安徽省蚌埠市2020届高三9月第一次教学质量检查(理) 答案

４ ３
＝２７４……………
５分
（２）由（１）得 ｓｉｎＡ＝２７５，ｓｉｎＢ＝４ ５，且 ０＜Ａ＜Ｂ＜π２，
∴ｃｏｓＡ＝２ ２４５，ｃｏｓＢ＝３ ５ ………………………………………………………………… ７分
ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝２７５·
３ ５
＋２２４５·
４ ５
＝１１２１５７
１７（１０分）
解：（１）∵ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝４ ５，０＜Ａ＜Ｂ＜π，所以 －π＜Ａ－Ｂ＜０，
∴ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝－３ ５，ｔａｎ（Ａ－Ｂ）＝－３ ４ ……………………………………………… ２分
∴ｔａｎＡ＝ｔａｎ［（Ａ－Ｂ）＋Ｂ］＝１ｔａ－ｎ（ｔａＡｎ（－ＡＢ－）Ｂ＋）ｔｔａａｎｎＢＢ＝１－（－－３４３４＋）４３·
∴ＡＥ∥ＤＦ，又 ＡＥ平面 ＰＤＣ，ＤＦ平面 ＰＤＣ， ∴ＡＥ∥平面 ＰＤＣ …………………………………………………………………… ５分 （２）（方法一）∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ，ＡＤ⊥平面 ＰＡＢ， 由题意知 ΔＰＡＢ为等边三角形， 以 Ａ为坐标原点，如图建系， Ａ（０，０，０），Ｄ（０，０，１），Ｂ（０，２，０），
( ) Ｐ（槡３，１，０），Ｃ（０，２，２），Ｅ 槡２３，３ ２，０


ＤＣ＝（０，２，１），ＰＤ＝（－槡３，－１，１），
( ) ＤＥ＝ 槡３，３，－１，…………………… ８分 ２２
设平 面 ＰＤＣ的 法 向 量 为 ｍ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则
{ ＤＣ·ｍ ＝２ｙ＋ｚ＝０， ＰＤ·ｍ ＝－槡３ｘ－ｙ＋ｚ＝０．
Ｓ△ＥＡＢ ＝１ ２ ×ｐ×２ｐ＝ｐ２＝４，解得 ｐ＝２，
故抛物线 Ｃ的方程为 ｙ２＝４ｘ………………………………………………………… ６分
（２）（方法一）设
Ａ（ｘ０，ｙ０），Ｂ（ｘ０，－ｙ０），则直线
ＥＢ的方程为
ｙ＝－ ｙ０ （ｘ＋ｐ），
ｘ０
＋ｐ ２
２
{ｙ２＝２ｐｘ
联立方程， ｙ＝－ｘ０ｙ＋０２ｐ（ｘ＋２ｐ），消去 ｘ，
１０００ ５
１０００ ２５
１０００ ２５
１０００
１１０，Ｐ（Ｘ＝１５）＝１１０００００＝１１０…………………………………………………………… ５分 所以 Ｘ的分布列为：
Ｘ
５
８
１１
１４
１５
Ｐ（Ｘ）
３ ５
３
２
１
１
２５
２５
１０
１０
Ｅ（Ｘ）＝５×３ ５＋８×２３５＋１１×２２５＋１４×１１０＋１５×１１０＝３５８０７＝７７４………………… ７分
得关于
ｙ的方程２ｙｐ０ｙ２
＋（ｘ０
＋ ｐ）ｙ＋ｐｙ０ ２２
＝０，……
……………………………
………
８分
该方程有一个根 －ｙ０，两根之积为 ｐ２，
( ) 则另一个根为 －ｐ ｙ２ ０，所以点 Ｄ的坐标为 ２ｐｙ３２ ０，－ｐ ｙ２ ０
直线 ＡＤ的斜率为ｘｙ００－＋２ｐ ｙｐｙ２ ０３２ ０ ＝２ｙｙｐ２ ００－＋２ｐ ｙｐｙ２ ０３２ ０ ＝ｙ２２ ０ｐ－ｙ０ｐ２，……………………………………… １０分
由①②得 ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ） ……………………………………………………………… １２分
（方法二）令
ｈ（ｘ）＝ｘｅｘ－ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０， ｅ
( ) 则
ｈ′（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｅｘ－１－１ ＝（ｘ＋１）ｅｘ－ｘ＋１＝（ｘ＋１）
ｅ
ｘ
ｅ
ｘ
ｅｘ－１
－１ｘ
，………………
７分
令 Ｈ（ｘ）＝ｅｘ－１－１ｘ，易知 Ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单增，且 Ｈ（１）＝０，
ｙ－ａｌｎｘ０ ｘ０
＝ａ（１ｘ－０ｌ２ｎｘ０）（ｘ－ｘ０），即
ｙ＝ａ（１ｘ－０ｌ２ｎｘ０）ｘ＋２ａｌｎｘｘ００
－ａ ……………
………
２分
蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案及评分标准第３页（共４页）
{从而
ａ（１－ｘ２ ０ｌｎｘ０）＝１，
２ａｌｎｘ０
－ａ ＝－１
ｘ０
消去 ａ得：ｘ０－１＋ｌｎｘ０－２ｘ０ｌｎｘ０＝０， ………………………………………………… ３分
记 ｍ（ｔ）＝ｔ－１＋ｌｎｔ－２ｔｌｎｔ（ｔ＞０）
则 ｍ′（ｔ）＝１ｔ－２ｌｎｔ－１，显然 ｍ′（ｔ）单调递减且 ｍ′（１）＝０，
所以 ｔ∈（０，１）时，ｍ′（ｔ）＞０，ｍ（ｔ）单增，ｔ∈（１，＋∞）时，ｍ′（ｔ）＜０，ｍ（ｔ）单减，
故 ｍ（ｔ）当且仅当 ｔ＝１时取到最大值，而 ｍ（１）＝０，
因而方程 ｘ０－１＋ｌｎｘ０－２ｘ０ｌｎｘ０＝０有唯一解 ｘ０＝１，此时 ａ＝１， 所以 ａ＝１，切点为（１，０） ……………………………………………………………… ６分
（２）（方法一）记 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－ｘ， （ｘ＞０），则 Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１－１
当 ｘ∈（１，＋∞）时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增；
当 ｘ∈（０，１）时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减，
∴Ｆ（ｘ）≥Ｆ（１）＝１－１＝０，∴ｅｘ－１≥ｘ，即 ｇ（ｘ）≥ｘ－１① …………………………… ９分
…………………
８分
∵ｂ＝２
ｓｉａｎＡ＝ｓｉｎｂＢ＝ｓｉｎｃＣ＝２ ４ ＝５ ２，
５
∴ａ＋ｂ＋ｃ＝５ ２（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ）＋２＝５ ２（２７５＋１１１２７５）＋２＝７２６５＋２＝１２２５６
即△ＡＢＣ的周长为１２２５６……………………………………………………………… １０分
１８（１２分） 解：（１）∵Ｓｎ－２Ｓｎ－１＝ｎ（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ）， ∴Ｓｎ＋１－２Ｓｎ＝ｎ＋１， 两式相减得 ａｎ＋１－２ａｎ＝１（ｎ≥２），…………………………………………………… ２分 又（ａ１＋ａ２）－２ａ１＝２且 ａ１＝１，解得 ａ２＝３，所以 ａ２－２ａ１＝１． ∴ａｎ＋１ －２ａｎ＝１（ｎ∈Ｎ ）， ∴ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１），………………………………………………………………… ４分 又 ａ１＋１＝２≠０， 所以数列｛ａｎ＋１｝是首项为 ２，公比为 ２的等比数列 ……………………………… ６分 （２）由（１）知 ａｎ＋１＝２ｎ∴ａｎ＝２ｎ－１， 则 ｂｎ＝ｌｏｇ２（ａｎ＋１）ａｎ＋１＝ｎ·２ｎ，……………………………………………………… ８分 Ｔｎ＝２＋２·２２＋３·２３＋… ＋ｎ·２ｎ， ① ２Ｔｎ＝２２ ＋２·２３ ＋３·２４ ＋… ＋ｎ·２ｎ＋１， ② ① －②得：－Ｔｎ＝２＋２２ ＋２３ ＋… ＋２ｎ－ｎ·２ｎ＋１， 故 Ｔｎ＝（ｎ－１）·２ｎ＋１＋２．…………………………………………………………… １２分
( ) （２）依题意得 ξ～Ｂ ３，３ ５ ，………………………………………………………………… ９分
所以 Ｐ（ξ２）＝Ｐ（ξ＝２）＋Ｐ（ξ＝３）
( ) ( ) ( ) ＝Ｃ２ ３
３２ ５
２ ５
＋
３ ５
３＝３×９ ×２ ＋２７＝８１ ２５ ５ １２５ １２５
…………………………………
Baidu Nhomakorabea１２分
２１（１２分）
欲证 ｅｘ－１－１≥ｌｎｘｘ，只需证明 ｘ≥ｌｎｘｘ＋１，即 ｘ２－ｘ－ｌｎｘ≥０
记 Ｇ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－ｌｎｘ，则 Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－１－１ｘ＝（ｘ－１）（ｘ２ｘ＋１）
从而 ０＜ｘ＜１时，Ｇ′（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）单调递减，
ｘ＞１时，Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）单调递增，
所以，Ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝Ｇ（１）＝０，可得 Ｇ（ｘ）≥０，即 ｅｘ－１－１≥ｌｎｘｘ，
记 Ｇ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），
则
Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－１－１ ＝２ｘ２ ｘ
－ｘｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ２ｘ＋１）
∴ｘ∈（０，１）时，Ｇ′（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）单调递减；
ｘ∈（１，＋∞）时，Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）单调递增
∴Ｇ（ｘ）≥Ｇ（１）＝０，即 ｘ２－ｘ≥ｌｎｘ，∴ｘ－１≥ｌｎｘｘ即 ｘ－１≥ｆ（ｘ） ②
令 ｙ＝１，则ｍ ＝（－槡３，１，－２），…………………………………………………… １０分
设直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角为 θ，
ｓｉｎθ＝
ＤＥ·ｍ ＤＥ · ｍ
＝－槡３ ２８·＋槡３ ２４＋２＝槡４２，
即直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角的正弦值为槡４２ ………………………………… １２分
（方法二）∵ΔＰＡＢ为等边三角形，Ｅ为线段 ＰＢ的中点，∴ＡＥ⊥ＰＢ ∵ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ，∴ＢＣ⊥ＡＥ，ＢＣ∩ＰＢ＝Ｂ∴ＡＥ⊥平面 ＰＢＣ， ∵ＤＦ∥ＡＥ，ＤＦ⊥平面 ＰＢＣ， ＤＦ平面 ＰＤＣ，∴平面 ＰＤＣ⊥平面 ＰＢＣ，………………………………………… ９分 过 Ｅ点作 ＥＨ⊥ＰＣ于 Ｈ，连接 ＤＨ，则 ＥＨ⊥平面 ＰＤＣ，
解：（１）由题意，△ＥＡＢ是等腰直角三角形，且 ＥＡ⊥ＥＢ
蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案及评分标准第２页（共４页）
不妨设点 Ａ位于第一象限，则直线 ＥＡ的方程为 ｙ＝ｘ＋２ｐ，
{ { ｙ２＝２ｐｘ
联立方程， ｙ＝ｘ＋ｐ，解得
ｘ＝２ｐ，
２
ｙ＝ｐ
所以点 Ａ（２ｐ，ｐ），Ｂ（２ｐ，－ｐ），Ｅ（－２ｐ，０） ………………………………………… ３分
所以当 ０＜ｘ＜１时，Ｈ（ｘ）＜０，从而 ｈ′（ｘ）＜０；
当 ｘ＞１时，Ｈ（ｘ）＞０，从而 ｈ′（ｘ）＞０，
即 ｈ（ｘ）在（０，１）单减，在（１，＋∞）单增，
则 ｈ（ｘ）的最小值为 ｈ（１）＝０， ……………………………………………………… １０分
所以当 ｘ＞０时，ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０，即ｘｅｅｘ－ｘ－ｌｎｘ≥０，
１９（１２分）
证明：（１）取 ＰＣ的中点 Ｆ，连接 ＤＦ，ＥＦ，因为 Ｅ为线段 ＰＢ的中点，
∴ＥＦ∥ＢＣ，且 ＥＦ＝１ ２ＢＣ＝ＡＤ，
∵ＡＤ∥ＢＣ ∴ＥＦ瓛ＡＤ， ………………………………………………………… ２分
∴四边形 ＥＦＤＡ为平行四边形
蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案及评分标准第１页（共４页）
( ) 所以 ＡＤ的方程为 ｙ－ｙ０＝ｙ２２ ０ｐ－ｙ０ｐ２
ｘ－ｙ２ ０ ， ２ｐ
( ) 化简得 ｙ＝ｙ２２ ０ｐ－ｙ０ｐ２ ｘ－２ｐ ，
( ) 所以直线 ＡＤ过定点 ２ｐ，０ ……………………………………………………… １２分
（方法二）设 Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），Ａ（ｘ１－ｙ１），直线 ＢＥ的方程为 ｘ＝ｎｙ－２ｐ，
∴∠ＥＤＨ即为直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角，易得 ＥＨ＝槡２２，ＤＥ＝２，
在 ＲｔΔＥＨＤ中，ｓｉｎ∠ＥＤＨ＝Ｅ ＤＨＥ＝槡４２
∴直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角的正弦值为槡４２ ………………………………… １２分
２０（１２分）
解：（１）由题意知，Ｘ的可取值为 ５，８，１１，１４，１５，因此，
Ｐ（Ｘ＝５）＝６００＝３，Ｐ（Ｘ＝８）＝１２０＝３，Ｐ（Ｘ＝１１）＝ ８０ ＝２，Ｐ（Ｘ＝１４）＝１００＝
∴ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ） ……………………………………………………………………… １２分
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案及评分标准第４页（共４页）
蚌埠市 ２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题： 题 号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ
二、填空题：
１３７ ３ １４２ １５４６０８０ １６２ｌｎ２
三、解答题：
ｅｅｘ≥ｌｎｘｘ＋１，即 ｅｘ－１－１≥ｌｎｘｘ，∴ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）……………………………………… １２分
（方法三）记 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｅｘ，则 Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－ｅ，
显然 Ｆ′（１）＝０，且 ｘ＜１时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减，
ｘ＞１时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增，
所以 Ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝Ｆ（１）＝０，故 Ｆ（ｘ）≥０，等号成立当且仅当 ｘ＝１ 故 ｅｅｘ≥ｘ，等号成立当且仅当 ｘ＝１…………………………………………………… ８分
{ ｙ２ ＝２ｐｘ
联立方程， ｘ＝ｎｙ－ｐ，消去 ｘ， ２
得关于 ｘ的方程 ｙ２－２ｎｐｙ＋ｐ２＝０，所以 ｙ１＋ｙ２＝２ｎｐ，ｙ１ｙ２＝ｐ２，…………………… ８分
( ) ( ) 则
ｋＡＤ
＝ｙ２ ＋ｙ１ ｘ２ －ｘ１
＝
２ｎｐ ｎｙ２－２ｐ － ｎｙ１－２ｐ
＝ ２ｐ ， ｙ２ －ｙ１
直线 ＡＤ的方程为 ｙ＝ｙ２２－ｐｙ１（ｘ－ｘ２）＋ｙ２， ………………………………………… １０分
( ) 化简得
ｙ＝ ２ｐ ｘ－ ２ｐｘ２ ＋ｙ２ ２ －ｙ１ｙ２ ｙ２ －ｙ１ ｙ２ －ｙ１ ｙ２ －ｙ１
＝ ２ｐ ｙ２ －ｙ１
ｘ－２ｐ
，
( ) 所以直线 ＡＤ过定点 ２ｐ，０ ……………………………………………………… １２分
２２（１２分）
( ) 解：（１）设切点为 ｘ０，ａｌｘｎ０ｘ０ ，则切线为