《量子力学试卷A》答案

《量子力学》试题 A 答案 （闭卷）

（电子科学与技术系2008级）

姓名 班级 学号

1、 (10分) 简述量子力学的5个基本假设

[答] (1) 微观体系状体由波函数描述。波函数满足连续性、有限性和单值性。

(2) 力学量用厄米算符表示。 (3) 将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开

则在 态中测量力学量得到 结果为 的几率是 ,得到结果在 范围

内的几率是 (4) 体系的状态波函数满足薛定谔方程： , 为体系的哈密顿算符。 (5) 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。

2、(10分) 分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。

1()()()E E ix i t

ix i t

x u x e

u x e

ψ---=+

1

2

212()()()()

E E i

t

i t

x u x e

u x e E E ψ--=+≠

3()()()E E i t i t

x u x e

u x e

ψ-=+

[答]

21

12

2

*222

()()()(2)E E E E i

t

i

t

x x u x e

e

ωψψ--==++ 与时间无关,是定态；

2

*22111()()()(2)i x i x x x u x e e ωψψ-==++， 与时间有关,不是定态；

i H t

∧∂ψ=ψ∂H ∧n λ2

n c d λλλ→+2

c d λλ

F ∧

ψψF ∧Φ()n n n F F λλλλ∧∧Φ=ΦΦ=Φn n n c c d λλλ

ψ=Φ+Φ∑

⎰

222

*333

()()()(2)E

E

i

t

i

t

x x u x e e

ωψψ-==++，与时间有关,不是定态。

3、(10分) 已知一质量为m 的粒子在一维势场⎩⎨

⎧<>∞≤≤=0

00)(x a x a

x x U 或中运动

（1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程; （2）求解该粒子的能级;

（3）求解该粒子归一化后的波函数

. [答]

22222

2()()2()()()2d x E x x a m dx d x x E x x a

m dx ψψψψψ⎧-=≤⎪⎪⎨⎪-+∞=>⎪⎩

令2

2

2

mE k = 则有 通解为kx B kx A x cos sin )(+=ψ 边界条件为：

解得， 能级 波函数为：⎪⎩

⎪

⎨⎧<>≤≤=000)sin(2)(x a x a x a

x

n a x 或πψ

4、(10分) (1) 设ˆˆ,A

B 为厄米算符，且[ˆˆ,A B ]0≠，证明ˆˆˆˆ()i AB BA -为厄米算符；(2) 下列算符中，哪些是线性算符？ 其中哪些是厄米算符？

dx

d

x ,

2

， 22dx d ，

， Sin ， dx

d

i

，ln [答] (1)因为ˆˆ,A

B 为厄米算符，对于任意两个波函数,φψ，有： ***ˆˆA d A d φψτφψτ=⎰⎰，***B d B d φψτφψτ=⎰⎰

E ψ222()0d k x dx ψψ+=()sin cos 0

(0)cos 0a A ka B ka B ka ψψ=+===0B =n k a

π

=222

22n E ma π=

*

*

*

*

**

**

*

**

*

**

*

*

*

**

*

*

*

*

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,]()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆ()([,])i A B d i AB BA d i AB d i BA d i A B d i B A d i B A d i A B

d iBA d iAB B d iAB iBA d i A B

d φψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτ=-=-=-=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

即ˆˆˆˆ()i AB

BA -为厄米算符，得证。 (2所以线性算符和厄米算符定义可判断：

线性算符：dx d x ,

2

， 22dx d ， dx d

i

厄米算符：2

,

x 2

2dx d ， dx

d i

5、(10分) 根据测不准关系，估算氢原子的基态能级。 [答] 由测不准关系 rp

≈

/r p ≈

对于氢原子 222p e E m r =

-,即22

2p e E p m =- 处于基态时，

200p p p dE

e dp

m

==-=

，20me p = 所以24224

02

212m e e me me E m =

-=-

6、(10分) 设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为π

ψ41

2/2

/3100a

r e a -=

，