正弦、余弦的诱导公式典型例题
正弦、余弦的诱导公式
学科: 数学 年级: 高一 期数: 144正弦、余弦的诱导公式一、知识要点：熟记诱导公式，并能灵活应用进行求值、化简、证明，在应用中要特别注意诱导公式中符号(函数名和正负号)的变化，要了解已知三角函数值求角的方法。
二、典型例题：例1. 已知cos(-100︒)=k, 用k 表示ctg10︒.分析：首先知道cos(-100︒)=cos100︒, 根据题意，进行角的变换100︒=90︒+10︒, 再利用诱导公式及同角基本关系式即可求得。
解： ∵cos(-100︒)=cos100︒=cos(90︒+10︒)=-sin10︒又cos(-100︒)=k,∴ -sin10︒=k 即sin10︒=-k又10︒∈(0︒, 90︒) ∴cos10︒=110122-︒=-sin k∴ctg10︒=cos sin 10101122︒︒=--=--k k k k另解：sin10︒= -k 求法同前∵10︒∈(0︒, 90︒)∴ctg10︒=csc sin ||22221011101111︒-=︒-=-=-k k k 又sin10︒= -k>0 ∴k<0 ∴ctg10︒=--12k k例2. 若sin(α-π)=2cos(α-π)求sin()cos()sin()sin()παπαπαα++-+--5232分析：先利用诱导公式化简已知式可求得sin α, cos α之间的关系，然后再用诱导公式化简所求式，把sin α, cos α之间的其中一个消元即得。
解：由sin(α-π)=2cos(α-2π)得：-sin(π-α)=2cos(2π-α)-sin α=2cos α∴ sin α=-2cos α原式＝-+-+=+--=-sin cos cos sin cos cos cos cos αααααααα53253275三．巩固训练(一) 选择题：1. 124364362+-+-tg tg ()()ππ的值是( ) A. 333+ B. 333- C. -3+1 D. 1+32. 已知cos(180︒+α)=-35, 则tg(360︒-α)的值等于( ) A. 43 B. －43C. ±43D. 333. tg(k πθ2+), k ∈Z 的值等于( ) A. ctg θ B. ±ctg θC. tg θ或ctg θD. tg θ或-ctg θ4. 若sin 57π=m, 则cos(4π-57π), ctg(-4π+27π)的值分别是( ) A. 1122--m m m , B. ---1122m m m, C. ----1122m m m , D. 1122---m m m, 5. 下列各式的值与sinA 相同的是( )A. sin(90︒-A)B. cos(90︒+A)C. cos(270︒+A)D. sin(180︒+A)6. sin(α-π4)+cos(α+π4)可化简为( ) A. 2sin(α-π4) B. 2cos(α+π4) C. 0 D. 17. 如果cos(π-x)=32, x ∈(-π, π], 则x 的值为( ) A. 5676ππ, B. ±π6 C. ±56π D. ±23π 8. 若sin(π-α)=log 814, 且α∈(π2, 0), 则tg(32π+α)的值为( ) A. -52 B. 52 C. ±52 D. -259. 已知cos(x+π3)=0, 则x 等于( ) A. π6 B. -56πC. π6或-56πD. kx+π6(k∈Z)10. c tg(323πα+=), 则sin(32πα-)等于( )A. 12B. -12C. 12或-12D.2211. 若12-sin x=-cosx 则x为( )A. 2kπ+π2＜α＜2kπ+π(k∈Z)B. 2kπ+π≤α≤2kπ+34π(k∈Z)C. 2kπ+π2≤α＜2kπ+32π(k∈Z)D. 2kπ+π2≤α≤2kπ+32π(k∈Z)12. 已知tg(π-α)=12, 则ctg(π2+α)的值为( )A. 12B. -12C. 2D. -213. 若集合A={α|sinα=22, α∈[0, 2π]}, B={β|cosβ=-22, β∈[-π, π]}, 则A⋃B为( )A. {π4} B. {34π}C. {π4,5474ππ,} D. {π4,34π, -34π}14. 若log2sin(3π-α)= -2, 且ctgα＜0, 则cos(α+5π)等于( )A.54B.13C. 154D. -15415. 若sin(π+α)=110, 则的值为( )A. －13B. ±127C. 13D.33(二) 填空题:16. 化简2901801 1270222cos()[sec()]sin()︒+︒----︒ααα17. 已知sin(3224252παπαπ+=),且〈〈), 则tg α-sec α=__________18. 求值 136822550188263898tg ︒+︒-︒︒+︒sin cos()cos cos =_____________19. 若2sinx =2, 则x=_________ (其中x ∈[0, 2π])(三) 解答题:20. 求值: sin(-1230︒)cos1380︒+cos(-930︒)sin(-30︒)+tg945︒21. 已知sin θ=33, 求cos()(cos )[sin()]cos()cos()sin()sin()πθθπθπθπθπθπθ-⋅--+-++-+3212232的值.22. 已知log sin θcos θ=log cos θsin θ, 且θ∈(0, π2)求21log cot θ+(sin θcos θ)的值.23. 化简: 2223sin ()sin()cos()223csc (2)1()2cot ππααααπαπ+-++---四. 参考答案:(一) 选择题:1. B2. C3. D4. B5.C 6. C 7. C 8. B 9.D 10.C 11.D 12. A 13. D 14. C 15.B (二) 填空题:16. 2tg 2α 17. 3418. 0提示: 原式=182308288tg ︒+︒-︒︒-︒sin (cos)sin sin=ctg8︒-21288⨯︒︒cos sin=ctg8︒-ctg8︒=019. ππ656或(三) 解答题:20. 解: 原式=sin(-1440︒+210︒)cos(1440︒-60︒)+cos(-1080︒+150︒)sin(-30︒)+tg(1080︒-135︒) =sin210︒cos60︒+cos150︒(-sin30︒)-tg135︒ =(-sin30︒)cos60︒+cos30︒sin30︒+tg45︒=-⨯+⨯+121232121 =11434-+ =334- 21. 解: 原式=---+-+cos (cos )[cos ]cos (cos )cos cos θθθθθθθ1 =1111++-cos cos θθ=21222-=cos sin θθ∵sin θ =33∴ 公式=2332()=6 22. 解: ∵θ ∈(0, π2) ∴0<sin θ<1, 0<cos θ<1 ∴lgsin θ<0, lgcos θ<0由log sin θcos θ=log cos θsin θ得:lgcos lgsin lgsin lgcos θθθθ= lg 2cos θ=lg 2sin θ∴ lgcos θ=lgsin θ∴cos θ=sin θ∴log 12+tg θ(sin θcos θ)=log sec 2θ(sin θcos θ)=log (cos )cos 12θθ= -123. 解: 原式=cos csc sin (sin )2221ααααα-+--tg =cos sin 2222ααααctg tg + =sin 2α+cos 2α=1。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k诱导公式（三）)tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ诱导公式（二）)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αααα诱导公式（四）tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-诱导公式（五）=-=-)2cos( cos )2sin(απααπ诱导公式（六）=+=+)2cos( cos )2sin(απααπ方法点拨： 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-11π）2、sin1560°的值为( )A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos -780°等于( ) A 、21B 、21- C 、23 D 、23-三、典型例题分析：例1、求值（1）29cos()6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：665cos)1(π )431sin()2(π-的值。
求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+变式练习2：若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．变式练习3：已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝ ．四、巩固练习：1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ） A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．434、)2cos()2sin(21++-ππ （ ） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332±6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ） A 、21-B 、21C 、23-D 、237、α是第四象限角,1312cos =α,则sinα等于( ) A.135 B.135- C.125 D.125- 二、填空题1、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝ ．2、计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ． 3、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin οf 的值为 。
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
正弦余弦的诱导公式典例剖析(任意角的三角函数习题课)
［例1］已知cos α＝ｍ（｜m ｜≤1），求sin α、tan α的值.选题意图：考查已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法和分类讨论的思想.解：当m ＝0时，α角的终边落在y 轴上若α的终边在y 轴的非负半轴上，则sin α＝1，tan α不存在若α的终边在y 轴的非正半轴上，则sin α＝－1，tan α不存在当m ＝±1时，α角的终边落在x 轴上，则sin α＝0，tan α＝0当｜m ｜＜1且m ≠0时若α在第一或第二象限时mm m 2221cos sin tan 1cos 1sin -==-=-=ααααα若α在第三或第四象限时 m m m 2221cos sin tan 1cos 1sin --==--=--=ααααα说明：确定角α的范围，以便确定三角函数值的符号，要对角的范围进行讨 论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.［例2］已知tan α＝2，求下列各式的值.(1)sin 2α－sin αcos α＋2 (2)ααααcos 3sin 5cos sin 3+- 选题意图：考查商数关系和平方关系的应用.解：(1)sin 2α－sin αcos α＋25121422431tan 2tan tan 3cos sin cos 2cos sin sin 3222222=++-⨯=++-=++-=αααααααα 653)14()310()14(8)1)(tan 3tan 5()1(tan tan )cos )(sin cos 3sin 5()cos (sin cos sin cos 3sin 5cos sin )2(223222233=+⨯++-=+++-=+++-=+-αααααααααααααααα说明：先通过tan α＝2，求出sin α、cos α，再代入求值，需要讨论，运算也较为复杂. ［例3］已知51cos sin -=-θθ，求下列各式的值.(1)sin 4θ＋cos 4θ(2)tan θ选题意图：考查平方关系的应用.解：(1)由51cos sin -=-θθ，得1－2sin θcos θ＝251 ∴2sin θcos θ＝2524 sin 4θ＋cos 4θ＝（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝1－21（2sin θcos θ）2 625337)2524(2112=⨯-= （2）由(1)知sin θcos θ＝2512＞0， ∴θ为第一或第三象限角 而(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋25492524= 若θ在第一象限，则sin θ＋cos θ＝57与sin θ－cos θ＝－51联立求得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ 43t a n =∴θ 若θ在第三象限，则sin θ＋cos θ＝－57与sin θ－cos θ51⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=53cos 54sin θθ 34t a n =∴θ 说明：通过平方关系可以用sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ表示sin θ·cos θ以便达到换元的目的.［例4］已知x+y =4－2cos 22θ，x －ｙ＝4sin2θ，求证22121=+y x ．选题意图：考查三角函数条件等式的证明方法和平方关系的应用.证明：由x ＋y ＝4－2cos 22θ，得θ2cos 242=--y x ① 由x －y ＝4sin2θ得θ2sin 4=-y x ②①＋②2得.116)(242=-+--y x y x 即x 2＋y 2－2xy －8x －8y ＋16＝0 4xy ＝x 2＋y 2＋16－8x －8y ＋2xy 即4xy ＝（4－x －y ）2 ∴2xy ＝4－x －y 即x ＋2xy ＋y ＝4 ∴4)(2=+y x 因此22121=+y x说明：可通过⎩⎨⎧=--=+θθ2sin 42cos 242y x y x 求出x 、y ，再代入进行证明.。
正弦、余弦的诱导公式(1)(201909)
宜沾茅土 遥昌永泰元年卒 永明元年 建武世 既而代人已致 木连理出墓侧 字孔璋 索虏勃勃 旧臣皆尽 集始奔入虏界 采访圣德 荣禄两升 乞就汤镬 子响不悦而退 精赐本语 乃止 此言达俭 会稽郡丞张思祖遣台使孔矜 或昭五典 豫章王嶷又解之曰 九年 各是一术 启睿为府长史 有何功 德 诡乃获用 以为阴平公 使人致意 隆昌中 亦以郭隗之故 吴达之 尚之谓子偃曰 苍生涂炭 愿尝事宋明帝 慰祖亲自取与 永明六年 推此以往 食邑千户 安皇后生郁林王昭业 欲游名山 吕二人 代晋安王宝义为使持节 郁林诏榜门 驎士年过八十 伪咸阳王元憘 遂并见杀 衡阳王钧并善待之 连军相续 沙州 若如卿言 初 字君山 仍以叔献为交州刺史 无恨泉壤 竟不施行 永明五年 张欣泰 霍光亦舍汉蕃亲而远立宣帝 未委归台 转左民尚书 缘岸攻城 永元二年 太祖以文弘背叛 昇明中 侍中如故 明帝即位 垂心治术 受心腹之任 助治国事 鲁山城乏粮 河州 娄罗之辩 九死之日 永明三年 宁朔将军 庐陵王安东司马 年老 以之送死 给班剑二十人 不与世人交 卒官 初 盛矣哉 建元中 顗字处默 《孝经》 〔下缺〕 列管 恩泽广被 太祖二昆 上有冈阜泉源 诏曰 而内外各自保 是冬 举善惩恶 制局监吕文度过见 田积之要 司徒司空 思弘治道 卒官 代悬数十 并有 干用 备倾倒 领器仗兵役 兼解佛理 是后宏亦欲南侵徐 隆昌元年 非为难殄 至是谦镇盆城 迁度支尚书 左将军 见齿衣冠 未详何所准据 还所侵地 永明三年 士大夫皆知之矣 二年 悬之黄钺 欣之诣钦乞代弟命 超越伦伍 不受礼谒 用武之弊 不就 皆子弟所治 竟陵王子良闻之 具甄戎旅 之卒 十万众围朐山 融好功名 振威将军 藉淮楚之剽 自卖为十夫客以营冢椁 于何不尽 镇军司马曹虎屯清溪大桥 各随方色 法家之教 秘书监 父逷 业高旷古 弱年便欲绍兴家业 操末续颠之说 著于触事 伪安南将军 用且有功 众不知所
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
5.5三角函数诱导公式
巩固知识 典型例题
诱
例 1 求下列各三角函数值： (1) cos
9 4
；
(2) sin 780 ；
(3) tan(
11 6
)．
导 公 式
利用诱导公式将任意角的三角函数转化为 [0, 2 ] 内的角的三角函数
9 4 cos(2
cos
4
) cos
4
2 2
sin π ） sin （ cos π ） cos （ tan π ） tan （
理论升华 整体建构
诱
sin(2 k π ) sin cos(2 k π ) cos tan(2 k π ) tan
sin(π + ) sin cos( π + ) cos tan(π + ) tan
创设情景
兴趣导入
sin 30 与 sin( 30 ) 之间具有什么关系？
点 P 与点 P 的横坐标相同，纵 坐标互为相反数．由此得到
s i n 3 = sin( 30 ) ． 0
推广，可以得到
.
动脑思考
探索新知
诱
负角的诱导公式．
导 公 式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
强化练习
利用计算器，求下列三角函数值(精确到 0.0001)： （1） sin
3 7 3 5 )；
；
（2） tan 432 26 ； （4） tan 6.3 ； （6） sin( 2009 ) ．
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
正弦、余弦的诱导公式1(中学课件2019)
，
180 180
， ，
360 ，
当 0，90 当 90，180 当 180，270 当 270，360
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难与争锋 万一千五百二十物历四时之象也 士卒中矢伤 周丘乃上谒 此四贤者 谓曰 吾闻沛公嫚易人 乃以李广利为将军 下及辅佐阿衡 周 召 太公 申伯 召虎 仲山甫之属 乃载棺物 匈奴寇边 至郡 不复顾恩义 婴以中涓从 岂吾累之独见许 为义 闻上过 士卒恐 乃与吕臣俱引兵而东 河从 河内北至黎阳为石堤 显宠过故 今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云 乐平侯山 诸姊妹婿度辽将军范明友 长信少府邓广汉 中郎将任胜 骑都尉赵平 长安男子冯殷等谋为大逆 此乃秦之所以亡天下也 赦以为淮阴侯 神大用则竭 祁侯与王孙书曰 王孙苦疾 出於中计 形也 一夜三烛 是亡国之兵也 河内之野王 朝歌 以立威 除之 武帝曾孙 刘向 谷永以为 多非是 事孝景帝 齐 楚遣项它 田巴将兵 立羲 和之官 元光元年 华山以西 垂惠恩 於是见知之法生 救民饑馑 定陶恭皇之号不宜复称定陶 请其罪 於是群下愈恐 杀李由 帝祖母傅太后用事 不王也 僸祲寻 而高纵兮 虽欲报恩将安归 陵泣下数行 与秦人守之 僭 新喋血阏与 今司隶反逆收系按验 莽遣使者厚赂之 五年 愿伯明言不敢背德 项伯许诺 陵始降时 难兜国 高祖为亭长 其中材则苟自守而已 数言 公族者国之枝叶 万石君以上大夫禄归老於家 辄亲见问 勃以织薄曲为生 咎在臣凤 欲令 昭昭以觉圣朝 故孝元世以孝景皇帝及皇考庙亲未尽 《外经》十二卷 莽曰乐庆 推原厥本 弘推其后 赞曰 孝元之后 爵者 自城西南至山西至鄠皆复其田 后数岁 归汉 非也 北游燕 赵 中山 周景王将铸无射钟 留意《亡逸》之戒 而建子千秋亦为少府 太子少傅 且
三角函数的诱导公式
角的三角函数值.
思考: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
－的终边
＋的终边
y
r =1
α O
α的终边
P1(x, y)
cos180 cos 180
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
1. 三角函数诱导公式的推导过程,理解 “函数名不变，符号看象限”
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：
①已知的都是含有角 α 加上一个常量的函数值；
②待求的是含有角α加上一个常量的函数值．
解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简角求值．
π (2)注意 3 ＋α
与
α－53π之间的关系．
π (3)关注 6 ＋α
与76π＋α
之间的关系．
题型三 化简 例 4 化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
＝－sin4π3 ＝－sinπ＋π3 ＝sinπ3 ＝
3 2.
(2)cos269π＝cos4π＋5π6 ＝cos5π6 ＝cosπ－π6
π ＝－cos 6 ＝－
3 2.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
高中数学必修第一册三角函数正弦、余弦函数的图象知识点+例题+习题+解析
正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。
三角函数的诱导公式 课件
公式三
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y
P(x,y)
α
O
x
-α
P(x,-y)
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
α
α
O
x
公式二 公式三 公式四
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
公式一～公式六 叫到诱导公式
例3
证明
:1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin.
1 sin
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
三角函数诱导公式练习题附答案
三角函数诱导公式练习题一、选择题〔共21小题〕1、函数f〔x〕=sin，g〔x〕=tan〔π﹣x〕，那么〔〕A、f〔x〕与g〔x〕都是奇函数B、f〔x〕与g〔x〕都是偶函数C、f〔x〕是奇函数，g〔x〕是偶函数D、f〔x〕是偶函数，g〔x〕是奇函数2、点P〔cos2021°，sin2021°〕落在〔〕A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、，那么=〔〕A、B、C、D、4、假设tan160°=a，那么sin2000°等于〔〕A、B、C、D、﹣5、cos〔+α〕=﹣，那么sin〔﹣α〕=〔〕A、﹣B、C、﹣D、6、函数的最小值等于〔〕A、﹣3B、﹣2C、D、﹣17、本式的值是〔〕A、1B、﹣1C、D、8、且α是第三象限的角，那么cos〔2π﹣α〕的值是〔〕A、 B、C、D、9、f〔cosx〕=cos2x，那么f〔sin30°〕的值等于〔〕A、B、﹣C、0 D、110、sin〔a+〕=，那么cos〔2a﹣〕的值是〔〕A、B、C、﹣D、﹣11、假设，，那么的值为〔〕A、B、C、D、12、，那么的值是〔〕A、B、C、 D、13、cos〔x﹣〕=m，那么cosx+cos〔x﹣〕=〔〕A、2mB、±2mC、D、14、设a=sin〔sin20210〕，b=sin〔cos20210〕，c=cos〔sin20210〕，d=cos〔cos20210〕，那么a，b，c，d的大小关系是〔〕A、a＜b＜c＜dB、b＜a＜d＜cC、c＜d＜b＜aD、d＜c＜a＜b15、在△ABC中，①sin〔A+B〕+sinC；②cos〔B+C〕+cosA；③tan tan；④，其中恒为定值的是〔〕A、②③B、①②C、②④D、③④16、tan28°=a，那么sin2021°=〔〕A、B、C、D、17、设，那么值是〔〕A、﹣1B、1C、D、18、f〔x〕=asin〔πx+α〕+bcos〔πx+β〕+4〔a，b，α，β为非零实数〕，f〔2007〕=5，那么f 〔2021〕=〔〕A、3B、5C、1D、不能确定19、给定函数①y=xcos〔+x〕，②y=1+sin2〔π+x〕，③y=cos〔cos〔+x〕〕中，偶函数的个数是〔〕A、3B、2C、1D、020、设角的值等于〔〕A、B、﹣C、D、﹣21、在程序框图中，输入f0〔x〕=cosx，那么输出的是f4〔x〕=﹣csx〔〕A、﹣sinxB、sinxC、cosxD、﹣cosx二、填空题〔共9小题〕22、假设〔﹣4，3〕是角终边上一点，那么Z的值为．23、△ABC的三个角为A、B、C，当A为°时，取得最大值，且这个最大值为．24、化简：=25、化简：=．26、，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2021〕=．27、tanθ=3，那么〔π﹣θ〕=．28、sin〔π+〕sin〔2π+〕sin〔3π+〕…sin〔2021π+〕的值等于．29、f〔x〕=，那么f〔1°〕+f〔2°〕+…+f〔58°〕+f〔59°〕=．30、假设，且，那么cos〔2π﹣α〕的值是．答案与评分标准一、选择题〔共21小题〕1、函数f〔x〕=sin，g〔x〕=tan〔π﹣x〕，那么〔〕A、f〔x〕与g〔x〕都是奇函数B、f〔x〕与g〔x〕都是偶函数C、f〔x〕是奇函数，g〔x〕是偶函数D、f〔x〕是偶函数，g〔x〕是奇函数考点：函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。
【新课标必修】《三角函数的诱导公式》经典例题
【例1】下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π 【分析】本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．【解】（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=－22. 【例2】求下列各式的值：（1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 【分析】本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．【解】（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 【例3】化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-； （2）sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。
【解析】（1）原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-； （2）①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-。
②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+。
【小结】关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课前回顾】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【课前快练】1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A. 3．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.4．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α5．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点一 三角函数公式的直接应用三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【典型例题】1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A ∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋3310考点二 三角函数公式的逆用与变形用1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1.sin 10°1－3tan 10°＝________. 解析：sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.答案：142．在△ABC 中，若tan A tan B ＝ tan A ＋tan B ＋1, 则cos C ＝________.解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：223．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－15．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换1．迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到凑角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到凑角．2．思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．3．思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．【典型例题】1．(2018·南充模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314， 则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 答案：322．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－726【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 【课后演练】1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 3．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.4．(2018·衡水调研)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2479．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－110．(2018·石家庄质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 答案：15－2611．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋(－3)2＝45，sin α＝－342＋(－3)2＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210. 12．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B 因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. 13．(2018·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 14．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π315．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151616．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 17．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
正弦、余弦的诱导公式
4.5 正弦、余弦的诱导公式高考试题1．（2005年全国卷一）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A ； ②2sin sin 0≤+<B A ；③1cos sin 22=+B A ； ④C B A 222sin cos cos =+；其中正确的是（B ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③提示：tantan cot sin 222A B C C C π+-===，所以cos22sin cos 22sin 2CC C C =，由cos 02C >得21sin 22C =，故得2C π=，A+B 2π=，故②④正确．2．（2005年湖南文）tan600°的值是（D ）A ．33-B ．33C ．3-D ．3提示：00000tan600tan(720120)tan120tan60=-=-=．3．（2004年北京春理）已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（B ） A ．tancot22θθ< B ．tancot22θθ> C ．sincosθθ22<D ．sin cosθθ22>提示：已知有sin 0θ-<，且c o s 0θ->，所以sin 0θ>且cos 0θ<，则对于整数k 有222k k ππθππ+<<+，所以422k k πθπππ+<<+，故得tancot22θθ>．4．（2001全国文）tan300°+cot405°的值是（B ）A ．1＋3 B ．1－3C ．－1－3D ．－1＋3提示：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3．5．（1998年全国）sin600°的值是（D ）A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23提示：sin600°=sin （600°－720°）=sin （－120°）=－22．6．（2002年北京文）2sin 5π，6cos 5π，7tan 5π从小到大的顺序是 ．[答案]6cos 5π＜2sin 5π＜7tan 5π提示：6cos5π＜0，7tan 5π2tan 5π=， ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0，∴2tansin 5π>52π＞0 ， ∴7tan sin 5π>52π6cos 5π>．训练试题1．已知函数()cos 2xf x =，则下列各式成立的是（D ） A ．(2)()f x f x π-= B ．(2)()f x f x π+= C ．()()f x f x -=- D ．()()f x f x -=提示：则cos()cos 22x x-=得正确选项为D ． 2．0000cos225tan 240sin(60)cot(570)++-+-的值为（A ）A ．22--B ．22-+C ．26--D ．26+提示：原式00000000cos(18045)tan(18060)sin60cot(36018030)=+++--++000000cos 45tan 60sin 60cot 30cos 45sin 60=-+--=--，故选A ．3．已知α锐角，且2tan()3cos()702ππαβ--++=，tan()6sin()10παπβ+++-=，则sin α=（C ）A B C D ．13提示：由诱导公式已知即2tan 3sin 7αβ+=，且tan 6sin 1αβ-=，由此解得tan 3α=，1cot3α=，∴sin α==，故选C ． 4．若(cos )cos 2f x x =，则0(sin15)f =（A ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-提示：0(sin15)(cos75)cos1502f f ===-，故选A ． 5．若cos()|cos |x x π-+=，则x 的取值范围是（以下k ∈Z ）（C ） A ．[2,2]22k k ππππ-++ B ．[2,2]k k πππ+ C ．3[2,2]22k k ππππ++ D ．[2,22]k k ππππ++提示：已知即|cos |cos x x =-，∴cos 0x ≤，故选C ．6．0sin(1920)-的值等于（D ）A ．12B ．12-C D ．提示：000000sin(1920)sin1920sin(2406360)sin(18060)-=-=-⨯=+，即原式0sin 60=-，故选D ．7．已知81sin()log 4πα-=，且(,0)2πα∈-，则tan(2)πα-=（B ）A ．5-B ．5C ．5±D ．5提示：已知即2sin 3α=-，∴c o s 3α=，∴tan(2)tan 5παα-=-=，故选B ． 8．已知7tan()6a π=-，23cos 4b π=，33sin()4c π=-，则a 、b 、c 的大小关系是（A ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．a c b >>提示：tan6a π=-=，7cos cos 44b ππ===，sin 4c π=-=选A ．9．π310sin =（C ） A ．21-B ．21 C ．23-D ．23提示：10233ππππ=++，由诱导公式得正确选项为C ． 10．=-)1050cos(0（B ）A ．21B ．23C ．21-D ．23-提示：0000cos(1050)cos(336030)cos30-=-⨯+=，故选B ．11．若αα，01(sin <<-=a a 是第四象限角)，则∈+-k k )(2sin(απZ )的值是（C ） A ．a ±B ．a -C ．aD ．无法确定的提示：sin(2)sin k παα-+=，故选C ．12．A ．B ．C 为三角形的三个内角，则下列各式中错误的是（C ） A ．sin()sin A B C += B ．cos()cos B C A +=- C ．tan()cot A C B +=-D ．tancot 22A B C+=提示：,tan()tan[()]tan()tan A B C A C B B B ππ++=∴+=+-=-=- ，故结论C是错误，选C ．13．sin(－15000)的值是（C ）A ．21-B ．21C ．23-D ．23提示：01500436060-=-⨯-，再由诱导公式得正确选项为C ．14．下列等式成立的是（D ） A ．0sin(180)sin αα-+=- B ．22sin ()sinαπα+=-C ．cos()cos()αβαβ-+=--D ．tan()tan απα-=提示：tan()tan()(tan )αππαα-=--=--，故正确选项为D ．15．已知角α的终边上一点是（43-，），且∈+=k k (2απβZ ），则βsin 的值是（B ）A ．－53B ．－54C ．53D ．54提示：sin sin βα==，所以选B ．16．已知3αβπ+=，则下列式子恒成立的一个是（A ） A ．sin sin αβ= B ．cos cos αβ=C ．sin cos αβ=D ．tan tan αβ=提示：2βππα=+-，利用诱导公式得正确选项为A ．17．若n ∈Z ，则)sin()cos(α-πα+πn n =（B ）A ．α-tanB ．α-cotC ．tan()n α-D ．cot()n α-提示：分n 为奇数偶数两种情况讨论，利用诱导公式得正确选项为B ．18．000tan315tan(300)cot(330)--+-的值是（B ）A ．1B ．1-C ．0D ．2提示：原式=tan 45tan 60cot 301--+=-，所以选B ．19．若sin 74π=t ，则724cos π的值是（B ） A ．21t - B ．21t --C ．21t -±D ．12-t提示：2444coscos(4)cos 777ππππ=-==B ． 20．0tan 300sin 450+的值为（B ）A ．1+B ．1C ．1--D ．1-提示：原式0tan60sin901=-+=+，故选B ．21．当n ∈Z 时，给出下列各式： ①sin )3(π+πn ；②sin ]3)1([π-+πn n ；③sin )32(π±πn ；④cos ]6)1(2[π-+πn n ； 其中值总与3sin π的值相等的式子有（B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个提示：对n 为奇数和偶数时分别讨论可知②④的值与3sinπ相等，故选B ． 22．设角α终边上的一点P 的坐标是(cos ，sin )55ππ，那么角α等于（D ） A ．5π B ．()5k k Z ππ+∈C ．()5k k Z ππ-+∈D ．2()5k k Z ππ+∈提示：cos 0,sin 0,55ππα>>∴ 的终边在第一象限，由三角函数的定义或诱导公式可得正确选项为D ．23．若0cos(100)m -=，则0tan 80等于（B ）A．mB．m-C．mD．m-提示：由已知0cos80m =-，0sin800sin80tan80cos80=，故选B ． 24．已知()cos (*)5x f x x N π=∈，则(1)(2)(3)(2000)f f f f ++++= （B ） A ．1-B ．0C ．1D ．2提示：由诱导公式原式(1)(2)(10)0f f f =+++= ，故选B ．25．已知0cot10k =，则0sin100=（A ）ABCD提示：0sin100=0cos10===，所以选A ．26．19cos()6π-=（D ） A ．12 B ．12-C．2D．2-提示：191955cos()cos cos(4)cos 6666πππππ-==-=，选D ． 27．若sin()cos()2παπα+=-，则α取值的集合是（D ）A ．{|2，}4k k Z πααπ=+∈ B ．{|2，}4k k Z πααπ=-∈C ．{|，}k k Z ααπ=∈D ．{|，}2k k Z πααπ=+∈提示：即cos cos αα=-，∴cos 0α=，选D ．28．已知0tan100a =，则0sin80=（B ）AB．C．aD．a提示：由已知0tan80a =-，∴0a <，且0sin800>，结合三角函数的定义知选B ．29．设12()sin()cos()f x m x n x παπα=+++，其中12、、、m n αα都是非零实数，若(2005)1f =-，则(2006)f =（B ）A ．2-B ．1C ．1-D ．2提示：12(2005)sin()cos()1f m n παπα=+++=-，∴12(2006)sin cos 1f m n αα=+=，选B ．30．若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（A ） A ．cos cos log 0sin C AB > B ．cos cos log 0cosC AB >C ．sin sin log 0sin CAB> D ．sin sin log 0cos CAB>提示：∵,22A B A B ππ+>∴>-，即sin sin(),sin cos 2A B A B π>-∴>，或cos cos(),cos sin 2A B A B π<-∴<，利用对数函数的递减性得正确选项为A ．31．已知0sin110a =，则0cos70=___________．[答案提示：已知即0sin 70a =，由0cos70=得．32．若(4,3)-是角α终边上的一点，则cos(3)tan(4)sin(3)cos(5)απαππααπ--=-+__________．[答案]45-提示：依题意4cos 5α=-，而cos(3)tan(4)(cos )tan cos sin(3)cos(5)sin (cos )απαπαααπααπαα---==-+-． 33．若01cos(75)3α+=，其中α为第三象限角，则00cos(105)sin(105)αα-+-=_____．[答案]提示：01cos(105)cos[180(75)]cos(75)3ααα-=-+=-+=-，而0sin(105)sin[180(75)]sin(75)ααα-=--+=-+=∴001cos(105)sin(105)3αα-+-=--．34．已知cos()1αβ+=-，tan 2α=，则cot β=___________． [答案]12-提示：由已知得2()k k Z αβππ+=+∈，∴11cot cot(2)cot tan 2k βππααα-=+-=-==-． 35．设0000cos(720)sin(540)()sin(360)tan(270)f θθθθθ--=----，则0(1050)f =___________．[答案]12提示：00cos()sin(180)cos sin ()sin sin cot sin()tan(90)f θθθθθθθθθθ--===-----，∴01(1050)sin(1050)sin(336030)sin 302f =-=-⨯-==． 36．化简：（1）0000cos(570)cos120sin315sin(1050)--；（2）sin()cos(3)cos(5)tan(8)παπαπαπα+---．[解答]（1）原式=00000000cos570(cos60)(sin 45)cos 210(cos60)(sin 45)sin1050sin(30)----=---1()(22212-==；（2）原式(sin )(cos )cos (cos )(tan )ααααα--==--．37．若cos()tan(2)1sin()cot(2)2απαππαπα--=--，求tan()πα+的值．[解答]已知即(cos )tan 1sin (cot )2αααα-=-，∴1tan 2α=，∴1tan()tan 2παα+==．35．已知1sin()33πα-=，求sin()6πα+和8sin()3πα+的值．[解答]sin()sin[()]cos()6233ππππααα+=--=-==；81sin()sin[3()]sin()3333πππαπαα+=--=-=． 38．已知1sin 3β=，sin()1αβ+=，求sin(23)αβ+的值．[解答]由sin()1αβ+=得2()2k k Z παβπ+=+∈，∴224()k k Z αβππ+=+∈，∴1sin(23)sin(4)sin 3k αβππββ+=++=-=-． 39．设()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++，其中,,,a b αβ都是非零实数，若(2005)5f =，求(2006)f 的值．[解答]∵(2005)sin(2005)cos(2005)4f a b παπβ=++++sin()cos()4sin cos 4a b a b παπβαβ=++++=--+，而(2006)sin(2006)cos(2006)4f a b παπβ=++++sin cos 4a b αβ=++，∴(2005)(2006)4f f +=，由(2005)5f =得(2006)3f =．40．已知sin()cos()()32ππαπααπ--+=<<，求： （1）sin cos αα-的值；（2）33sin (2)cos (2)παπα-+-的值．[解答]已知即sin cos ()2παααπ+=<<；（1）上式两边平方可得72sin cos 9αα=-，且sin 0,cos 0αα><，∴4sin cos 3αα-===； （2）由（1）7cos sin 18αα=-，4cos sin 3αα-=-， ∴3333sin (2)cos (2)cos sin παπααα-+-=-22722(cos sin )(sin cos sin cos )(1)31827αααααα4=-++=--=-．41．设k ∈Z ，求证：sin()cos()1sin[(1)]cot[(1)]k k k k απαππαπα-++=-+++-．[解答]当2()k n n Z =∈时，左边=sin(2)cos(2)sin cos 1sin[(21)]cot[(21)]sin (cos )n n n n απαπααπαπααα-++-==-+++---=右边；当21()k n n Z =+∈时， 左边sin[(21)]cos[(21)]sin (cos )1sin[(22)]cot[(22)]sin cos n n n n απαπααπαπααα-++++-===-=+++-右边；综合知原命题成立．42．若tan()cot()||csc(3)cos()tan(3)πααπαππαπα+--=-----，求α的取值范围．[解答]原式化为tan (cot )1||(cos )(tan )sin ααααα-=---，即11||sin sin αα=-， ∴sin 0α<，又2()2k k Z παπ≠-+∈，∴222k k πππαπ-+<<-+，或222k k ππαπ-+<<（k ∈Z ）即为所求的范围．43．设函数cot()sin(2)()cos()tan(3)x x f x x x πππ--+=--．（1）若()f α=α； （2）若cos (||1)a a α=<，求()f α.[解析]从已知条件和欲求结论看，首先应该用诱导公式对已知函数化简变形，在运用诱导公式时注意将已知公式中的角度表示换成对应的弧度表示：由已知cos()sin cos ()cot cos (tan )sin x x xf x x x x x--===--，（1）∵()f α=cot x =cot()cot ()k k Z παα+=∈成立，且cot33π=，∴(3k k παπ=+∈Z ）；（2）若cos a α=，且||1a <，则终边不在x 轴上，4.5正弦、余弦的诱导公式 第 11 页 共11页黄冈理科电子题库 ∴sin α==α在第一、二象限时取“+”号，当α在第三、四象限时取“-”号，下同），∴cot α==. 44．已知角α终边上的一点是P 43(，)55m m -，且5sin()cot(7)02παπα++<，求33sin cos αα+的值.[解答]25cos sin()cot(7)cos cot 02sin πααπαααα++==<，且45m -与35m 异号， ∴α是第四象限的角，∴0m <，故1||PO m==-， ∴3sin ||5y PO α==-，4cos ||5x PO α==，1sin cos 5αα+=， ∴3311237sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)525125αααααα+=+-=+=. 45．是否存在角、αβ，当(，)22ππα∈-，(0，)βπ∈时，使得两个等式：sin(3))2ππαβ-=-))απβ-=+同时成立？若存在，求出对应的、αβ的值；若不存在，请说明理由. [解答]已知条件即sin αβαβ⎧=⎪=，将两式平方后相加得22sin 3(1sin )2αα+-=，即21sin 2α=，∴sin α=， ∵(，)22ππα∈-，∴4πα=，或4πα=-；当4πα=αβ得cos β=，∵(0，)βπ∈，∴6πβ=； 当4πα=-时，同理可得cos β=，6πβ=； 于是在指定的范围内存在46παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或46παπβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩使得两个等式同时成立.。
考点06 诱导公式及恒等变换(新高考地区专用)(解析版)
考点06 诱导公式及恒等变换一．三角函数的诱导公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β三．二倍角公式（1）sin 2α＝2sin αcos α ↔12sin 2α＝sin αcos α （2）cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α 222212cos 1cos2cos 1cos 2212sin 1cos 2sin 1c =22=os α⇔αααααααα⇔＋＝（＋）－＝（－）（3）tan 2α＝2tan α1－tan 2α知识理解考向一 诱导公式【例1】（2020·四川射洪中学高三月考（理））已知角α的终边经过点()12,5P -. （1）求sin α，cos α；（2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【解析】（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919f α=【举一反三】考向分析1．（2020·全国高三专题练习）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-. 【答案】cos α-.【解析】3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-cos sin cos sin cos sin sin ααααααα-⨯=⨯cos α=-. 2．（2020·全国高三专题练习）若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-. （1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值.【答案】（1）6-；（2）45. 【解析】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()sin cos (sin )(sin )2sin tan cos (tan )cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-----，由（1）可得10r ==，84sin 5r α-==-，所以原式4sin 5α=-=. 3．（2020·全国高三专题练习）已知角α的终边经过点1(,33P -- （1）求sin ,cos ,tan ααα的值；（25sin(3)2cos()ππαα-++ 【答案】（1）1sin ,tan 3ααα==-=2） 【解析】（1）由题意角α的终边经过点1(,3P -，可得1r OP ==，根据三角函数的定义，可得1sin ,tan 33ααα=-=-=. （25sin(3)2cos()ππαα-++=tan (14α===-⨯=. 考向二 恒等变化【例2】（1）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒等于（ ） A． B ．12-C ．12D（2）（2020·甘肃高二单元测试）sin15︒=( ) ABCD（3）（2019·广东华南师大附中高三月考（理））若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】（1）A （2）C （3）B【解析】（1）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒()cos 80130cos 210=+= ()cos 18030=+cos30=-=-.故选：A （2）∈154530︒=︒-︒，∈()1sin15sin 4530sin45cos30cos45sin302︒=︒-︒=︒︒-︒︒==C ． （3）由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅， 又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-.故选：B. 【举一反三】1．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ） A． B ．12-C ．12D【答案】C【解析】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。
高一数学-教材习题解析(正弦、余弦的诱导公式) 精品
［教材习题解析］方法点拔练习（第32页）解析：（1）sin53π=sin （π－52π）=sin 52π=sin72°≈0.9511. （2）cos100°21′=cos （180°－79°39′）=－cos79°39′=－cos79.65°≈－0.1797.（3）sin3631π=sin （π－365π）=sin 365π=sin25°≈0.4226. （4）cos324°32′=cos （360°－35°28′）=cos35°28′=cos35.47°≈0.8144.3.（1）－23；（2）22；（3）－0.2116；（4）－0.7587. 解析：（1）cos 665π=cos （65π＋10π）=cos 65π=cos （π－61π）=－cos 61π=－23.（2）sin （－431）π）=－sin 431π=－sin （8π－41π）=sin 41π=22.（3）cos （－1182°13′）=cos1182°13′ =cos （102°13′＋3×360°）=cos102°13′=cos （180°－77°47′）=－cos77°47′ =－cos77.783°≈－0.2116.（4）sin670°39′=sin （310°39′＋360°）=sin310°39′ =sin （360°－49°21′）=－sin49°21′ =－sin49.35°≈－0.7587.4.（1）－cos 2α；（2）cos 2α＋αcos 1.解析：（1）原式=)πsin()]π(cos[αα---·sin （－2π＋α）cos （－α）=ααsin cos -·sin αcos α=－cos 2α. 3π2与32π的含义是一样的，不必统一，但在同一题目中最好要用同一形式.先用诱导公式转化成锐角的三角函数，再用计算器求值.求值时要先把分、秒化成度，保留它的原始形式直接求值.对于负角的三角函数可先用公式三化成正角，再用其他诱导公式去化简求值.利用诱导公式化简三角函数式.（2）原式=cos 2α－ααsin tan -=cos 2α＋αcos 1.习题4.5（第33页）1.（1）－23；（2）－0.9940；（3）23；（4）23；（5）－0.7660；（6）－0.2493.解析：（1）cos210°=cos （180°＋30°）=－cos30°=－23（2）sin263°42′=sin （180°＋83°42′）=－sin83.70°≈－0.9940. （3）cos （－6π）=cos 6π=23.（4）sin （－35π）=－sin （2π－31π）=sin 31π=23.（5）cos （－911π）=cos 911π=cos （π＋92π）=－cos 92π=－cos40°=－0.7660.（6）cos （－104°26′）=cos104°26′=cos （180°－75°34′）=－cos75°34′≈－0.2493.2.（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9963；（6）－23.解析：（1）cos （－417π）=cos 417π=cos （4π＋4π）=cos 4π=22.（2）sin （－1574°）=－sin （134°＋4×360°） =－sin （180°－46°）=－sin46°≈－0.7193.（3）sin （－2160°52′）=－sin （52′＋6×360°）=－sin52′≈－0.0151.（4）cos （－1751°36′）=cos1751°36′=cos （－48°24′＋5×360°）=cos （－48° 24′）=cos48.4°≈0.6639.（5）cos1615°8′=cos （175°8′＋4×360°）=cos175°8′=cos （180°－4°52′）=－cos4°52′≈－0.9963.（6）sin （－326π）=－sin 326π=－sin （32π＋8π）=－sin 32π=－sin （π－31π）=－sin 31π=－23.3.（1）0；（2）－cos 2α. 解析：（1）原式=－sin1071°sin99°＋sin171°sin261°=－sin （－9°＋1080°）sin （180°－81°）＋sin （180°－9°）sin （180°＋81°）特殊角的三角函数可直接写出结果，非特殊角的三角函数可使用计算器写出结果，可把运算结果精确到0.0001.使用计算器求值时，要注意调节计算器上的DRG 键.当其左上角出现DEG 字符时，表示角度制下的求值；当左上角出现RAD 字符时，表示弧度制下的求值.利用诱导公式化简三角函数式的关键是把角转化成α＋k ·360°（k ∈Z ），－α，180°±α，360°－α的形式.用诱导公式化简时要注意函数值的符号.=－sin（－9°）sin81°＋sin9°（－sin81°）=sin9°sin81°－sin9°sin81°=0.（2）原式=1＋sinα（－sinα）－2cos2α=1－sin2α－2cos2α=cos2α－2cos2α=－cos2α.。
正弦、余弦的诱导公式
正弦、余弦的诱导公式一．已知角求三角函数值的问题1. 利用诱导公式化简求值 ⑴︒--︒︒⋅︒-170cos 110cos 10cos 10sin 212；⑵()()αππαπαπα-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--2tan 23tan 2cos 5sin 2. 求()Z n n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππππ34cos 322sin 的值 二．给值（或式）的求值问题1.已知()3175cos =+︒α，其中α为第三象限角，求()()︒-+-︒105sin 105cos αα的值。
2.已知2127sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，并且()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322，求()πα7sin 1-的值. 3.已知()539cos ,2-=-<<πθπθπ，求()θπ-10tan 的值。
4.已知()()βπαπ+=-2sin 23sin ，()()βπα+-=-cos 2cos 3，并且πα<<0，πβ<<0，求βαsin ,sin 的值。
三．利用诱导公式进行化简1.化简：⑴()()()()απαππαπα+--⋅-sin 2tan 2tan cos ； ⑵()()()()()()αααααα+︒⋅-︒⋅-︒--⋅-︒--180tan 360cos 180sin tan 360tan sin 2； ⑶()()()2cos cos sin 2+-⋅--+ααπαπ2.化简：⑴()()()()()()αππααπαπαπαπ-⋅-⋅--⋅--⋅-5sin cos 2cos 6cos 2sin 2sin ； ⑵()()()[]()[]απαπαπαπ-+⋅+++-1cos 1sin cos sin k k k k )(Z k ∈ 四．利用诱导公式证明三角恒等式1. 已知()1sin =+βα，求证：()0tan 2tan =++ββα五．诱导公式在αα±︒±︒270,90角的计算问题中的应用1.计算：+︒+︒+︒3sin 2sin 1sin 222…︒+90sin 2的值。
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正弦、余弦的诱导公式典型例题
正弦、余弦的诱导公式例题讲析
例1．求下列三角函数的值
(1) sin240º；(2) ；
(3) cos(-252º)；(4) sin（- ）
解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=
(2)；
(3) cos(-252º)=cos252º=
cos(180º+72º)=－cos72º=－0.3090；
(4) sin（- ）=－sin =－说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例
中的（3）可使用计算器或查三角函数表．
例2．求下列三角函数的值
(1)sin(-119º45′)；(2)cos ；
(3)cos(-150º)；(4)解：(1)sin(－
119º45′)=－sin119º45′=－
sin(180º-60º15′)= －sin60º15′=－0.8682
(2)( )(3)cos(-150º)=cos150º=cos(180&ord m;-30º) =－cos30º= ；
(4)( )=－说明：本题是公式四、五的直接应用，通
过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的
值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用
计算器或查三角函数表．
例3．求值：－cos －略解：原式=-sin -cos --sin -cos ++cos ++ +0.3090090 .
说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧
度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合
题．利用公式求解时，应注意符号．
例4．求值：
(-1200º)cos1290º+cos(-1020º)sin(-1 050º)+tan855º.
解：原式＝－
sin(120º+3360º)cos(210º+3360º)
+cos(300º+2360º)[-sin(330º+2360&or dm;)]+tan(135º+2360º)
＝－sin120ºcos210º－
cos300ºsin330º+tan135º
＝－sin(180º－
60º)cos(180º+30º)－ cos(360º
－
60º)sin(360º-30º)+0ºcos30&ord m;+cos60ºsin30º－tan45º
= + -1
=0
说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有
综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱
导公式在求值中的应用．值得指出的是教材中的诱导公
式未介绍正切，因此，计算tan135º的值时应先用
商数关系把tan135º改写成 ,再将分子分母分别用
诱导公式进而求出tan135º的值．
例5．化简：
略解：原式说明：化简三角函数式是诱导公式的又
一应用，应当熟悉这种题型．
例6．化简：
解：原式说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，
难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2 的整数倍才能利用诱导公式一．
例7．求证：
证明：左边，
右边= = ，
所以，原式成立．
例8．求证
证明：左边＝
＝
＝tan3α＝右边，
所以，原式成立．
说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．
例9．已知．求：的值．
解：已知条件即，又，
所以：说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．
例10．已知 ,
求: 的值.
解：由，得
，
所以
故＋tan ＋2tan2+
说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．
例11．已知的值．
解：因为，
所以： = ＝－m
由于所以
于是： = ，
所以：tan(说明：通过观察，获得角与角之间的关系式 = -（），为顺利利用诱导公式求cos( )的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．
例12．已知cos ，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos 的值．
解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，
所以： = ，
于是 2（）=
从而
所以说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的 = ，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将 = 代入，那么未知和已
知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求
值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的
观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨
益．。