示直线Ax +By +C =0的哪一侧区域. 最后举例说明怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域.在“二元一次不等式表示平面区域”中，教科书用点集的观点来分析直线，并提出点的集合}{01),(＞-+y x y x表示什么图形的问题. 用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题，常能使问题更加清楚、准确，在教学中应注意运用这种观点和语言. 但是，集合语言有时会使叙述比较繁复，所以，使用时要注意适当性.（4）教学中，要使学生注意，Ax +By +C ＞0表示的平面区域是直线Ax +By +C =0的某一侧且不包括边界直线Ax +By +C =0；而Ax +By +C ≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax +By +C =0.实际上，{),(y x | Ax +By +C ≥}0={),(y x | Ax +By +C ＞}0∪{),(y x | Ax +By +C=}0.由于对在直线Ax +By +C =0的同一侧的所有点（x ，y ），实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某侧任取一点（x 0，y 0），把它的坐标代入Ax +By +C ，由其值的符号即可判断Ax +By +C ＞0表示直线的哪一侧. （5）教科书利用解决“献爱心活动”这个具体的线性规划问题，说明了线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等有关的基本概念，介绍了线性规划问题的图解方法，最后举例说明了线性规划在实际中的简单应用. 在实际问题的求解中，不必让学生去具体地扣这些概念的名称，只要求能找出线性约束条件，并画出线性约束条件表示的平面区域，然后求出线性目标函数的最优解即可.（6）简单的线性规划问题中的可行域，大多数情况下就是一个二元一次不等式（组）表示的平面区域，因而解决简单的线性规划问题，是以二元一次不等式（组）表示平面区域的知识为基础的. 在具体画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，可充分利用图形计算器或计算机.（7）教科书在求“献爱心活动”这个线性规划问题中的线性目标函数y x z 35+=的最大值时，借助了一组直线5x +3y =z ，指出直线往右平移时z 随之增大，这一点未作严格说明，只是直观地承认它. 在教学中可以略作说明：当直线往右平移时，直线在x 轴上的截距随之增大. 而直线5x +3y =z 在x 轴上的截距为5z ，当5z 增大时，z 也随之增大. 当然也可以用直线在y 轴上的截距3z来说明. （8）教科书中安排的例8所反映的线性规划问题是：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务，这是常见的一类线性规划问题. 例9是另一类常见的线性规划问题：给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源完成该项任务.例8所反映的线性规划问题的可行域是下图中的阴影部分：但例9所反映的线性规划问题的可行域，却是下图阴影部分中两个坐标都是整数的点（称为整点）：因此，例9要求的最优解是整点)9,3(B 、)8,4(C ，而不是点)539,518(A ，这也是实际中常常用到的. 此外，对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取不足近似值或过剩近似值. （9）本小节安排的“数学实验”，不仅仅是让学生了解二元一次不等式0>++C By Ax （或0<++C By Ax ）所表示的平面区域的另一种判定方法，更重要的是让学生通过解决这个问题，培养自己用运动的观点解决含参数的问题的基本方法. 在指导学生研究这一问题时，可启发学生利用图形计算器或计算机的测算与追踪功能去解决问题.4．信息技术在教学设计中的应用 （1）二元一次不等式表示的平面区域①用图形计算器或计算机画出直线l ：01=+-y x .在直线l 上任取一点P ，测量出其坐标（x , y ），计算1+-y x 的值，我们发现，点P 的坐标是二元一次方程01=+-y x 的解（如下图（1））.（1） （2） （3）②在直线l 的右下方任取一点P ，测量出其坐标（x , y ），并计算1+-y x 的值，我们发现，点P 的坐标满足二元一次不等式01>+-y x （如上图（2））.③在直线l 的左上方时任取一点P ，测量其坐标（x , y ），并计算1+-y x 的值，我们发现，点P 的坐标满足二元一次不等式01<+-y x （如上图（3））.（2）探求最优解下面我们借助于信息技术工具，探求二元一次函数y x z 35+=在下述条件下的最优解：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-.1,3753,01x y x y x①用几何画板先作出上述不等式表示的平面区域，然后作出含参数z 的直线l ：z y x =+35（如下图）.②改变z 的值，观察直线l 的变化，我们发现： 当z 增大时，直线l 向右平移；当11<z 或35>z 时，直线l 与公共区域无公共点；当3511≤≤z 时，直线l 与公共区域有公共点，如35=z 时，直线l 在直线l 2的位置，此时l 经过点A （4，5）；又如11=z 时，直线l 在直线l 1的位置，此时l 经过点B （1，2）.③根据上述分析，我们可得当l 经过点A （4，5）时，二元一次函数y x z 35+=取最大值35；当l 经过点B （1，2）时，二元一次函数y x z 35+=取最小值11.。
简单的线性规划教学设计
简单的线性规划教学设计简介：线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，通过构建数学模型，以线性函数为目标函数及约束条件，寻找最优解决方案。
本教学设计旨在向学生介绍线性规划的基本概念、模型构建和求解方法，培养学生的数学思维和问题解决能力。
一、教学目标：1. 理解线性规划的基本概念和原理；2. 掌握线性规划模型的构建方法；3. 学会使用单纯形法求解线性规划问题。
二、教学内容：1. 线性规划的基本概念：1.1 优化问题和目标函数；1.2 约束条件；1.3 解的定义和存在性。
2. 线性规划模型的构建方法：2.1 变量设定和定义；2.2 目标函数的确定；2.3 约束条件的建立。
3. 单纯形法的基本原理和步骤：3.1 基变量和非基变量的定义；3.2 初始基可行解的求解；3.3 单纯形表的构建；3.4 单纯形表的优化和迭代。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：通过引入一个生活实例，例如购买不同食材制作蛋糕的问题，让学生意识到优化问题的存在性和实际应用。
2. 概念讲解（15分钟）：介绍线性规划的基本概念，包括优化问题和目标函数、约束条件以及解的定义和存在性。
通过具体例子，让学生理解各个概念的含义和关系。
3. 模型构建（20分钟）：以一个简单的生产问题为例，引导学生设定变量、定义目标函数和建立约束条件。
让学生通过思考和实践，掌握线性规划模型的构建方法。
4. 单纯形法介绍（15分钟）：简要介绍单纯形法的基本原理和步骤，包括基变量和非基变量的定义、初始基可行解的求解、单纯形表的构建以及优化和迭代的过程。
5. 求解实例演示（20分钟）：随堂演示一个具体的线性规划问题，运用单纯形法进行求解。
过程中，详细解释每一步的计算和判断，让学生了解单纯形法的具体应用过程。
6. 练习与讨论（20分钟）：给学生几个简单的线性规划问题，让他们在小组内进行讨论和尝试求解。
鼓励学生主动思考和提问，解决问题中的难点和疑惑。
7. 总结与拓展（5分钟）：对本节课的内容进行总结，并展示线性规划在实际问题中的更广泛应用。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
简单的线性规划教案
难
点
重点
用图解法解决简单的线性规划问题
难点
用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解
教学
方法
讲授法，设问法，探究法
教学
反思
教学过程
师生活动
（一）引入：组织学生做选盒子的游戏活动.
在下图的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子分值最高?
第一次:分值= (即:列数+行数)
第二次:分值= (即:行数-列数×2)
（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；
（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
出图3，让学生在图中找函数 的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的 研究重点.
数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.
（二）独思共议，引导探究方法
引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值.
问题1：点（1，1）所对应的 值为多少？还有哪些点所对应的 值与之相同？
课题
简单的线性规划
课型
讲授新课
课时
1课时
年级
高一(4)班
教
学
目
标
知识与技能
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
7.4 简单的线性规划教案
7.4 简单的线性规划教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B 2．D 3．B 4． 5．（－1，－1）6．线性规划教学设计方案（二）教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】例1 解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．例2 解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．∴这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，扩展资料线性规划的解课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有（1）无可行解，从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况．（2）有无穷多个最优解例2我们用图解法求解．由于目标函数等高线和可行域的边界线平行，沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线，最终停留在直线上，所以线段AB上的所有点都是最优解．线性规划如果有最优解，只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况，不会出现其他情况，这就是下面的命题．命题1 如果线性规划有两个不同的最优解，那么对任意，是最优解．这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到，这里就不再证明了．事实上证明是平凡的，只要注意到在线段上，利用线性性质，读者就可以自己证明．（3）有可行解，无最优解．例3我们用图解法求解．从图中可以看出随着目标函数等高线的移动，目标函数值会越来越大，没有上界．有的书上称之为无界解．无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域，就一定是有界的，于是有命题2 如果统性规划可行域是闭区域，那么一定有最优解．只要注意到线性函数是连续函数，上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理．从上面的例子中我们可以看出，如果有最优解，那么就有可行域的顶点是最优解．所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解．例如，中的顶点的目标函数值是；的目标函数值是3；的目标函数值是于是通过比较可以知道是最优解．线性规划的单纯形算法，就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法，由于可行域的顶点只有有限多个，所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解．单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题．许多实际问题中变量和约束的个数都很多，有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万，这样的问题当然是无法用手工计算的，需要用计算机和专门的软件求解．对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划，现在常用的数学软件如Mathematica，Matlab都可以解．下面介绍如何用Matematica解线性规划．用Mathematica解线性规划用的是ConstrainedMax或者函数，这两个函数的格式如下：［目标函数，］［目标函数，］由于软件是用C语言编写的，所以它的函数带有C语言的风格．｛｝表示表格，和函数中都有两个表格，第一个表格是约束条件的表，第二个表格是变量表，表格中的项用逗号分隔．要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量，这两个函数的变量也要求有非负约束，但是非负约束可以不在约束条件表格中列出．例如求解线性规划只要输入In［2］：＝计算机就会给出计算结果最优值2，最优解：斜体的和自动加上的表示输入，表示输出，中的2表示行号．用求例l中的规划问题，在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解，课本中也出现了这样的例子和习题．但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点．因为求整数解的问题属于整数规划的范畴，而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支．教材的作者显然是知道这一点的，所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题．作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点，另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间．事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解，通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解，学生完全可以自己想办法解决．在科普杂志《科学的美国人》（Scientific American）1981年第6期上有一篇介绍线性规划的文章，文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）：某啤酒厂生产两种啤酒，其中淡色啤酒A桶，啤酒B桶．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤、160两和11 90斤．假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽35斤．售出后每桶淡色啤酒可获利13元，每桶啤酒可获利23元．问A，B等于多少时工厂的利润最大．这个例子的线性规划模型是和课本中的例子相比较这个例子有两个优点，一是它的数据更接近实际数据，有真实感，同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同，这在实际问题中经常出现，例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位．笔者建议在教学中可以使用类似的例子．选自《中学数学月刊》2002第八期选节探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？习题精选一、填空题1．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点的坐标为＿＿。
简单的线性规划教学设计
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1•了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念.了解线性规划模型的特征：一组决策变量5・刃表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）•体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.2•掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤.会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型•能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）•能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答.3•培养学生数形结合的能力.对模型中z的最小值的求解，通过对式子疋二h +弘的变形，变为2z z2V = —— x-l-————3利用数形结合思想，把？看作斜率为3的平行直线系在y轴上的截距.平移直线■' 1 '1，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4, 2）,得出最优解x = 4，y = 2.三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求.其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之.将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案.借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
简单的线性规划教学设计
简单的线性规划教学设计教学目标：1.了解线性规划的概念和基本思想；2.能够通过建立数学模型，解决简单的线性规划问题；3.能够运用线性规划方法进行决策和优化。
教学重点：1.线性规划的概念和基本思想；2.线性规划的数学模型建立；3.线性规划的解法和应用。
教学准备：1.教材《线性规划》；2. PowerPoint 简介线性规划的概念和基本思想；3.实例练习题和答案；4.计算器。
教学过程：Step 1：导入导入线性规划的概念和基本思想，解释线性规划在实际生活中的应用，例如生产计划、投资决策、资源分配等等。
Step 2：讲解线性规划的基本概念通过 PowerPoint 展示线性规划的定义和基本特点，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
帮助学生了解线性规划的基本结构。
Step 3：建立线性规划模型通过实例进行演示，分步骤引导学生建立线性规划数学模型。
首先将实际问题转化为决策变量、目标函数和约束条件，然后对这些元素进行量化，建立数学表达式。
Step 4：解决线性规划问题介绍线性规划的解法，包括图解法和单纯形法。
通过实例进行演示，分析不同解法的优缺点，并引导学生理解解的意义和应用。
Step 5：练习和讨论提供一些简单的线性规划练习题，让学生进行练习并讨论解法。
鼓励学生之间的互动和思维碰撞，帮助他们更好地理解和应用线性规划方法。
Step 6：拓展应用介绍线性规划在实际应用中的一些拓展，例如混合整数规划、多目标规划等。
帮助学生了解不同规划方法的适用范围和应用场景。
Step 7：总结与评价对本节课的内容进行总结，复习要点，并进行课堂评价，检查学生对线性规划的理解程度和应用能力。
Step 8：课后延伸布置线性规划的作业，要求学生通过建立数学模型，解决一个实际问题，并鼓励他们在日常生活中寻找和应用线性规划的机会和场景。
教学评价和建议：1.引导学生将线性规划的概念和基本思想与实际问题相结合，加深他们对线性规划的认识和兴趣；2.注重实例分析和练习，帮助学生通过实际操作加深对线性规划的理解和应用；3.鼓励学生积极思考和讨论，培养他们的问题解决能力和团队合作精神；4.提供相关资源和案例，让学生在课后深入学习和进一步拓展应用。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题(一)教案单县一中 万继昌一． 教学目标：1． 知识目标：（1）了解线性规划，可行域等概念的意义。
（2）掌握简单的线性规划问题的解法。
2． 能力目标：结合实际应用实例，概括总结出线性规划问题及解决方法，培养学生现实应用技能，分析、探索的能力。
3． 情感目标：体会数学来源于现实生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，提高学生解决实际问题的能力。
二． 教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；三． 教学难点： 如何准确求出线性规划问题的最优解。
四． 教学方法： 启发探究式教学。
五． 教学工具： ppt 课件，实物展台等。
六． 教学过程：（一） 复习引入：（1）二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系 表示什么图形?直线Ax +By +C =0的某一侧所有点组成的平面区域 (2) 作出下列不等式组的所表示的平面区域 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x师生互动：【教师】先让学生做，画，然后点拨。
【学生】画图，总结步骤：直线定界，特殊点定域【教师】问题1：x 有无最大（小）值？问题2：y 有无最大（小）值？问题3：2x+y 有无最大（小）值？设计意图：复习回顾上节内容，为本节课学习奠定基础，同时提出问题，激发学生兴趣，引入新课。
（二）新课讲授1 引例某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B 配件，按每天工作8 h计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？师生互动：【教师】多媒体投影引例，并提出问题引导学生思考。
1)如何设变量？请用不等式组表示问题中的限制条件。
2)画出该不等式组表示的平面区域。
【学生】按老师的问题解答：解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组画出可行域【教师】引导学生作出不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)即为所有可能的日生产安排。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案郭红星●教学目标（一）教学知识点1.线性规划问题，线性规划的意义.2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.（二）能力训练要求1.了解简单的线性规划问题.2.了解线性规划的意义.3.会用图解法解决简单的线性规划问题.（三）德育渗透目标让学生树立数形结合思想.●教学重点用图解法解决简单的线性规划问题.●教学难点准确求得线性规划问题的最优解.●教学方法讲练结合法教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题.●教具准备多媒体课件（或幻灯片）内容：课本P60图7—23记作§7.4.2 A过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化.●教学过程Ⅰ.课题导入上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.Ⅱ.讲授新课首先，请同学们来看这样一个问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大.所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817=14.Ⅳ.课时小结1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.Ⅴ.课后作业（一）课本P 65习题7.4（二）1.预习内容：课本P 61～64.2.预习提纲：怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.●板书设计。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
高三数学《简单的线性规划》教案
城东蜊市阳光实验学校7．4简单的线性规划〔第一课时〕二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y)x+y1=0})问题3:点集{(x,y)x+y10}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y)x+y1>0}与点集{(x,y)x+y1>0}又表示什么图形呢【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是什么图形一、归纳猜想我们可以看到：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y1=0分成三类：即在直线x+y1=0上；在直线x+y1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A〔2,0〕，B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面表达的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y1中，发现所得的值的符号有什么规律？〔看几何画板〕由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点〔x，y〕，x+y1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y1=0上任取一点P(x0,y0),过点P作垂直于y轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x>x0,y=y0,所以,x+y>x0+y0=0,所以,x+y 1>x0+y01=0,即x+y1>0,因为点P(x0,y0)是直线x+y1=0上的任意点,•yP(x0,y0)xl:x+y-1=0 •(x,y)Oxy11l：x+y-1=0所以,对于直线x+y1=0右上方的任意点(x,y),x+y1>0都成立.同理,对直线l:x+y1=0左下方的点(x,y),x+y1<0成立所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是在直线x+y1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1<0}是在直线x+y1=0左下方的平面区域.提出:直线x+y1=0的两侧的点的坐标代入x+y1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号〞吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，•〔1〕二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0那么表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)〔2〕有等那么实,无等那么虚;〔3〕试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x y+5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点验证不等式x y+5>0所表示的平面区域.解:先画直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点〔0，0〕代入x y+5中，因为00+5>0,所以原点在不等式x y+5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如下列图.x-y(看幻灯片) 反思归纳:画二元一次不等式表示的平面区域的方法和步骤: (1)画线定界(注意实、虚线); (2)试点定域. 【随堂练习】〔1〕画出不等式x+y>0表示的平面区域； 〔2〕画出不等式x 3表示的平面区域. 〔让学生完成〕例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案课题简单的线性规划知识与能力1．了解二元一次不等式表示平面区域．2．能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．过程与方法渗透数形结合和化归思想，培养分析问题和解决问题的能力情感态度与价值观培养学生对数学的兴趣以及对数学的应用意识教学重点如何用二元一次不等式(组)表示平面区域教学难点怎样确定不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域关键运用数形结合的数学思想方法，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题．教学过程1．创设问题情境．某工厂生产A型和B型两种桌子，每张桌子要经木工装配和油工油漆两道工序完成，木工装配一张A型桌子要用1小时，装配一张B型桌子要用2小时；油工油漆一张A型桌子要用3小时，油漆一张B型桌子要用1小时，木工每天工作不得超过8小时，油工每天工作不得超过9个小时。
工厂生产一张A型桌子获利8元，生产一张B型桌子获利12元。
假如该工厂能卖出全部桌子，试问每天做每种型号的桌子各多少张，工厂能获得最大的利润？与学生共同分析设每天做A型桌子数量为 x 张每天做B型桌子数量为 y 张利润S=8x+12y解决上述问题，就得了解二元一次不等式所表示的范围问题。
出示课题：二元一次不等式表示平面区域二元一次方程表示的图形是直线，点集{(x，y)|x＋y－1＝0}表示经过点(0，1)和(1，0)的一条直线．那么：问题：点集{(x，y)|x＋y－1＞0}在平面直角坐标系中是什么图形呢？2．尝试、猜想、证明(1)尝试．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成三类：一类是在直线x＋y－1＝0上；二类是在直线x＋y－1＝0的右上方的平面区域内．三类是在直线x＋y－1＝0的左下方的平面区域内．对于任意一个点(x，y)，把它的坐标代入x＋y－1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0．此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(x，y)在直线上、在直线右上方、在直线左下方？至此，可引导学生进行猜想．(2)猜想．猜想：对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x ＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立．(3)证明．如图在直线x＋y－1＝0的右上方任取一点P(x，y)，过点P作平行于X 轴的直线y＝y交L于Q（x0，y0）则有x＞x0，y＝y0．所以，x＋y＞x0＋y0x＋y－1＞x0＋y0－1＝0，即x＋y－1＞0．因为点P(x，y)是直线x＋y－1＝0右上方的任意点，所以，对于直线x ＋y－1＝0右上方的任意点(x，y)，x＋y－1＞0都成立．同理，对于直线x ＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0都成立．所以，在平面直角坐标系中，点集{(x，y)|x＋y－1＞0}表示直线x＋Y－1＝0右上方的平面区域；点集{(x，y)|x＋y－1＜0}表示直线x＋y－1＝0左下方的平面区域．(4)得出结论．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．3．寻找不等式Ax＋By＋C＞0究竟表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧区域的方法仍然由x＋y－1＞0的区域探索方法得出第一种方法“直线定界，特殊点定域”。
7.4简单的线性规划(一)教案
7.4 简单的线性规划（一）一、教学目标：1、知识与技能：a.理解并认识到二元一次不等式在直角坐标系中表示平面区域；b.会正确在平面直角坐标系中画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
2、过程与方法：通过思考、尝试、猜想、证明、归纳这五个步骤，从知道二元一次不等式x+y-1>0表示平面区域后，归纳总结出形如Ax+By+C>0的不等式也表示平面区域。
3、情感、态度与价值观：学会分析与整合数学问题，提高运用所学知识解决实际问题的能力，激发学数学、用数学的兴趣。
二、教学重点：二元一次不等式表示平面区域及其作法。
三、教学难点：二元一次不等式表示平面区域的理解。
四、课型：新授课五、教具：多媒体教学教学过程：一、复习引入：问题1：一元一次方程的解表示数轴上的点，一元一次不等式的解在数轴上表示什么图形呢？一元二次不等式呢？学生思考，教师举例带着学生观察。
对于一元一次不等式的解构成的图形可以举例x+3>0,x+1/2<0等，可以发现为一条射线(包含起点或不含起点)。
对于一元二次不等式的解构成的图形可以举例(x+2)(x-3)<0(>0)等，可以发现其是线段(可以不含端点)或两条射线(可以不含端点)。
教师： 通过前面的学习，我们知道在建立了平面直角坐标系后，一条直线l 可以表示Ax+By+C=0的形式，以方程Ax+By+C=0的解为坐标的点我们可以作出这个方程它对 应的直线l ，也就是说二元一次方程Ax+By+C=0表示一条直线l 。
问题2：如果在二元一次方程Ax+By+C=0中，我们把“=”改为“>”,即得到Ax+By+C>0，它在平面直角坐标系中表示什么图形呢？教师：这就是我们今天所要研究的问题。
二、 新课：教师：要研究一个群体，我们总是从一个特殊的个体入手，今天我们要研究像Ax+By+C>0这类二元一次不等式时，我们不妨先研究其中的一个，比如x+y-1>0这个不等式。
《简单的线性规划(第一课时)》1教案及说明
教学过程：
学法分析
教学内容及教学设计
学生活动
创设情境，提出问题 大家还记得北京奥运会上那二十九个 巨大的焰火脚印吗？ （给出“大脚印”视频幻灯片） 通过学生经历的 这些历史的足迹从永定门出发，沿着 实例，激发学生兴趣， 引导学生将实际生活 老北京的中轴线，经过了前门、天安门、 故宫、鼓楼，一步一步地走向了鸟巢，拉 与数学建立联系． 开了北京奥运会的序幕． （给出北京奥运场馆分布图幻灯片） 在这张图上，我们可以看到，北京的 奥运场馆分布的范围非常广． 如 果我 们以大 脚印 的行进 路线 为 y 轴，以天安门为坐标原点，建立这样一个 平面直角坐标系．那么每个场馆的位置都 可以用坐标平面内的一个点来表示． 从学生已经有的 我们做一条直线经过首都机场和举行 知识出发，寻找与新 垒球比赛的丰台体育中心，那么你能写出 知识之间的联系． 这条直线的一般式方程吗？ 直线将整个平面分成三部分区域：直 线的右下方区域、直线上和直线的左上方 区域． 直线上的点的坐标都能使代数式 3x 4 y 6 等于 0 ，不在直线上的点的坐 对已有的知识加 深理解，提出新的问 题，激发学生探求知 识的兴趣． 标代入代数式 3x 4 y 6 中，肯定会不等 于 0 ，也就是大于 0 ，或小于 0 ． 哪儿些点的坐标会使代数式 3x 4 y 6 的值大于 0 ，哪儿些点的坐标 会使它的值小于 0 呢？ 探究：是不是在某一侧的点的坐标代入代 数式 3x 4 y 6 中，所得数值的符号都相 同？怎么证明你的想法？ （不妨在直线 3x 4 y 6 0 上任取 一点 P x0 , y0 ， 过点 P 作平行于 x 轴的直 线 y y0 ，在此直线上点 P 左侧的任意一 点 x, y ，都有 x x0 ， y y0 ．所以，
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案简单的线性规划教案简单的线性规划教案教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】例1 解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y 满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．例2 解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的'利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？。
简单的线性规划教案
简单的线性规划【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问]1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z的直线。
简单的线性规划教学教案
简单的线性规划教学教案教学目标：1.理解线性规划的概念和应用。
2.学会构建线性规划模型。
3.掌握常用的线性规划求解方法。
教学重点：1.线性规划的基本概念和原理。
2.如何根据实际问题构建线性规划模型。
3.线性规划的常用求解方法。
教学难点：1.如何确定线性规划模型的约束条件。
2.如何进行线性规划问题的求解。
教学准备：1.教师准备PPT、教学案例和练习题。
2.学生准备纸笔和计算器。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线性规划的概念，简单介绍线性规划的应用背景和目标。
2.提问：你知道线性规划吗？它有什么应用领域？二、概念讲解（20分钟）1.讲解线性规划的基本定义和特点。
解释什么是线性规划问题，以及如何区分线性规划和非线性规划。
2.介绍线性规划的基本假设和约束条件。
三、模型构建（30分钟）1.通过实际案例，讲解线性规划的模型构建过程。
2.以一个简单的生产问题为例，引导学生如何根据给定的条件构建线性规划模型。
3.引导学生讨论和思考，如何确定目标函数和约束条件。
四、线性规划问题的求解方法（30分钟）1.介绍线性规划问题的常用求解方法，包括图形法、单纯形法等。
2.以图形法为例，演示如何利用图形法求解线性规划问题。
3.引导学生通过练习题熟练掌握线性规划问题的求解方法。
五、案例分析（20分钟）1.给出一个较为复杂的线性规划问题，引导学生分组进行讨论和求解。
2.学生展示解题过程和结果，并进行讨论和总结。
六、总结与拓展（10分钟）1.整理本节课的主要内容，进行总结。
2.引导学生扩展拓展线性规划的应用领域。
教学延伸：1.鼓励学生通过实际案例进行线性规划模型的构建和求解。
2.将线性规划与其他数学知识结合，如代数、数学建模等。
教学反思：1.这节课应该增加更多的实例分析，帮助学生更好地理解线性规划的构建和求解过程。
2.可以设计更多的练习题，帮助学生巩固所学知识。
数学教案-简单的线性规划(一)
数学教案－简单的线性规划（一）课程名称：简单的线性规划（一）目标年级：高中一年级课时数：2课时教学目标：1. 理解线性规划的基本概念和解题思路；2. 能够通过图像法解决简单的线性规划问题；3. 掌握线性规划的基本求解方法。
教学重点：1. 理解线性规划的基本概念；2. 掌握通过图像法解决线性规划问题的步骤。
教学难点：1. 能够利用线性规划模型解决实际问题；2. 设置合适的决策变量和约束条件。
教学准备：1. 教师准备课件，包括线性规划的基本概念和解题步骤；2. 学生准备纸和铅笔。
教学过程：Step 1: 引入新知识（15分钟）a. 教师通过课件介绍线性规划的基本概念，如决策变量、目标函数、约束条件等，并给出数学表达式的解释和示例。
b. 教师引导学生思考线性规划在实际生活中的应用，例如经济产量的最大化、资源的合理利用等。
Step 2: 解决简单的线性规划问题（45分钟）a. 教师通过课件演示如何通过图像法解决线性规划问题，包括绘制可行域、寻找目标函数最大值或最小值的方法。
b. 学生根据教师的示例，自己动手解决简单的线性规划问题。
Step 3: 总结与讨论（10分钟）a. 教师通过课堂小结回顾本节课所学的内容，强调线性规划的基本思想和解题方法。
b. 学生与教师一起讨论线性规划的优缺点，以及在实际生活中的应用领域。
Step 4: 作业布置（5分钟）布置课后作业，要求学生选择一项实际问题，设计一个线性规划模型，并通过图像法解答。
教学反思：本节课通过简单的线性规划问题引入线性规划的基本概念和解题方法，通过图像法的解决过程，让学生理解线性规划的思路和步骤。
通过课堂讨论和作业设计，培养学生解决实际问题的能力。
整个教学过程设计合理，让学生通过实际操作来理解和掌握线性规划的基本思想和方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.3.2简单的线性规划(教案)
---一节校际公开课的设计，实施，反思
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，培养学生数形结合水平，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际问题中抽象出简单的线性规划问题的过程，学会用数学语言去表达实际问题，通过经历图解法解决问题的过程掌握图解法；3．情态与价值：通过对现实中优化问题的解决，让学生体会数学知识在解决资源分配，生产安排，人力布局等方面的强大作用．培养学生的理性精神。
【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学流程】
【教学过程】
一.复习引入：
1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）代点确定，通常代如下几点(0,0),(1,0),(0,1)
２.二元一次不等式组表示的几何意义是什么？
二.问题情景：
例 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐４t 硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 三 建立模型
解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，设利润为Ｚ,于是满足以下条件：
41018156600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪
⎪≥⎩
(1) Z=x+0.5y (2)
四 分析Z 随x 和y 的变化是如何变化：把(２)式等价变形为y=-2x+2Z,联系前面学过的一次函数：y=kx+b 可知，b=2Z,又因为一次函数的图象是直线如下图
从图中分析可知：当直线与y 轴交点越向上时，b 的值越大，越向下是时，b 的值越小．取z=0,ｚ=1,ｚ=2等等可得到一系列平行直线
得到的结论是：y=-2ｘ+ｚ表示一簇直线，z 的值随着直线y=-2ｘ平行移动时与y 轴交点不同而变化，所以我们能够由(1)确定的区域内在平行移动直线y=-2ｘ就可找到z 的最大值点和最小值点
五 解决问题 １.在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）
通过平移参照直线可知使目标函数最大值点在M(2,2)所以Ｚｍａｘ=3万元 2 问题变式 在(１)的约束条件下，求目标函数Z=5x+y,Z=x+2y,Z=4x+y 的最大值
3.随堂练习
y=-2x
y=-2x+1
y=-2x+4
Z=x+2y
y=－2ｘ+ｚ
Z=5x+y
Z=4x+y
1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+002y x y x
2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x
六 形成一般规律
解决线性规划问题的一般方法： ⑴ 建立约束条件和目标函数 ⑵ 画出可行域与参照直线 ⑶ 平行移动参考直线寻找最值点 ⑷ 求交点和最值
结论１线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
结论２线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
现摘录如下
(1)对于一次函数y=kx+b 中当交点在y 轴上越高时b 值越大，但是在有些线性规划问题中，并不一定是交点越高，z 的值越大，有时能够相反，这点未给学生交待清楚，造成学生误认为只要交点越高，z 就越大的理解
(2)在作图不是很严格情况下出现不确定最值点在何处时，最好是把各个交点代入检验以确保答案准确，要教给学会防止出错的方法，不能仅依赖作图来找答案 (3)开始阶段要着重向学生强调作图规范和准确以给学生做好示范，强调图解法就是靠准确作图找到最优点 八 教学反思
(１) 在教学设计中，我考虑到湖北省必修教材教学顺是１４５２３的顺序，
不是１２３４５的顺序，这样就给线性规划教学带来一定的困难，因为斜率未学，导致不能用斜率和截距知识来说明目标函数的变化趋势．所以只能从前面学过的一次函数角度来突破，从教学实际看，学生基本听懂了目标函数的变化趋势．
(２) 考虑到本节课的重点是建模和解模两个环节，所以在建模开始时着重强调了
列表法分析题中各个数据，对于初学线性规划问题的学生来讲，养成用表格
方法去分析，对以后解题有很大作用
(３)在解决了基本问题后设置了３个变式，用来强调目标函数最值点取决于目标函数系数和可行域的形状，特别是对于无穷解的设计，以为学生以后解题做好铺垫．。