第五章 能量原理

第五章弹性体的能量原理§5-1 差分公式的推导目录§5-2 应力函数的差分解§53应力分量差分解的实例§5-3 应力分量差分解的实例§5-4弹性体的形变能和外力势能§5-5位移变形方程§56§5-6位移变分法§5-7位移变分法的例题变分法简介简介¾函数的变分y y x =()dy d y δδ⎛⎞=⎜⎟()dx dx⎝⎠¾泛函的变分()I I y x =⎡⎤⎣⎦()',,ba I f x y y dx =∫()b ba a I f dx f dx δδδ==∫∫¾泛函的极值问题I y x =⎣=()I ⎡⎤⎦()0y y x 0I δ=5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势¾变分法：研究泛函及其极值的求解方法。

：研究泛函及其极值的求解方法¾泛函：是以函数为自变量的一类函数，即函数的函数弹性力学中的变分法又称为能量法形变势能密度：单位体积中的形变势能1σε单拉伸缩单向拉伸或压缩2x x1剪切载荷作用τγ2xy xy5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势根据能量守恒原理形变势能与弹性体受力的次序无¾根据能量守恒原理，形变势能与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。

因此，考虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量可以得到弹虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量，可以得到弹性体全部形变势能密度1()12x x y y z z xy xy yz yz zx zx U σεσεσετγτγτγ=+++++0==0,0yz zx ττ在平面问题中平面应力z σ=平面应变0z ε=1()12x x y y xy xy U σεσετγ=++5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势在平面问题中各应力分量和形变分量都是坐标x和y ¾在平面问题中，各应力分量和形变分量都是坐标x和y 的函数，因此形变势能密度一般也是坐标的函数。

整个弹性体（平面区域A 内）的形变势能U 可以表示为1U U dxdy dxdy σεσετ==++−()12x x y y xy xy A Ay y γ∫∫∫∫也可以采用形变分量来表示()2221212221x y x y xy E U μεεμεεγμ⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦∂111,,x y xy x y xy U U U σστεεγ∂∂===∂∂∂弹性体每单位体积中的形变势能对于任形变分量的改变弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。

5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势另外形变势能还可以用位移分量来表示¾另外，形变势能还可以用位移分量来表示2221E u v u v v u μ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂−∂∂⎛⎞=⎜()122221U x y x y x y μμ++++⎢⎥⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂−⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦由此可见，形变势能是形变分量或位移分量的二次泛函。

因此叠加原理不再适用。

()()()1212U u u U u U u +≠+外力功W d d d ()()A x y x y s f u f v dxdy f u f v ds =+++∫∫∫外力势能d d d ()()A x y x y s V f u f v dxdy f u f v ds =−+−+∫∫∫5-5 位移变分方程位移虚位移：假设位移分量发生在位移边界条件所容许的微¾小改变'',u u u v v vδδ=+=+由位移变分引起的外力功的变分和外力势能的变分分别为()()x y x y A s W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδ=+++∫∫∫位移的变分引起应变的变分()()()(),,x xy u v v u δεδδεδδγδδ∂∂∂∂===+∂∂y y x y x y∂∂5-5 位移变分方程位移¾引起的形变势能的变分为U dxdy δσδεσδετδγ=++注意系数变化()x x y y xy xy A y γ∫∫假定弹性体在虚位移过程中没有温度和速度的改变，即热能和动能恒定。

按照能量守恒定理，形变势能的增加应当等于外力势能的减少，即外力所做的功，于是可以得到()()x y x y A s U W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδδ==+++∫∫∫位移变分方程：在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分等于外力功的变分。

引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。

5-5 位移变分方程位移由此还可以导出弹性力学中的极小势能原理()0U V δ+=在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。

极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在一组位移应使总势能称为极值。

如果考虑阶变分总是大于或等于零就可如果考虑二阶变分总是大于或等于零，就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值就是极小值。

()20U V δ+≥5-5 位移变分方程位移¾弹性力学的虚功方程(xxxy xy dxdy σδεσδετδγ++−)()()yyyyAxyxyAsf u f v dxdy f u fv ds δδδδ+++=∫∫∫∫∫如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在，虚应变上做的虚功。

位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是一位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是样的，它们都是从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒定理的具体应用，只是表达方式有所不同而已。

5-6 位移变分法位移¾弹性力学的变分解法若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使他们预先满足位移边界条件然后再令其满足位并使他们预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程，并求出待定系数，就同样能得出实际位移的解答。

试取位移分量的表达式为00,m m m mmmu u A u v v B v =+=+∑∑位移分量的变分为,u u A v v B δδδδ==m m m mmm∑∑5-6 位移变分法位移¾形变势能的变分为U UU A B δδδ⎛⎞∂∂=+m m m m m A B ⎜⎟∂∂⎝⎠∑代入位移变分方程得到⎛m m m m m U UA B A B δδ⎞∂∂+=⎜⎟∂∂⎝⎠∑()()x mmy m m m m m x y Asmmf u Af v B dxdy f u A f v B dsδδδδ+++∑∑∫∫∫⎛x m m m x A sm m U f u dxdy f u ds A A δ⎞∂−−+⎜⎟∂⎝⎠∑∫∫∫0y m m m y A s U f v dxdy f v ds B B δ⎛⎞∂−−=⎜⎟∂⎝⎠∑∫∫∫5-6 位移变分法位移由于的任意性可以得到求解¾A m 和B m 的任意性，可以得到求解A m 和B m 的位移变分方程，即x m m x A s mUf u dxdy f u dsA ∂=+∂∫∫∫y m m y A s m Uf v dxdy f v dsB ∂=+∂∫∫∫瑞利-里茨法(Rayleigh-Ritz Method)用位移变分法求得位移以后，不难通过几何方程求得形变，进而通过物理方程求得应力。

通常取不多的系数A m 、B m ，就可以求得较精确的位移，而通过求导数后得出的应力却很精确为了求得的应力充分精确必须得更多的系很不精确。

为了求得的应力充分精确，必须取得更多的系数。

5-7 位移变分法的例题位移题例题设有如图所示宽度为¾1. 设有如图所示，宽度为a 而高度为b 的矩形薄板，在左边及下边受连杆支撑，在右边及上边分别受12不计体力试求薄板位移有均布压力q1和q2，不计体力，试求薄板位移。

取位移分量的形式为()123u x A A x A y =+++L ()123v y B B x B y =+++L 验证边界条件()()000,0x y u v ====验边界条件不论各系数如何取值，都可以满足两个边界位移条件5-7 位移变分法的例题位移题试只去A1和B1两个待定系数即¾试只去A1和B1两个待定系数，即111111,u A u A x v B v B y====于是有11,0,0,u u v vA B ∂∂∂∂====∂∂a b E x yx y∂∂弹性体的形变势能为()()221111200221U A B A B dxdy μμ=++−∫∫1111,x y U Uf u ds f v ds A B ∂∂==∂∂∫∫s s5-7 位移变分法的例题位移题针对以上二式只需考虑边界上面力和位移都不等于¾针对以上二式，只需考虑边界上面力和位移都不等于零的部分边界。

¾对于薄板右边有11,,x f q u x a ds dy=−===¾对于薄板上边界有,,v y b ds dx=−===bd d b21y f q 从而有()1110x saf u ds q ady q ab =−=−−=−∫∫()1220y sf v ds q bdx q ab=∫∫5-7 位移变分法的例题位移题12,UUq ab q ab A B ∂∂=−=−∂∂11()111222EabA B q ab μ+=−−()2122EabB A ab μ+=−()()112221q μμ−q q −−122111,q q A B E Eμμ=−=−12,q q u x E μ−=−从而得到位移分量的表达式21q q v yE μ−=−5-7 位移变分法的例题位移题例题2设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板如图所¾例题2. 设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板，如图所示，它的左边、右边和下边均被固定，而上边界具有2给定的位移20,1x u v a η⎛⎞==−−⎜⎟⎝⎠不计体力试求薄板的位移不计体力，试求薄板的位移。

取如图所示坐标位移分量只取项数2x x ⎛⎞取如图所示坐标，位移分量只取项数m=1，位移分量的表达式设定为122211,y y u A a a b b ⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛122111x y x y y v B a b a b b η⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠5-7 位移变分法的例题位移题以上位移分量可以满足全部的边界条件¾()()()00,0,0,x a y y b u u u =±=====()()()2200,0,1x a y y b x v v v a η=±==⎛⎞===−−⎜⎟⎝⎠同时，所有位移的对称性也是满足的不计体力，而且没有应力边界条件，所以有0,0U UA B ∂∂==∂∂112221a b Eu v u v v u μ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂−∂∂⎛⎞=()20022221U dxdy x y x y x y μμ++++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂−⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫第五章最小余能原理第章余¾弹性体的总余能定义为应变余能和支撑系统的余能和E U V =+c c c**ijσ1c U Ud Ω=Ω∫∫∫1ij ijU d εσ=∫对于线弹性材料，应变余能密度*11ijij ij U d U σεσ==∫uc i i S V f u dS=−∫∫当弹性系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系数所吸收或通过支撑系统传递给其他物体的那部分多余能量称为支第五章最小余能原理第章余¾虚位移原理和最小势能原理d d f u d f u dSσεδδΩ=Ω+ij ij i i i i S σΩΩ∫∫∫∫∫∫∫∫()20,0p p E U V E δδδ=+=>¾虚应力原理和最小余能原理在已知外力作用下处于平衡状态的弹性体，在已知位移的边界上虚面力在真实位移上所做的虚功等于虚应力在dSδδ边界上，虚面力在真实位移上所做的虚功，等于虚应力在真实应变上产生的虚应变余能ij ij i ij j S d u n σεδσδσΩΩ=∫∫∫∫∫()0,c c c E U V δδ=+=0,c U δ=2c E δ>2c U δ>若面力全部已知第五章最小余能原理第章余¾基于最小余能原理的直接解法假设一组静力可能的应力试函数m ij ijm ijA σσσ=+∑mc ij ij i ij j Ed u n dSεδσδσ=Ω−S σΩ∫∫∫∫∫12)cE ∂0(1,2,......)mm A ==∂第五章变分法在弹性力学中的应用第章在弹性学中位移变分法应用与杆梁问题¾位移变分法应用与杆、梁问题(1) 梁的位试函数表达式()()0m m mw w x C w x =+∑满足位移边界条件(2)2221ld w U EI dx ⎛⎞=⎜⎟(2)梁的应变能表达式02dx ⎝⎠∫(3) 梁的总势能表达式221()2002ll p d w E EI dx q x wdx dx ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫∫(4)E ∂(4) 应用瑞利-里茨法()01,2,......p mm C ==∂第五章例题第章题1例题1第五章例题第章题例题22第五章例题第章题例题3例题4。