图灵机模型及数据编码
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图灵机
40
Another Turing Machine Example
Turing machine for the language
{a b }
n n
y y, R
q4
, L
y y, R a a, R
q1
y y, L a a, L
q2
41
q3
y y, R
q0
a x, R
26
Turing Machine Example
A Turing machine that accepts the language:
aa *
a a, R , L
q0
q1
27
Time 0
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
28
Time 1
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
29
Time 2
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
30
Time 3
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
31
Time 4
a a a
q1
a a, R
Halt & Accept
q1
y y, L a a, L
q2
48
q3
y y, R
q0
a x, R
b y, L
x x, R
Time 7
x x y b
q1
y y, R
基本图灵机及图灵机构造技术
并一定停机. 如果没有特别指出，总是假定图灵机到达终态（接受态）
后一定停机. 但是 ，对不能接受的字符串，图灵机可能永不停止.（只
要M还在某个输入上运行，我们无法知道是因为运行的时间不 够长而没有被接受，还是根本就不会停机）
8
图灵机举例
例1：设语言 L={an bn│n>=1}，设计图灵机接受L 。 思路：最初带上为 a a … a b b… b B B B ……
X1X2…Xi-1 q XiXi+1…Xn ├M X1X2…Xi-1Y p Xi+1…Xn ，
但有如下两个例外 ： （1）i=n时， X1X2…Xn-1q Xn ├M X1X2…Xn-1Y p B ，和 （2）i=1及 Y=B 时， q X1X2…Xn├M B p X2…Xn-1Xn.
6
图灵机接受的语言
如果f（i1,i2…,ik）对所有i1,i2…,ik有定义, 那么称f是一个全递归
函数。全递归函数对应于递归语言，因为它总是被能停下来的 图灵机所计算。 所有常用的整数算术函数都是全递归函数。
13
例3：设计图灵机求真减法
mn0mn
mn mn
初始带 0m 1的0
q
5
B/B,L
0 / #,R q
1
0 / X,R
q
q
2
3
X /X,R
B/B,R q
reject
B/B,R q
accept
0 /0,R
0 / X,R
q
4
X /X,R
识别 L= 0 m m=2n, n 0的图灵机
17
课堂练习
设计一个状态数不超过3的图灵机，它能够接受语 言L=a(a+b)* ，若假定T={a,b},两个状态的图灵机 能否接受该语言？
后一定停机. 但是 ，对不能接受的字符串，图灵机可能永不停止.（只
要M还在某个输入上运行，我们无法知道是因为运行的时间不 够长而没有被接受，还是根本就不会停机）
8
图灵机举例
例1：设语言 L={an bn│n>=1}，设计图灵机接受L 。 思路：最初带上为 a a … a b b… b B B B ……
X1X2…Xi-1 q XiXi+1…Xn ├M X1X2…Xi-1Y p Xi+1…Xn ，
但有如下两个例外 ： （1）i=n时， X1X2…Xn-1q Xn ├M X1X2…Xn-1Y p B ，和 （2）i=1及 Y=B 时， q X1X2…Xn├M B p X2…Xn-1Xn.
6
图灵机接受的语言
如果f（i1,i2…,ik）对所有i1,i2…,ik有定义, 那么称f是一个全递归
函数。全递归函数对应于递归语言，因为它总是被能停下来的 图灵机所计算。 所有常用的整数算术函数都是全递归函数。
13
例3：设计图灵机求真减法
mn0mn
mn mn
初始带 0m 1的0
q
5
B/B,L
0 / #,R q
1
0 / X,R
q
q
2
3
X /X,R
B/B,R q
reject
B/B,R q
accept
0 /0,R
0 / X,R
q
4
X /X,R
识别 L= 0 m m=2n, n 0的图灵机
17
课堂练习
设计一个状态数不超过3的图灵机，它能够接受语 言L=a(a+b)* ，若假定T={a,b},两个状态的图灵机 能否接受该语言？
图灵机模型及数据编码
希尔伯特对实现自己的纲领充满信心。然而，1931年， 奥地利25岁的数理逻辑学家哥德尔﹙K．Gödel﹚提出的关 于形式系统的“不完备性定理”中指出，这种形式系统是不
存 在的，从而宣告了著名的“西尔伯特纲领”的失败。希尔伯
特 纲领的失败同时也暴露了形式系统的局限性，它表明形式系 统不能穷尽全部数学命题，任何形式系统中都存在着该系统 所不能判定其真伪的命题。
2 图灵机
在第一台电子计算机ENIAC诞生的10年前即1936年，英 国数学家图灵发表了题为“论可计算数及其在判定问题中的 应用”﹙On Computer Numbers With an Application to
the Entscheidungs Problem﹚的学术论文，奠定了学术界公认
的 现代电子计算机的理论和模型基础。 1、希尔伯特纲领
图灵的描述是关于数值计算的，不过，我们知道英文字 母表的字母以及汉字均可以用数来表示，因此，图灵机同样 可以处理非数值计算。不仅如此，更为重要的是，由数值和 非数值﹙英文字母、汉字等﹚组成的字符串，既可以解释成 数据，又可以解释成程序，从而计算的每一过程都可以用字 符串的形式进行编码，并存放在存储器中，以后使用时译码， 并由处理器执行，机器码﹙结果﹚可以从高级符号形式﹙即 程序设计语言﹚机械地推导出来。
“西尔伯特纲领”虽然失败了，但它仍然不失为人类抽 象 思维的一个伟大成果，它的历史意义是多方面的。 首先，“西尔伯特纲领”是在保全古典数学的前提下去 排 除集合论悖论的，它给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。其次，希尔伯特纲领的提出使元数学得到了确立和发展。 最后，对计算学科而言，最具意义的是，希尔伯特纲领的失 败启发人们应避免花费大量的精力去证明那些不能判定的问 题，而应把精力集中于解决具有能行性的问题。
存 在的，从而宣告了著名的“西尔伯特纲领”的失败。希尔伯
特 纲领的失败同时也暴露了形式系统的局限性，它表明形式系 统不能穷尽全部数学命题，任何形式系统中都存在着该系统 所不能判定其真伪的命题。
2 图灵机
在第一台电子计算机ENIAC诞生的10年前即1936年，英 国数学家图灵发表了题为“论可计算数及其在判定问题中的 应用”﹙On Computer Numbers With an Application to
the Entscheidungs Problem﹚的学术论文，奠定了学术界公认
的 现代电子计算机的理论和模型基础。 1、希尔伯特纲领
图灵的描述是关于数值计算的，不过，我们知道英文字 母表的字母以及汉字均可以用数来表示，因此，图灵机同样 可以处理非数值计算。不仅如此，更为重要的是，由数值和 非数值﹙英文字母、汉字等﹚组成的字符串，既可以解释成 数据，又可以解释成程序，从而计算的每一过程都可以用字 符串的形式进行编码，并存放在存储器中，以后使用时译码， 并由处理器执行，机器码﹙结果﹚可以从高级符号形式﹙即 程序设计语言﹚机械地推导出来。
“西尔伯特纲领”虽然失败了，但它仍然不失为人类抽 象 思维的一个伟大成果，它的历史意义是多方面的。 首先，“西尔伯特纲领”是在保全古典数学的前提下去 排 除集合论悖论的，它给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。其次，希尔伯特纲领的提出使元数学得到了确立和发展。 最后，对计算学科而言，最具意义的是，希尔伯特纲领的失 败启发人们应避免花费大量的精力去证明那些不能判定的问 题，而应把精力集中于解决具有能行性的问题。
turingmachine图灵机
图灵机的基本思想 图灵机的组成 图灵机的计算思想
图灵机的意义
图灵机模型理论是计算科学最核心的理论之一 图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的基础
理论
图灵机概述
所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有 一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的 小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机 器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部 状态，还有一些固定的程序。在每个时刻， 机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息， 然后结合自己的内部状态查找程序表，根据 程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的 内部状态，然后进行移动。
读写头
状态控制器
图灵机的组成
一个确定型单带图灵机由以下四个部分组成 (见上页图)： ·无限长的带子 TAPE，带子划成小格， 格子标记 … , －3，－2，－1，0，1，2, 3，… ·读写头HEAD ·控制规则表TABLE ·状态存储器
图灵机的组成-TAPE
纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格 子上包含一个来自有限字母表的符号，字母 表中有一个特殊的符号 表示空白。纸带上 的格子从左到右依此被编号为 0, 1, 2, ... ， 纸带的右端可以无限伸展。
图灵机的基本思想
用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过 程，该过程可分为如下两个简单动作：
➢在纸上写上或擦除某个符号 ➢把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置
而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依 赖于：
➢此人当前所关注的纸上某个位置的符号 ➢此人当前思维的状态。
… －2 －1 0 1 2 3 …
图灵机计算思想
计算机系统应该有： 存储器（相当于存储带）
中央处理器（控制器及其状态）
为了能够将数据保存到存储器并将计算结 果从存储器送出来展示给用户，计算机系 统还应该有输入设备和输出设备如键盘、 鼠标、显示器和打印机等。
图灵机的意义
图灵机模型理论是计算科学最核心的理论之一 图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的基础
理论
图灵机概述
所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有 一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的 小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机 器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部 状态，还有一些固定的程序。在每个时刻， 机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息， 然后结合自己的内部状态查找程序表，根据 程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的 内部状态，然后进行移动。
读写头
状态控制器
图灵机的组成
一个确定型单带图灵机由以下四个部分组成 (见上页图)： ·无限长的带子 TAPE，带子划成小格， 格子标记 … , －3，－2，－1，0，1，2, 3，… ·读写头HEAD ·控制规则表TABLE ·状态存储器
图灵机的组成-TAPE
纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格 子上包含一个来自有限字母表的符号，字母 表中有一个特殊的符号 表示空白。纸带上 的格子从左到右依此被编号为 0, 1, 2, ... ， 纸带的右端可以无限伸展。
图灵机的基本思想
用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过 程，该过程可分为如下两个简单动作：
➢在纸上写上或擦除某个符号 ➢把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置
而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依 赖于：
➢此人当前所关注的纸上某个位置的符号 ➢此人当前思维的状态。
… －2 －1 0 1 2 3 …
图灵机计算思想
计算机系统应该有： 存储器（相当于存储带）
中央处理器（控制器及其状态）
为了能够将数据保存到存储器并将计算结 果从存储器送出来展示给用户，计算机系 统还应该有输入设备和输出设备如键盘、 鼠标、显示器和打印机等。
大学计算机第4讲-冯-诺依曼计算机器-程序执行
自动存取：存储器的工作原理 (1)什么是存储器?
存储器的基本结构
概念映射
存储器
存储单元 存储位(存0或存1) 地址编码An-1…A0 单元控制线Wi 输出缓冲器 …
宿舍楼
房间 床位(住人/不住人) 房间号 房间钥匙 公共的走廊及大门 ……
从存储器与宿舍楼的概念对比中，你能发现什 么异同吗？
自动存取：存储器的工作原理 (2)存储器是怎样存储0和1的? 又是怎样控制存取的?
图灵机的思想与模型简介 (4)小结?
输入
程序&指令 (计算规则)
按计算规则(程序)对输 入进行变换得到输出
输出
输入/输出都是0和1的形 式表达
程序和指令也是0和1的形 式表达
程序可用状态转换 图来表达
冯.诺依曼计算机: 思想与构成
战德臣
哈尔滨工业大学 教授.博士生导师 教育部大学计算机课程教学指导委员会委员
OK Z hanD C
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services,
Harbin Institute of Technology
冯.诺依曼计算机: 思想与构成 (1)什么是冯.诺依曼计算机?
冯.诺依曼(Von.Neumann)计算机
基本目标: 理解程序是如何被执行的
基本思维：机器级算法与程序机器指令与指令系统存储器存储程序运 算器与控制器机器级程序的执行；算法程序化程序指令化指令存储化 执行信号化
机器指令与机器级程序
战德臣
哈尔滨工业大学 教授.博士生导师 教育部大学计算机课程教学指导委员会委员
OK Z hanD C
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services,
计算模型图灵机课件
图灵机为计算机安全领域提供了理论 基础，如分析病毒、黑客攻击等。
04
图灵机的启示
对人工智能的影响
1 2
奠定人工智能理论基础
图灵机作为计算模型，为人工智能领域提供了理 论基础，推动了人工智能的发展。
启发机器学习算法
图灵机的计算原理启发了众多机器学习算法，如 神经网络、深度学习等。
3
强化智能系统设计
特点
非确定型图灵机具有更高的计算能力，可以模拟更复杂的算法和问 题。
应用
非确定型图灵机在理论计算机科学中有着重要的地位，例如在自动 机理论和形式语言等领域中的应用。
概率图灵机
定义
概率图灵机是一种能够进行概率计算的图灵机模型，即机器在执行 操作时具有一定的概率分布。
特点
概率图灵机可以模拟随机过程和不确定性，适用于处理概率性和统 计性的问题。
05
图灵机的扩展
多带图灵机
定义
多带图灵机是指具有多个磁带，并且每个磁带都可以独立进行读 写操作的图灵机。
特点
多带图灵机可以同时处理多个任务，提高了计算效率和并行处理 能力。
应用
多带图灵机在计算机科学和人工智能领域中有着广泛的应用，例 如并行算法、分布式计算和云计算等。
非确定型图灵机
定义
非确定型图灵机是指具有不确定性的计算模型，即存在多个可能的 计算路径，但最终都能得到正确的结果。
计算模型图灵机课 件
contents
目录
• 图灵机简介 • 图灵机的工作原理 • 图灵机的应用 • 图灵机的启示 • 图灵机的扩展
01
图灵机简介
图灵机的发明者
01
图灵机的发明者是英国数学家阿 兰·图灵（Alan Turing），他在 1936年提出了图灵机的概念。
第七章 图灵机
设Q={q0,q1,q2,q3,q4}，={0,1,X,y,B}，而F={q4}，非 形式地，每个状态都表示程序中的一个语句或一组 语句。 状态q0在开始时被进入，又恰好在每次用X替换一 个最左的0之前被进入，用状态q1向右搜索，跳过所 有的0和Y，直到发现最左的1。如果M找到一个1， M就将它变为Y，同时进入状态q2。 状态q2向左搜索X，刚一找到X，就进入状态q0， 当它改变状态时，右移到最左的0。当M在状态q2 中向右搜索时，若在一个1之前遇到一个B或X，则 输入被拒绝，这或者是有太多的0，或者输入不是 在0*1*中。
具有双向无限带的图灵机和标准图灵机模型是完全等价的不同之处只是在于双向无限带图灵机可以两个方向无限延伸由于双向无限带图灵机没有左边界所以输入字可以放在带的任意位置而其余位置均被假定为空白初始带头在输入字的左端关系关联两个id右边的id可以从左边的id通过一个动作得到
第七章 图灵机
周俊萍
zhoujp877@
7.2 图灵机模型
有效过程的形式模型应该具有某些性质，首先，每 个过程都应该是有穷可描述的。其次，过程应该由 离散的步组成，每一步能够机械地被执行。A.Turing 在1936年介绍了这样一个模型-图灵机。 这里我们介绍它的一种变形。
a1 a2 … ai … a n B B … 有限控制器 图7.1 基本图灵机
给定一个识别语言L的TM，不失一般性，我们假定， 当输入被接受时，TM将停止，也就是说，没有下一个 动作，然而，对于不被接受的字，TM可能永不停止。
例7.1 接受语言L＝{0n1nn1｝的TM M的设计如下: 起初，M的带包含0n1n，后面跟着无穷多个空白符，用 X替换M最左边的0，右移至最左边的1，用Y替换它， 左移去寻找最右边的X，然后右移一个单元到最左边 的0，重复这个循环。但是，若在搜索1时，M找到了 一个空白符，那么M停止而不接受，若在将一个1改变 成Y后，M再也找不到0了，那么M检查一下是否还剩1， 如果没有，M接受。
图灵机共39页文档
q1 (q2,␢,-1) (q3,␢,-1) (qN,␢,-1)
q2 (qY,␢,-1) (qN,␢,-1) (qN,␢,-1)
q3 (qN,␢,-1) (qN,␢,-1) (qN,␢,-1)
9
• 如输入字符串x＝100100，
• DTM经九步操作后，进入终止状态qY
• 即该确定型单带图灵机对输入串x 的解答为“是”。
“是”。
• 其它情况(终止在状态qN，或永不终止)都不表示 解为“是”。
• 不确定型单带图灵机可能有多次运行。如果至少 有一次运行结果为“是”，
• 则称该图灵机接受字符串x． • 不确定型单带图灵机M的语言LM定义为
LM = {x ∈ ∑*| M接受x}
31
• NTM接受x∈ LM所需的时间是所有接受x的运 行所需步数(为两个阶段的步数之和)的最小者
33
• 集合P与集合NP的关系还不清楚，但是 显然有
P⊂ NP (证)只须证明如问题Π∈ P，则Π ∈ NP．
令A是Π的一个多项式时间算法， 只要将A充作检测部分，略去猜测器，
(猜测器不运作) 我们就得到了一个不确定型图灵机，
这是一个多项式时间不确定型图灵机，
并且它解决问题Π ，因此 Π ∈ NP．
O(2P(n) )
37
• 很多人相信P≠NP，但还没得到证明. • 如这一命题正确，则P是NP的一个真
子集。 • 则集合(NP－P)不是空集, 这是个很重
要的集合.
38
路长度是否小于或等于B． • 显然，一个实例有一条满足条件的闭
合回路的充要条件为: 存在一个可能解S, 对S检测的结果为 “是”. • 从而，巡回售货员问题被该不确定算 法解决。
26
• 多项式时间不确定算法解决问题Π 是指:
q2 (qY,␢,-1) (qN,␢,-1) (qN,␢,-1)
q3 (qN,␢,-1) (qN,␢,-1) (qN,␢,-1)
9
• 如输入字符串x＝100100，
• DTM经九步操作后，进入终止状态qY
• 即该确定型单带图灵机对输入串x 的解答为“是”。
“是”。
• 其它情况(终止在状态qN，或永不终止)都不表示 解为“是”。
• 不确定型单带图灵机可能有多次运行。如果至少 有一次运行结果为“是”，
• 则称该图灵机接受字符串x． • 不确定型单带图灵机M的语言LM定义为
LM = {x ∈ ∑*| M接受x}
31
• NTM接受x∈ LM所需的时间是所有接受x的运 行所需步数(为两个阶段的步数之和)的最小者
33
• 集合P与集合NP的关系还不清楚，但是 显然有
P⊂ NP (证)只须证明如问题Π∈ P，则Π ∈ NP．
令A是Π的一个多项式时间算法， 只要将A充作检测部分，略去猜测器，
(猜测器不运作) 我们就得到了一个不确定型图灵机，
这是一个多项式时间不确定型图灵机，
并且它解决问题Π ，因此 Π ∈ NP．
O(2P(n) )
37
• 很多人相信P≠NP，但还没得到证明. • 如这一命题正确，则P是NP的一个真
子集。 • 则集合(NP－P)不是空集, 这是个很重
要的集合.
38
路长度是否小于或等于B． • 显然，一个实例有一条满足条件的闭
合回路的充要条件为: 存在一个可能解S, 对S检测的结果为 “是”. • 从而，巡回售货员问题被该不确定算 法解决。
26
• 多项式时间不确定算法解决问题Π 是指:
计算理论第4章图灵机
列表在出现无限多次，因为每一次重复运行，M在每一个串上 都从头开始运行。
41
4.3 通用图灵机
(１) 缓冲域 带的最左面是标记符Ａ，Ａ的右边是|K|+|Γ|+2个单元构成的 缓冲（|K|、|Γ|分别是状态集和字母集的元素数目）。
(２) Ｍ的描述字域 缓冲区域右边紧接的是Ｍ的描述字dM，以Ｂ为开始标 志，以３个０结束。对于转移函数 δ(q,a)=(q,a,d)，
数 以图灵机为模型,研究问题的可计算性，即
确定该问题是可计算的、部分可计算的， 还是不可计算的。
4
Overview
4.1 图灵机模型 4.2 图灵机的变化和组合 4.3 通用图灵机 4.4 图灵机可计算性
5
4.1 图灵机模型
6
4.1 图灵机模型
定义4-1 图灵机M = ( K, Σ, Γ, δ, q0, B,F)， 其中
设计思想是：每当抹去左边一个０，就在第二个１后面拷贝 n个０。当第一个１的左边全变为B时，带上就为 10n10mn，再抹去 10n1，带上就剩0mn，即为所求。
设计Copy子程序 这个子程序完成在第二个１拷贝n个０的 操作。
第1次被调用
开始ID：B０m-11q10n1
结束ID：B０m-11q50n10n
A∈ＶＮ,α∈Ｖ*
A,B,C∈ＶＮ x,y∈ＶT*
2
Overview
0型语言
———图灵机
1型语言(CSL) ———线性界限自动机
2型语言(CFL) ———下推自动机
3型语言(正规集)——有限自动机
3
Overview
图灵机所定义的语言类---递归可枚举集合 图灵机所计算的整数函数类---部分递归函
我们用五元组表示为(q, a, q, a, d)，将顺序调整为(q, a, a, d, q)。 dM就 是由这样的五元组组成的序列。对于每个五元组中的状态和字符，我们 用其序号的一进表示，其间用０分隔，五元组间用２个０分隔。例如： 若有δ(q２,０)=(q３,２,Ｌ)，表示成上面定义的五元组是(q２,０，２,Ｌ， q３)，再用其序号表示为(2,0,2,0,3)，在U2的带上表示为 011101011101011110
41
4.3 通用图灵机
(１) 缓冲域 带的最左面是标记符Ａ，Ａ的右边是|K|+|Γ|+2个单元构成的 缓冲（|K|、|Γ|分别是状态集和字母集的元素数目）。
(２) Ｍ的描述字域 缓冲区域右边紧接的是Ｍ的描述字dM，以Ｂ为开始标 志，以３个０结束。对于转移函数 δ(q,a)=(q,a,d)，
数 以图灵机为模型,研究问题的可计算性，即
确定该问题是可计算的、部分可计算的， 还是不可计算的。
4
Overview
4.1 图灵机模型 4.2 图灵机的变化和组合 4.3 通用图灵机 4.4 图灵机可计算性
5
4.1 图灵机模型
6
4.1 图灵机模型
定义4-1 图灵机M = ( K, Σ, Γ, δ, q0, B,F)， 其中
设计思想是：每当抹去左边一个０，就在第二个１后面拷贝 n个０。当第一个１的左边全变为B时，带上就为 10n10mn，再抹去 10n1，带上就剩0mn，即为所求。
设计Copy子程序 这个子程序完成在第二个１拷贝n个０的 操作。
第1次被调用
开始ID：B０m-11q10n1
结束ID：B０m-11q50n10n
A∈ＶＮ,α∈Ｖ*
A,B,C∈ＶＮ x,y∈ＶT*
2
Overview
0型语言
———图灵机
1型语言(CSL) ———线性界限自动机
2型语言(CFL) ———下推自动机
3型语言(正规集)——有限自动机
3
Overview
图灵机所定义的语言类---递归可枚举集合 图灵机所计算的整数函数类---部分递归函
我们用五元组表示为(q, a, q, a, d)，将顺序调整为(q, a, a, d, q)。 dM就 是由这样的五元组组成的序列。对于每个五元组中的状态和字符，我们 用其序号的一进表示，其间用０分隔，五元组间用２个０分隔。例如： 若有δ(q２,０)=(q３,２,Ｌ)，表示成上面定义的五元组是(q２,０，２,Ｌ， q３)，再用其序号表示为(2,0,2,0,3)，在U2的带上表示为 011101011101011110
第4讲-大学计算机第4讲-冯-诺依曼计算机器-程序执行
心部件。
总线
现代计算机里面，一个微处理器(芯片)可能包含多个CPU，即多核.
冯.诺依曼计算机: 思想与构成 (6)小结 程序
程序与数 据的保存
数据
程序执行与 数据计算
(主或内) 存储器
中央处理单元
CPU
运算器 控制器
自动存取：存储器的工作原理
自动存取：存储器的工作原理 (1)什么是存储器?
用来在计算机中存储CPU可直接访问的数据 主存储器的工作速度和容量对计算机系统整体性能 影响极大 主存储器容量基本计量单位为字节（Byte）
控制器
时钟与节 拍发生器
内容 00000000 00000011 PC
00000000 00000001 00000000
信号控制
IR
00000000 00001000
000001
000001 0000001000
地址
存储器
运算器
机器级程序的执行过程模拟 (4)第2条指令的读取
寄存器 R1 R0 --(随机的数值) 00000000 00000011 --(随机的数值) --(随机的数值)
冯.诺依曼计算机: 思想与构成 (1)什么是冯.诺依曼计算机?
1944~1945年间，冯.诺伊曼提出 “存储程序”的计算机设计思想，
并进行了实践，现代计算机普遍来
讲属于冯.诺伊曼机体系。 冯.诺伊曼机的基本思想：
运算和存储分离
存储程序：指令和数据以同等地位事先存于存储器, 可按地址寻访, 连 续自动执行。
机器指令与机器级程序 (5)将机器级程序和数据装载进存储器中?
存储器
计算832+23+6的程序; 计算ax2+bx+c的程序。
第二讲 图灵机模型
24
2.1.1 基本图灵机
M2接受的语言是字母表{0，1}上那些至少含有 3个1的0、1符号串。请读者考虑，如何构造出 接受字母表{0，1}上那些含且恰含有3个1的符 号串的TM。
25
2.1.1 基本图灵机
例 2-4 构造TM M3，使L(M)={0n1n2n | n≥1}。 分析： – 不能通过“数”0、1、或者2的个数来实现 检查。 – 最为原始的方法来比较它们的个数是否是 相同的：消除一个0、然后消除一个1，最 后消除一个2。 – 消除的0的带方格上印刷一个X，在消除的1 的带方格上印刷一个Y，在消除的2的带方 格上印刷一个Z。
B∈Γ，被称为空白符（blank symbol），含有 空白符的带方格被认为是空的； ∑Γ-{B}为输入字母表，a∈∑，a为M的一 个输入符号。除了空白符号B之外，只有∑中 的符号才能在M启动时出现在输入带上；
7
2.1.1 基本图灵机
δ：Q×ΓQ×Γ×{R, L}，为M的移动函数 （transaction function）。 δ(q , X)=(p , Y, R)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向右移一格； δ(q , X)=(p , Y , L)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向左移一格。
第2讲 图灵机模型
图灵机(Turing machine)是由图灵（Alan Mathisom Turing）在1936年提出的，它是一 个通用的计算模型。 通过研究图灵机，来研究递归可枚举集 （recursively enumerable set）和部分地 归函数（partial recursive function） 。 对算法和可计算性进行研究提供形式化描述工 具。
2.1.1 基本图灵机
M2接受的语言是字母表{0，1}上那些至少含有 3个1的0、1符号串。请读者考虑，如何构造出 接受字母表{0，1}上那些含且恰含有3个1的符 号串的TM。
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2.1.1 基本图灵机
例 2-4 构造TM M3，使L(M)={0n1n2n | n≥1}。 分析： – 不能通过“数”0、1、或者2的个数来实现 检查。 – 最为原始的方法来比较它们的个数是否是 相同的：消除一个0、然后消除一个1，最 后消除一个2。 – 消除的0的带方格上印刷一个X，在消除的1 的带方格上印刷一个Y，在消除的2的带方 格上印刷一个Z。
B∈Γ，被称为空白符（blank symbol），含有 空白符的带方格被认为是空的； ∑Γ-{B}为输入字母表，a∈∑，a为M的一 个输入符号。除了空白符号B之外，只有∑中 的符号才能在M启动时出现在输入带上；
7
2.1.1 基本图灵机
δ：Q×ΓQ×Γ×{R, L}，为M的移动函数 （transaction function）。 δ(q , X)=(p , Y, R)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向右移一格； δ(q , X)=(p , Y , L)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向左移一格。
第2讲 图灵机模型
图灵机(Turing machine)是由图灵（Alan Mathisom Turing）在1936年提出的，它是一 个通用的计算模型。 通过研究图灵机，来研究递归可枚举集 （recursively enumerable set）和部分地 归函数（partial recursive function） 。 对算法和可计算性进行研究提供形式化描述工 具。
图灵机模型
8
例子2-1说明
例 2-1 设M1=({q0, q1, q2},{0, 1},{0, 1, B},δ,q0 , B ,{q2})，其中δ的定义如下，对于此定义，也 可以用表2-1表示。 δ(q0, 0)= (q0, 0, R) δ(q0, 1)= (q1, 1, R) δ(q1, 0)= (q1, 0, R) δ(q1, B)= (q2, B, R)
22
2.1.1 基本图灵机
（2）处理输入串1001100101100的过程中经历的 ID变换序列如下： q01001100101100├ 1q1001100101100 ├ 10 q101100101100├ 100q11100101100 ├ 1001 q2100101100├10011q300101100 M2遇到第三个1时，进入终止状态q3，输入串 的后缀00101100还没有被处理。但是，由于 M2已经进入终止状态，表示符号串 1001100101100被M2接受。
28
构造思路
29
移动函数
0 q0 q1 q2 q3 (q3,0,L) (q0,X,R) (q1,0,R) (q2,Y,R) (q2,1,R) (q3,1,L) (q3,Z,L) (q0,X,R) (q3,Y,L) 1 2 X Y (q4,Y,R) (q1,Y,R) (q2,Z,R) (q3,Z,L) Z B
12
2.1.1 基本图灵机
如果δ(q, Xi)=(p, Y, L)则，
–
当i≠1时，M的下一个ID为 X1X2…pXi-1YXi+1…Xn
记作
X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn├M X1X2…pXi-1YXi+1…Xn – 表示M在ID X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn下，经过一次移 动，将ID变成X1X2…pXi-1YXi+1…Xn；
图灵机模型及数据编码
实现最为容易。例如，电灯的亮和灭，晶体管的导通和截止， 等等。 (2) 可靠性因二进制数只要两个状态，数字转移和处理就不 易出错，这样计算机工作的可靠性就高。 (3) 简易性二进制数运算法则简单。例如，二进制的加法、 积法法则都只有三个。运算法则少，使计算机运算器结构大 大简化，控制也可随之简化。 (4) 逻辑性由于二进制数只要0，1两个数码，可以代表逻辑 代数中的“假”和“真”，这就是在计算机中使用二进制的
要说
有意…义的话，b也只b有形式1的意义0。 1 0 0 0 1 0b b b … 读—写头
状态 q1
控制器
由字符“0”和“1”组成的字母表可以表示任何一个数。
③机器的控制状态表为｛q1, q2,…qm,｝。通常，将一个图 灵
机的初始状态设为q1，在每一个具体的图灵机中还要确定一 个结束状态qw。 一个给定机器的“程序”认为是机器内的
图灵机的工作原理
机器从给定带子上的某起始点出发，其动作完全由其初始状 态及机内五元组来决定。就某种意义而言，一个机器其实 就是它作用于纸带上的五元组集。一个机器计算的结果是 从机器停止时带子上的信息得到的。
4、冯·诺依曼型计算机
1946年2月14日，世界上第一台数字电子计算机ENIAC 在美国宾夕法尼亚大学研制成功。该机是使用电子线路来 执行算术和逻辑运算以及信息存储的真正工作的计算机器， 它的成功研制显示了电子线路的巨大优越性。但是， ENIAC的结构在很大程度上是依照机电系统设计的，还存 在重大的线路结构等问题。在图灵等人工作的影响下， 1946年6月，美国杰出的数学家冯·诺依曼及其同事完成 了关于《电子计算装置逻辑结构设计》的研究报告，具体
2、图灵对计算本质的揭示 在哥德尔研究成果的影响下20世纪30年代后期，图灵
图灵机
18
4.1 图 灵 机 模 型
19
4.1 图灵机模型
【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n
的减法：
m-n 若m≥n
m－n=
0 否则
设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边 将一个0改变为B，就在1的右边将一个0改为1， 若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。
16
4.1 图灵机模型
17
4.1 图灵机模型
【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的 以2为底的对数。
用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m.
设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划 掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此 过程，直至a不复存在。这里，用字符c表 示划掉的字符。
定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接 受，则它能被一个单头图灵机接受。
38
4.2.5 多维图灵机
多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却 由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方 向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都 是无限的，根据状态和扫视的符号，该装 置改变状态，打印一个新的符号，在2k个 方向上移动它的读头，开始时，输入沿着 一个轴排列，读头在输入的左端。
K是有穷的状态集合； Γ是所允许的带符号集合； B ∈Γ，是空白符； Σ Γ，B ∈ Σ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 q0∈K, 是初始状态；
8
4.1 图灵机模型
δ：K×ΓK×Γ×{L,R,S} 是图灵机的动作(状态转移)函数，这里
L表示读头左移一格； R表示读头右移一格； S表示读头不动；
39
4.2.6 离线图灵机
4.1 图 灵 机 模 型
19
4.1 图灵机模型
【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n
的减法：
m-n 若m≥n
m－n=
0 否则
设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边 将一个0改变为B，就在1的右边将一个0改为1， 若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。
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4.1 图灵机模型
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4.1 图灵机模型
【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的 以2为底的对数。
用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m.
设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划 掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此 过程，直至a不复存在。这里，用字符c表 示划掉的字符。
定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接 受，则它能被一个单头图灵机接受。
38
4.2.5 多维图灵机
多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却 由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方 向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都 是无限的，根据状态和扫视的符号，该装 置改变状态，打印一个新的符号，在2k个 方向上移动它的读头，开始时，输入沿着 一个轴排列，读头在输入的左端。
K是有穷的状态集合； Γ是所允许的带符号集合； B ∈Γ，是空白符； Σ Γ，B ∈ Σ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 q0∈K, 是初始状态；
8
4.1 图灵机模型
δ：K×ΓK×Γ×{L,R,S} 是图灵机的动作(状态转移)函数，这里
L表示读头左移一格； R表示读头右移一格； S表示读头不动；
39
4.2.6 离线图灵机
著名的抽象计算机模型——图灵机
著名的抽象计算机模型——图灵机人类盼望用机器进行计算由来已久。
最早的自动计算机可追溯到1833年由英国数学家查尔斯·拜贝吉（CharlesBabbage）建造的分析机，它依据事先打在卡片上的指令进行操作。
它是首台通用的计算机。
现在，这台计算机被存放在伦敦科学博物馆。
但是，现代计算机的历史应从1936年算起。
那年，英国著名数学家图灵设计出抽象计算机模型——图灵机，而任何实用的现代计算机性能只是图灵机性能的等价集，或者子集。
为此，它被认为是现代计算科学之父。
艾伦·图灵（Alan Turing），1912年6月23日生于英国伦敦西部帕丁顿住宅区一个中上层的家庭里。
父亲在民间服务机构工作，经常来往于英国与印度之间。
幼小的艾伦·图灵被托付给他父亲的一位朋友。
很小的时候，图灵就显露出不同常人的天分。
他仅用了三个星期，自己学会了阅读。
他还表示出对数学难题的热衷。
六岁那年进小学，女校长马上发现了他的聪明才智，为了怕他“吃”不饱，经常将后面的课程提前教给他。
1926年，他进入中学。
开学那天，正赶上英国举行大罢工，公共交通身骑自行车，飞速穿行60英里（近100公里）赶往学校，夜间留宿中途的小饭店，最后没有误了第一天的课。
这件事在当地报纸上报道后引起轰动。
图灵的爱好是瘫痪。
年仅14岁的图灵提前一天只数学和科学，而这所开办于十六世纪的著名1931年，图灵进入剑桥大学国士学位。
1935年，凭借他在国王解决难题中的应用（OnComp 。
这纸带被分成一个个小方格，每个小方格记录单学校，其传统是文学和艺术。
校长给他父亲写信，认为图灵独自追求科学，有违学校育人的初衷，实在是浪费时间。
但是，图灵不管这些，继续在自己喜爱的学科领域中不断展示才华。
1927年，他根本没有学习过微积分的基础知识，但是硬是将十分复杂的难题解决了。
1928年，图灵年仅16岁，开始接触爱因斯坦的高深理论。
他不但掌握了这些理论，而且用爱因斯坦理论审视教科书中没有阐述清楚的牛顿运动法则。
第1章 附-图灵机
S为M具有的一个有穷状态集，任意时刻M处于S中的某个状态State
是S中唯一的一个开始状态，
；
态，
是S的一个子集，叫作接受状态集，其中的状态称为接受状 ；
态，
是S的一个子集，叫作拒绝状态集，其中的状态称为拒绝状
，且
；
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
程序
输入数据
计算机 输出数据
图灵机模型
输出 控制
输入
图灵模型的原理动画演示
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
3. 图灵机形式化定义
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
M为定义的进行某一计算的图灵机；
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
是决定M如何动作的规则，即转移函数
例如： 意思是：当M处于State1且读写头下的字符是3时，擦掉3写下7，读写 头向右移动一格，进入state5。
பைடு நூலகம்
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图灵与图灵机模型
图灵与图灵机模型
1 • 图灵 2 • 图灵机模型 3 • 图灵机形式化定义 4 • 可计算与不可计算
第一章 计算与计算学科
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
1. 图灵
1936年，英国科学家图灵发表了题为“论数字计算在决断 难题中的应用(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)”的论文，给 “可计算性”下了一 个严格的数学定义，并提出了一个对于计算可采用的“通用机 器(Universal Machine)”的概念，这就是著名的“图灵机 (Turing Machine) ”的设想，为现代计算机奠定了理论基础。——计算 机科学之父
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图灵机模型及数据编码
逻辑运算
图灵机模型及数据编码
门
可以设计出进行逻辑运算的装置，比如 用继电器或者齿轮等，把这种能完成逻 辑运算的装置称为门（Gate）。现代电 子计算机中的门是用电子线路实现的， 其中1和0分别用电平的高和低来表示。
图灵机模型及数据编码
触发器
图灵机模型及数据编码
其他存储技术
图灵机模型及数据编码
图灵机的直观描述
3个部件：有穷控制器、无穷带和读写头 3个动作：改写当前格、左移或右移一格
存储带
读写头
……
……
有穷控制器 图灵机模型
图灵机模型及数据编码
图灵机的形式化描述
图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中：
K 是有穷个状态的集合； ∑ 是字母表，即符号的集合； s ∈K是初始状态； H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状态
二进制与其他数制的转换（4）
二进制与十六进制的转换 161＝24，4位二进制数刚好可以表示0－F这16个
数码，也就是说二进制的4位数正好可以用1位 十六进制数表示
将二进制数 111.011101 转换为十六进制： (0010 1101 0111 1011.0111 0100)B＝(2 D 7 B.7 4)H 将十六进制数 2C1D.A1 转换为二进制： (2 C 1 D. A 1)H＝(0010 1100 0001 1101.1010 0001)B
实数
Nd2p
图灵机模型及数据编码
数值的表示（4）
若要考虑符号位的处理，则运算变得复 杂:
为了解决此类问题，在机器数中，负数 有三种表示法：原码、反码和补码。
图灵机模型及数据编码
数值的表示（5）
原码：
数符位以0表示正1表示负，数值部分就是绝对值 的二进制表示，不便于加减运算
反码：
对于正数与原码相同；对于负数，数符位为1，其 数值部分为绝对值取反
计算机系统应该有存储器（相当于存储带）、 中央处理器（控制器及其状态），并且其字母 表可以仅有0和1两个符号；为了能将数据保存 到存储器并将计算结果从存储器送出来展示给 用户，计算机系统还应该有输入设备和输出设 备如键盘、鼠标、显示器和打印机等。
图灵机模型及数据编码
1.2 位的存储
如果用0-1作为编码的基本元素的话， 那么存储的最小单位为1位（bit），要 么是0要么是1。可见只要存储装置有两 种不同的稳定状态就能可以表示和存储 这两个元素，其中一个状态表示1，则 另一种状态就表示0
补码：
对于正数与原码相同；对于负数，数符位为1，其 数值部分为绝对值取反最右加1，即为反码加1
二进制：B（Binary），如 (11101)B； 八进制：O（Octal），如 (35)O； 十进制：D（Decimal），如 (29)D； 十六进制：H（Hexadecimal），如 (1D)H；
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（1）
二进制与十进制的转换
十进制转换成二进制：将整数部分和小数 部分分别转换，然后再拼接起来
整数部分，采用除2取余法； 小数部分，采用乘2取整法。
二进制转换为十进制：直接按权展开即可
小数点后的权分别为2的-1、-2、-3、……次幂
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（2）
十进制转换成二进制：
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（3）
二进制转换为十进制：
图灵机模型及数据编码
二进制与八进制的转换类似
图灵机模型及数据编码
数值的表示（1）
机器数
把在机器内存放的正负号数码化的数称为 机器数，把机器外部由正负表示的数称为 真值数
若一个数占8位，真值数（－）B的机器数 为
图灵机模型及数据编码
数值的表示（2）
整数和实数
整数
图灵机模型及数据编码
数值的表示（3）
整数和实数
“5＋1”的计算过程（4）
图灵机模型及数据编码
通用图灵机（1）
编码方案：
图灵机模型及数据编码
通用图灵机（2）
图灵机模型及数据编码
通用图灵机蕴含的计算思想
“x+1”图灵机功能是固定的，相当于一个程 序
通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化
程序也是பைடு நூலகம்据
存储程序和程序控制
通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
为停机状态时图灵机结束计算； δ是转移函数，即控制器的规则集合。
图灵机模型及数据编码
计算“x+1”的图灵机
目标：利用二进制来设计一个专门计算 “x+1”的图灵机，要求计算完成时，读 写头要回归原位
状态集合K：{start，add，carry， noncarry，overflow，return，halt}；
磁芯 电容 磁介质 有机玻璃或聚酯树酯等材料制作的介质
图灵机模型及数据编码
1.3 存储器
1 Byte ＝ 8 Bit 1 KB（kilobyte）＝ 1024 Byte 1 MB（megabyte）＝ 1024 KB 1 GB（gigabyte）＝ 1024 MB 1 TB（terabyte）＝ 1024 GB
图灵机模型及数据编码
存储器
主存储器
地址
辅助存储器
软盘、硬盘和光盘等
图灵机模型及数据编码
1.4 数据在计算机中的表示
二进制 数值的表示 字符的表示 图形和图象的表示 音频数据的表示
图灵机模型及数据编码
数制
进位计数的方法即数制 在采用进位计数的数字系统中，如果只用r个
数码，则称其为基r数制（Radix-r Number System）或 r 进制，r 便称为该数制的“基数” （Radix）
第1章 图灵机模型及数据编码
图灵机模型理论是计算学科最核心的理 论之一
图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计
的基础理论。
图灵机模型及数据编码
本章主要内容
1.1 图灵机 1.2 位的存储 1.3 存储器 1.4 数据在计算机中的表示 1.5 数据压缩 1.6 数据传输误码及对策
字母表∑：{0，1，*}； 初始状态s：start； 停机状态集合H：{halt}；
图灵机模型及数据编码
计算“x+1”的图灵机
规则集合δ：
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（1）
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（2）
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（3）
图灵机模型及数据编码
逻辑运算
图灵机模型及数据编码
门
可以设计出进行逻辑运算的装置，比如 用继电器或者齿轮等，把这种能完成逻 辑运算的装置称为门（Gate）。现代电 子计算机中的门是用电子线路实现的， 其中1和0分别用电平的高和低来表示。
图灵机模型及数据编码
触发器
图灵机模型及数据编码
其他存储技术
图灵机模型及数据编码
图灵机的直观描述
3个部件：有穷控制器、无穷带和读写头 3个动作：改写当前格、左移或右移一格
存储带
读写头
……
……
有穷控制器 图灵机模型
图灵机模型及数据编码
图灵机的形式化描述
图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中：
K 是有穷个状态的集合； ∑ 是字母表，即符号的集合； s ∈K是初始状态； H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状态
二进制与其他数制的转换（4）
二进制与十六进制的转换 161＝24，4位二进制数刚好可以表示0－F这16个
数码，也就是说二进制的4位数正好可以用1位 十六进制数表示
将二进制数 111.011101 转换为十六进制： (0010 1101 0111 1011.0111 0100)B＝(2 D 7 B.7 4)H 将十六进制数 2C1D.A1 转换为二进制： (2 C 1 D. A 1)H＝(0010 1100 0001 1101.1010 0001)B
实数
Nd2p
图灵机模型及数据编码
数值的表示（4）
若要考虑符号位的处理，则运算变得复 杂:
为了解决此类问题，在机器数中，负数 有三种表示法：原码、反码和补码。
图灵机模型及数据编码
数值的表示（5）
原码：
数符位以0表示正1表示负，数值部分就是绝对值 的二进制表示，不便于加减运算
反码：
对于正数与原码相同；对于负数，数符位为1，其 数值部分为绝对值取反
计算机系统应该有存储器（相当于存储带）、 中央处理器（控制器及其状态），并且其字母 表可以仅有0和1两个符号；为了能将数据保存 到存储器并将计算结果从存储器送出来展示给 用户，计算机系统还应该有输入设备和输出设 备如键盘、鼠标、显示器和打印机等。
图灵机模型及数据编码
1.2 位的存储
如果用0-1作为编码的基本元素的话， 那么存储的最小单位为1位（bit），要 么是0要么是1。可见只要存储装置有两 种不同的稳定状态就能可以表示和存储 这两个元素，其中一个状态表示1，则 另一种状态就表示0
补码：
对于正数与原码相同；对于负数，数符位为1，其 数值部分为绝对值取反最右加1，即为反码加1
二进制：B（Binary），如 (11101)B； 八进制：O（Octal），如 (35)O； 十进制：D（Decimal），如 (29)D； 十六进制：H（Hexadecimal），如 (1D)H；
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（1）
二进制与十进制的转换
十进制转换成二进制：将整数部分和小数 部分分别转换，然后再拼接起来
整数部分，采用除2取余法； 小数部分，采用乘2取整法。
二进制转换为十进制：直接按权展开即可
小数点后的权分别为2的-1、-2、-3、……次幂
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（2）
十进制转换成二进制：
图灵机模型及数据编码
二进制与其他数制的转换（3）
二进制转换为十进制：
图灵机模型及数据编码
二进制与八进制的转换类似
图灵机模型及数据编码
数值的表示（1）
机器数
把在机器内存放的正负号数码化的数称为 机器数，把机器外部由正负表示的数称为 真值数
若一个数占8位，真值数（－）B的机器数 为
图灵机模型及数据编码
数值的表示（2）
整数和实数
整数
图灵机模型及数据编码
数值的表示（3）
整数和实数
“5＋1”的计算过程（4）
图灵机模型及数据编码
通用图灵机（1）
编码方案：
图灵机模型及数据编码
通用图灵机（2）
图灵机模型及数据编码
通用图灵机蕴含的计算思想
“x+1”图灵机功能是固定的，相当于一个程 序
通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化
程序也是பைடு நூலகம்据
存储程序和程序控制
通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
为停机状态时图灵机结束计算； δ是转移函数，即控制器的规则集合。
图灵机模型及数据编码
计算“x+1”的图灵机
目标：利用二进制来设计一个专门计算 “x+1”的图灵机，要求计算完成时，读 写头要回归原位
状态集合K：{start，add，carry， noncarry，overflow，return，halt}；
磁芯 电容 磁介质 有机玻璃或聚酯树酯等材料制作的介质
图灵机模型及数据编码
1.3 存储器
1 Byte ＝ 8 Bit 1 KB（kilobyte）＝ 1024 Byte 1 MB（megabyte）＝ 1024 KB 1 GB（gigabyte）＝ 1024 MB 1 TB（terabyte）＝ 1024 GB
图灵机模型及数据编码
存储器
主存储器
地址
辅助存储器
软盘、硬盘和光盘等
图灵机模型及数据编码
1.4 数据在计算机中的表示
二进制 数值的表示 字符的表示 图形和图象的表示 音频数据的表示
图灵机模型及数据编码
数制
进位计数的方法即数制 在采用进位计数的数字系统中，如果只用r个
数码，则称其为基r数制（Radix-r Number System）或 r 进制，r 便称为该数制的“基数” （Radix）
第1章 图灵机模型及数据编码
图灵机模型理论是计算学科最核心的理 论之一
图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计
的基础理论。
图灵机模型及数据编码
本章主要内容
1.1 图灵机 1.2 位的存储 1.3 存储器 1.4 数据在计算机中的表示 1.5 数据压缩 1.6 数据传输误码及对策
字母表∑：{0，1，*}； 初始状态s：start； 停机状态集合H：{halt}；
图灵机模型及数据编码
计算“x+1”的图灵机
规则集合δ：
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（1）
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（2）
图灵机模型及数据编码
“5＋1”的计算过程（3）
图灵机模型及数据编码