6.期权定价(3)

467 676
807 900 -93
NPV(1982) =PV(inflows) -PV(investment) = 467 – 676 = 寻找类似的资产，也就是那些与投资机会具 有相似风险的可交易股票。使用这些参照资产收 益的平均标准差作为基准来评判投资机会的风险。 Q3：决策的原则是什么？ 进行闪电标号Ⅰ型项目就能得到对投资闪电 Ⅱ型项目的扩张项目，因此NPV=-46+55=9(百万 美元)。
Option Price
Stock Price
Option to Wait
More time = More value
Option Price
Stock Price
Eg： 鲱鱼加工厂期权的价值评估 决定投资1.8亿美元，那么就拥有了一个值2亿美元的项目。 1年后，如果市场低迷，项目现金流为1600万美元，项目 的价值就下降到1.6亿美元。如果市场需求旺盛，项目价 值提升到2.5亿美元。
第2步：计算 N (d1 ) N (d2 )
N (d1 ) 0.5775 N (d 2 ) 0.4633
第3步：利用B-S公式求期权价值
[ N (d1 ) P] [ N (d2 ) PV ( EX )] [0.5775 430] [0.4633 430 /1.015] 52.04(美元)
1983 100 0 50 60
Year 1984 159 0 100 59
1985 295 0 100 195
1986 185 0 -125 310
1987 0 0 -125 125
NPV at 20% = - $46.45, or about -$46 million
闪电计算机公司评估闪电标号Ⅰ型项目，未达到20%的门 槛收益率，且NPV=-4600美元。 考虑到战略价值，该项目带来的后续项目的看涨期权 具有很大的价值。 评估出闪电Ⅱ型项目看涨期权的价值为5500万美元， 闪电标号Ⅰ型项目净现值为-4600万美元，结果为900万美 元。 考虑到后续投资的价值，公司应该投资闪电标号Ⅰ型 项目。
6
3.3布莱克-斯科尔斯公式与二项式法
随着时间段的递增，通过二项式法计算的期权价值 会逐步接近于B-S公式计算的期权价值。 B-S公式包括的是连续分布的可能结果，因此模拟的 股票价格更接近与现实，比二项式法的计算结果更准确和 快捷。
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4 布莱克-斯科尔斯公式的实际应用
4.1 管理者股票期权 管理者获得股票期权经常是薪酬的重要组成部 分，现代企业必须把这类期权作为类似与工资和 薪水的开支。因此估算期权的价值十分必要。
Expectedreturn (Probof high demand) .375 (1 Probof high demand) (-.12) Expectedreturn .05 Probof high demand .343
The option value is now determined as follows.
8
4.2 认股权证 认股权证是授予持有人一项权利，在到期日 前以行使价购买公司发行的新股(或者是库藏的股 票)。 B-S公式可以计算认股权证的价值。
9
4.3 证券组合保险 购买期权，可以规避风险。
购入一份价值 为多少的期权呢
利用B-S公式对同样行权价格和时间的期 权进行估值，然后通过买卖权平价找出期权。
26
High demand generates $25 million and a value of $250 million at the end of the year. Low demand generates $16 million and no value. High Demand
T otalreturn (25 250) 1 200 .375
Low Demand
T otalreturn (16 160) 1 200 .12
Risk neutral return = 5%
The next step requires the calculation of the probability of there being a high demand for the malted herring project.
5
3.2 期权的风险
期权的风险与复制的组合风险是相同的，即等于贷款 和股票投资的贝塔系数的加权平均数。 Eg: Google股票的贝塔系数 股票 =1.27 无风险利率贷款的贝塔系数 贷款 =0 在股票上投入248.32美元，在贷款上投入-196.29美元 期权的贝塔系数：
（-196.29 0+248.32 1.27） 期权 = =6.07 -196.29+248.32
期权定价（3）
3 布莱克-斯科尔斯公式
股票格连续变化情形下，期权价值的估计。
布莱克-斯科尔斯公式 看涨期权价值=[德尔塔系数 股票价格]-[银行贷款] 其中：
log[ P / PV （EX） ] t 2 t
[ N (d1 ) P] [ N (d2 ) PV ( EX )]
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Microcomputer Forecasts
Example – Mark II Microcomputer ($ millions) Forecasted cash flows from 1982
1982 After-tax operating cash flow Increase in working capital Net cash flow Present Value @ 20% Investment, PV @ 10% Forecasted NPV in 1985 ………. Year 1985 1986 220 100 120 1987 318 200 118 1988 590 200 390 1989 370 -250 620 1990 0 -250 250
12
实物期权
1 后续投资机会的价值
Microcomputer Forecasts
Example – Mark I Microcomputer ($ millions)
1982 After-tax operating cash flow (1) Capital investment (2) Increase in working capital (3) Net cash flow (1)-(2)-(3) 450 0 -450
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作业： 假设你有一份以25亿美元购买宏公司的全部资产的期权，该期权9个月后到期。 你估计宏公司当前的现值（PV)(0月份)为27亿美元。该公司在每个季度末 （即每3个月时段的期末）都会产生5000万美元的税后自由现金流量 （FCF）。如果你在某季开始时执行期权，则当季的现金流量归你享用；如 果不执行，则该笔现金流量归宏公司的当前所有人。 在每个季度，宏公司的PV或者上升10%，或者下跌9.09%，该现值包括5000 万美元的季度FCF。5000万美元支付给所有人后，PV将下降5000万美元。 因此，第一季度的二项式树如下所示（单位：百万美元）： 问题： A：构建宏公司的二项式树，以3个月为期出现一次上涨或下跌（9个月期的 期权将有3步） B：假设你只能现在行权，或9个月后行权（第3和第6个月不能行权）。你是 否现在行权？ C：假设你可以现在行权，也可以在第3，第6和第9个月时行权。期权的当前 价值为多少？你该现在行权，还是等待？
(.343 70) (.657 0) OptionValue 1.05 $22.9 million
对这个期权进行估值： 需求旺盛时，总收益率：（25+250）/200-1=0.375 需求低迷时，总收益率：（16+160）/200-1=-0.12 期望收益率：
需求旺盛的概率×37.5%+(1-需求旺盛的概率)/-12%=5%
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2.期权择时问题
Option to Wait
Intrinsic Value
Option Price
Stock Price
Option to Wait
Intrinsic Value + Time Premium = Option Value
Time Premium = Vale of being able to wait
4
第1步：
d1
log[ P / PV （EX） ] t log[430 / (430 /1.015)] (0.4068 0.5) 0.1905 2 2 t 0.4068 0.5
d 2 d1 t 0.1905 0.4068 0.5 0.0912
d1
d2 d1 t
N(d)是正态分布的累积概率密度函数 EX是期权的行权价格 是每一时段内（连续复利）股票收益率的标准差
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P: 股票的当前价格 t 距到期日的时段数量
3.1布莱克-斯科尔斯公式的应用
Eg: 为Google看涨期权估值： 当前股票价格P=430美元 行权价格EX=430美元 连续复利后的年收益标准差 =0.4068 距离到期日的年数t=0.5 年利率 r f =3%
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4.4 隐含波动率的估算 通过期权价格可以得知关于股票波动率的信 息
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5 期权价值概览
之前讨论的都是不支付红利的欧式 期权的价值，那支付红利到期前就 可能行权的期权价值又如何估算呢？
美式看涨期权——不支付红利：美式看涨期权的价值随到期时间的增 加而增加，不会在到期日之前执行，与欧式看涨期权一样，都可以用 B-S公式估值。 欧式看涨期权——不支付红利 美式看跌期权——不支付红利：因为可以提前执行，美式看涨期权总 比欧式看涨期权有价值。B-S公式不允许提前执行，因此对其价值的评 估不准确，需要用二项式公式逐步推导。 派发红利股票的欧式看涨期权：从股价中扣除期权到期日之前所派发 的全部红利的现值，在用B-S公式估值。 派发红利股票的美式看涨期权：一般采用二项式公式估值
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Q1：股票价值使用什么数值？ 该看涨期权的标的资产为实物资产闪电Ⅱ型项目。 评估闪电Ⅱ型项目的价值（DCF），1985年开始时需 投资9亿美元，1985年时的现金流的现值是8.07亿美元， 相当于1982年的4.67亿美元。 因此，投资于闪电Ⅱ型项目的实物期权相当于以4.67 亿美元资产为标的、行权价格为9亿美元的3年期看涨期 权。
如果期末时项目价值为1.6亿美元，则该投资期权一文不 值；如果项目价值为2.5亿美元，则期权的价值就是： 250-180=70（美元）。 用5%的贴现率贴现，期权的价值：
(0.343 ×70+0.657 ×0)/1.05=22.9(美元)
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项目净现值大于零的事实并非进行该投资 的充足理由，还有更好的策略：等等并观察。