数学建模论文赏析-棒球队最佳击球点

➢ 整个碰撞过程中运动员对球棒作用力的大小
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初步合理的假设
➢ 球在整个过程中不旋转
➢ 碰撞时球的速度方向和球棒的长度方向垂直
➢ 这个过程就只发生这一个平面内
➢ 不同的持棒方式对球的运动无影响
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并假设了这个过程中损失的主要能量用来产生了振动。 这个模型还引出了很多问题，比如：
• 频率的确定； • 木质材料能量的损失； • 所谓的自由摆动的球棒就能代表实际中的球棒吗？ 【Cross 1999】模型——忽略了球的旋转但研究了碰
碰撞过程中相对于零点的位移，一开始时
为正， 为负，并令
用
取代 ，一开始时
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滞后曲线的引入
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图像分析
表示球和棒之间处于压缩状态，
表示球和棒之间处于恢复过程状态。
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模型把径向位移微分，每一小段为
其中动态变量是从 到 ，其中我们认为球棒左 端封闭时有：
球棒左端不封闭时有：
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增加相对位置变量
为球开始时相对于零点的位移， 为球
当
所受外力就为零了。
因此球的运动方程可写为：
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模型模拟与分析
选取一个固定的碰撞点（离球棒的把手60cm） 模拟压缩情况（受力与时间的关系）：
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球棒材料等物理量对球速的影响
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密度变量的影响
上图是在球棒的转动惯量为：
，杨
氏模量为：
，质量为：
球的初速度为：
，球的质量
为： 。上图中实线表示密度为：
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Brody的刚体动力模型正确的验证了最佳点不 存在于球棒的末端，但是球棒并不是一个刚体 模型
Nathan的缺点在于过分强调单独的振动模式 的分开。
Cross模拟了铝棒的影响，相互作用的球棒， 用伯努利方程模拟波的传播、球在不断变化过 程中的影响。
上。为什么这个点不在棒球棒的最末端？构建一个模 型帮助解释实际当中的这个发现。
➢ 有一些棒球手相信在最佳击球点添充上软木塞可以提 高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充上软 木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确认或者否定该结 论。这个解释是否可以解释为什么棒球联盟否定这种 做法。
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线性动量守恒： 角动量守恒： 定义恢复系数：
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有效质量：
解得：
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公式中的变量意义：
符号
含义
棒球的质量
球棒的质量
碰撞后球棒的线速度
碰撞后球棒的角速度
碰撞前球棒的角速度
碰撞后球的速度
球棒的转动惯量
球棒质心到碰撞点的距离
碰撞前球的速度
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撞产生的波在球棒中的传播，能够找出最佳点。
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选择一个简单模型初步研究
【Brody 1986】刚体模型——我们假设球棒是 一个刚体，因为球-棒碰撞时间极短（1ms 左 右）。根据碰撞过程时间极短就近似认为碰撞 时动量守恒，得出方程：
球棒形状的改变
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杨氏模量的改变
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变量结果分析
➢ 不管是改变球棒材料的密度，还是改变杨氏模 量，模型的最佳点都没改变；
➢ 当适当的增大球棒的材料密度会使最佳点的范 围有一定增大；
结论：
球棒过长导致球的离棒速度都减小，不管 是末端封闭，还是末端不封闭的球棒。并且最 佳点有所偏移了。
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棒的初始角速度对不同模型的球离棒速度 的影响
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铝质球棒的模拟
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球棒的对比分析
➢ 木质球棒是中空，壁厚为1cm 到1.5cm，其产 生的效果和之前用来模拟的棒产生的效果稍微 好点但并不明显。而用木质球棒的好处就在于 改变了球棒的而质量和转动惯量。
➢ 铝质球棒也是中空，壁厚为0.3cm,密度为
用典型的规定的棒球参数分析最佳点：
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得出如下图形：
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图形结果分析：
➢ 球的最大离棒速度 27 m/s; ➢ 碰点到质心的距离13cm; ➢ 影响球速的因素太多
杨氏模量为
，其产生的效果比木
质球棒产生的效果要好点，且最佳点的范围有 所扩大。
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箍的增加
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➢ 箍的位置就在之前找出的最佳点处；
➢ 模型中用具有不同固有频率的材料做成的箍进 行模拟；
当球棒击球时，能量的转换形式是：动能 势 能 动能，在能量的转化中会有一部分能
量的损失，也就是说球的碰撞是无弹性的。球 和球棒在碰撞前后的相对比例就是恢复系数e。 当e=0时代表完全无弹性的碰撞；当e=1时， 代表完全弹性的碰撞。
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模型的建立
➢ 用欧拉—伯努利方程解决球-棒碰撞过程中球 棒的问题；
➢ 用滞后曲线解决了球的滞后曲线的引入问题；
➢ 并强调了碰撞时间以及波在球棒中的传播；
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The Sweet Spot: A Wave Model of Baseball Bats
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整体思路
➢ 问题重述； ➢ 模型的建立与求解； ➢ 球棒的选择； ➢ 结论的得出； ➢ 优缺点分析。
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问题重述
➢ 每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击 球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球
模型的分析和对比
[Brody 1986] 模型——这个模型认为球的最佳 点在棒的中心并假设这个球是一个刚体。击球 时对运动员的手产生最小的震动，也得到球最 大离棒速度。
[Nanthan 2000] 模型——这个模型预测了所谓 最佳击球点位于两节点之间自然频率最低的地 方。他是假设了球棒是一个自由摆动的物体， 它的摆动可以任意分解在一些基本方向上。
➢ 在本文中主要强调了碰撞时间以及波在球棒中 的传播；
➢ 在文中主要用图像模拟来研究各种变量对最佳 点的而影响；
➢ 还有就是得出了铝质球棒的最佳点范围相对木 质球棒较宽。
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文章的局限性
➢ 球认为是不旋转的；
➢ 且假设球-棒碰撞为垂直碰撞；
➢ 增大球棒的杨氏模量也会使最佳点范围有适度 变宽；
➢ 使球棒的把手处适当变宽也有同样的效果；
➢ 增大球的初速度就可以提高球的离棒速度。
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20源自文库0/8/21
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木质球棒的模拟
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问题的处理
研究方向的确定：
运动员手的最大舒 适度
球的最大离棒速度
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考虑可能影响球速的因素
➢ 球的初速度和旋转
➢ 球棒的初速度和旋转
➢ 碰撞时球和棒的相对位置和相对方向
模型中的假设
➢ 不考虑球的压缩量与其所受力之间滞后 曲线的准确形式；
➢ 不考虑方位角的存在；
➢ 认为这个过程中无纵波的产生；
➢ 假设这个过程中球是不旋转的。
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数学模型的建立
模型方程: 其中：
质量密度； 转动惯量； 杨氏模量； 径向位移； 碰撞点所受的外力
➢ 把这个过程当作一个平面问题来解决了；
➢ 还有就是最后考虑箍的时候有点草率，没考虑 其宽度等因素。
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➢ 实线表示末端封闭的情况，并且在最佳点处加 强了球的离棒速度
➢ 虚线表示末端封闭的情况，相对封闭型球棒来 说球的离棒速度并没有得到加强
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用长为110cm的球棒进行的模拟：
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图像分析
碰撞时间大约持续了1.4ms 碰撞过程并不是线性变化的
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球棒末端封闭情况对球速的影响
选用长为84cm的球棒进行模拟分析：
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球棒末端封闭情况的对比结果
，虚线表示密度为：
为：
。
点线表示密度
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球棒的侧视图
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杨氏模量的改变
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研究角速度对最佳点的影响
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不考虑滞后曲线现象的影响
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对比结论
➢ 考虑球的压缩量与受力之间的滞后现象时球的 离棒速度相对要小一点；
➢ 不考虑球的压缩量与受力之间的滞后现象时球 的离棒速度相对要大一点。
➢ 结果发现只有当用到固有频率接近700Hz的材 料做的箍时，其对最佳点的效果有所加强，并 使得最佳点有微小的往球棒末端偏移。
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本论文的整体总结
➢ 这篇文章用来欧拉—伯努利方程解决球-棒碰 撞过程中球棒的问题；用滞后曲线解决了球的 问题。