【运筹学】第七章 网络优化模型
经管类书籍运筹学-网络最优化问题
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动, 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话,则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
运筹学课件 第七章 网络优化模型
子图
生成子图
e9
v5
v2
e1
e2
e8
v1
e6
e7
v3
e4
e3
v4
e5
v2
v2
v5
e1
v1
e6
e2 v3
v4
e1 v1
e4
e2 v4
e8 v3
e5
e5
6、网络
网络(赋权图):由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络,记作N={V,E,W}
无向网络 有向网络
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
解:构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树,其叶子的 权分别为 50,20,5,10,15。总权为:
m(T*)= 5×4 + 10 ×4 + 15 ×3 + 20 ×2 + 50 ×1 = 195
100 50 30 15
5 10 15 20 50 C DEB A
A?
N
Y
B?
A
N
Y
E?
B
N
Y
D?
E
N
v3
6
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
v3
6
厂长
EH A BC D F G I J KL M N
人 财总 事 务工 科 科程
师
生 产 副 厂
长
新技
产术 品科生设 供 动 开 产备 应 力 发 科科 科 科
科
经 营 副 厂 长
销检 售验 科科
7.1.2 树的概念及性质
1、树(T):无圈的连通图称为树。树中次为1的点称 为树叶,次大于1的点称为分枝点。
运筹与决策PPT:网络优化问题
若向量1的第i个分量=v,则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题,是要在网络中找出一个可 行流方案,使得通过网络的流量最大。
案例2: BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商,其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题,也即网络配送问题, 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1: Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂,生产一种产品,运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连;
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心(DC),再从 配送中心运至仓库(每车至多装50单位)
问题:如何运输才能使费用最小?
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
管理运筹学第7章网络计划.ppt
—
— A A D C, E
4
10 3 6 8
G
H I J K
制定生 产计划 筹备设 备 筹备原 材料 安装设 备 调集人 员
F
B, G B, G H G
3
2 8 5 2
F
2
L
准备开 I,J, 工生产 K
1
14
A 4
2
D 6
3 E 8
1
C 3
4
F 2
5
G 3
6
K 2
B 10
7
I 8
9 J 5
L 1
10
16
①最乐观时间:指在顺利情况下,完成工序所需的最少时间,用a表示 ②最可能时间:指在正常情况下,完成工序所需的时间,用m表示 ③最悲观时间:指在不利的情况下,完成工序所需的最长时间,用b表示 利用这三个时间,每道工序的期望工时可估计为:
a4 mb t(i, j) 6
ba 6
最低成本日程
费 用 总费用
直接费用
间接费用 优化工期 时间
30
【例2】某工程项目的初始网络计划如图所示。该工程有六道工序, 各工序的正常完成时间以及最短完成时间和直接费用表见表,工 程间接费率为0.25万元/月。试调整网络计划,降低工程总费用。
27
【例1】 在【引例】中为获得18万元的资金奖励,能否把 项目工期缩短为41周?如何对项目进行管理?
22 6
26 G 7
29 8
33 H 9
38 9
42
0 1
0 A 2
2 2
2 B 4
6 3
6 C 10
16
D 16 4 E 4 I 7 6
网络优化图及网络(运筹学)
最短路径问题有多种算法,如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度,最终找到最短路径。在现实生活中,最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题,旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型,用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念,能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用,同时可以引入各种参数和约束条 件,以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对,需要采用 新的数据处理和分析技术,如分布式 计算、流处理等,以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法,可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化,例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求,从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制,不断迭代和优化种群中 的个体,最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题,具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
第七章_网络优化模型.
为最小生成树,否则返回第1步。
管理运筹学
41
最小生成树算法
vs 例:从某供气站要向A、B、C、D
E、F、G小区供气,问如何铺设 煤气管道,使的需要铺设管道 的总长度最短
避圈法(Kruskal)
A 5
管理运筹学
39
最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E),我们保留G的所有点,而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边,所获得的图G,称之为G的生成子图。在图11-12中, (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树,则称这个生成子图为生成树, 在图11-12中,(c)就是(a)的生成树。
运筹与优化模型
大连海事大学 刘巍
管理运筹学
1
第七章 网络优化模型
•
绪: 图论的起源:
•
从哥尼斯堡七桥问题
•
及
•
哈密顿周游世界游戏
•
谈起
•
管理运筹学
2
哥尼斯堡七桥问題 (Bridges of Koenigsberg)
能不能走过每一个桥刚好一次并且回到原來的地方?
管理运筹学
3
解决七桥问题的欧拉
• 欧拉(Leonard Euler; 1707 1783), 瑞士人,出身于牧师家庭,13 岁考入 大学,16 岁已经获得硕士学位。1727 年到俄国圣彼得科学院工作。1741 年 转到德国,任柏林科学院物理数学所所 长。1766 年回到俄国,直至去世。他 在 1735 年,由于过度工作的关系,引 至右眼失明。1771 年又因眼疾引致左 眼失明。1783年逝世于俄国的圣彼得堡。
运筹学第7章 图与网络优化02-树
管理工程系管理工程教研室主要内容•7.1 图的基本概念•7.2 树•7.3 最短路问题•7.4 最大流问题•7.5 中国邮递员问题管理工程系管理工程教研室管理工程系管理工程教研室无向图G 是一个二元组(V ,E),即G=(V ,E),其中V 是G 的顶点集,E 是G 的边集。
V 不为空集,E 可以是空集。
[v i ,v j ]=[v j ,v i ]图及其分类图由点及点之间的连线(不带箭头或带箭头)所组成有向图D 是一个二元组(V ,A),即D=(V ,A),其中V 同无向图中的顶点集;A 是顶点在D 中的有向边集,有向边简称为弧。
方向从v i 指向v j 的弧记为(v i ,v j ),(v i ,v j )≠(v j ,v i )•在有向图D中,对于每条弧用边来代替它,就得到一个无向图,称之为D的基础图,或称为D的基本图,记为G(D)。
•对于任何图,若V和E都是有限集合,则称之为有限图,否则称为无限图。
•网络(赋权图)—N=(V,E,W)管理工程系管理工程教研室管理工程系管理工程教研室若边集,则称G 为空图;此时,若|V|=n ,则称为n 阶空图,若|V|=1,则称为平凡图(1阶空图)。
φ=E 六阶空图平凡图图G 或D 中的顶点数记为p (G)或p (D),边(弧)数记为q (G)或q (D)。
在不会引起混淆的情况下,也分别简记为p ,q 。
若图G 的顶点集V 的元素个数|V|=n,则称G 是n 阶图。
管理工程系管理工程教研室有关名词的概念和记号无向图G=(V ,E)•边e=[v i ,v j ]∈E ,称v i ,v j 是e 的端点,v i ,v j 是相邻的。
e 与点v i (及点v j )是关联的。
•若某个边e 的两个端点相同,则称e 是环。
•若两个点之间有多于一条的边,称这些边为多重边。
•一个无环、无多重边的图称为简单图。
•如果一个简单图中的各个顶点之间都有边相连,则称这个图为完全图。
运筹学第7章 图与网络优化
10
厦门大学 郭红丽
支撑子图
设有两个图G1=(V1,E1),G2=(V2,E2),若V1=V2及 E1 E2,则称G1是G2的一个支撑子图。
设v ∈ V(G),用G-v表示从图G中去掉v 及v的关 联边后得到的一个图。
以点v为端点的边的个数称为v的次,记为d(v)。 一些特殊的点:
悬挂点:次数为1的点 孤立点:次数为0的点 奇点:次数为奇数的点(奇次点) 偶点:次数为偶数的点(偶次点) 命题:图中所有端点的次之和是边数的两倍,即 为偶数。
8
厦门大学 郭红丽
链,路,圈,回路
图中任意两点之间由端点和边相互交替构成的一 个点不重复序列称为初等链,也简称为链。
16
厦门大学 郭红丽
另一种寻求连通图G的支撑树的方法称为 “避圈法”,即在图G中任取一条边,接下 来每步选取一条边使它与已选边不构成圈, 直到选够n-1条边为止。
17
厦门大学 郭红丽
破圈法:从圈中去掉任一条边,再对余下 的圈重复相同的步骤,直到将图中所有的 圈都破掉为止。
避圈法:从图中某一点开始生长边,逐步 扩展生成一棵树的方法。其生长边的原则 是:每步选取与入树边不构成圈的那些边。
5
厦门大学 郭红丽
由点和边所构成的图称为无向图,记为G={V, E} 。 由点及弧所构成的图称为有向图,记为D={V, A}。
e1
v1
e2
v2
e5
e6 e3
v4 e7
e4
v3
无向图:点集、边集
v3
a8
a2
v1
a3 a4
a1
v2 a5
运筹学第6版参考答案
运筹学第6版参考答案运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来解决实际问题的学科。
它涵盖了数学、统计学、经济学等多个学科的知识,旨在通过建立数学模型和运筹方法来优化决策和规划。
本文将为读者提供《运筹学第6版》的参考答案,帮助他们更好地理解和应用这门学科。
第一章:引论本章主要介绍了运筹学的概念、发展历程以及应用领域。
运筹学的核心思想是通过数学模型和运筹方法来解决实际问题。
它广泛应用于生产、物流、供应链管理、金融等领域,可以帮助企业提高效益、降低成本。
第二章:线性规划线性规划是运筹学中最基础、最常用的方法之一。
它的目标是在给定的约束条件下,最大化或最小化一个线性目标函数。
本章介绍了线性规划的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法,如单纯形法、对偶理论等。
第三章:整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式,它要求决策变量取整数值。
由于整数规划的求解难度较大,本章介绍了常用的整数规划求解方法,如分支定界法、割平面法等,并给出了一些实际问题的案例分析。
第四章:网络优化网络优化是运筹学中的一个重要分支,它研究的是在网络结构中如何选择最优路径、分配资源等问题。
本章介绍了最小生成树、最短路径、最大流等基本概念和算法,并通过实例分析展示了网络优化在交通、通信等领域的应用。
第五章:动态规划动态规划是一种通过递推关系来求解最优化问题的方法。
本章介绍了动态规划的基本思想、模型建立方法以及常见的解法算法,如背包问题、最长公共子序列等。
通过实例分析,读者可以更好地理解动态规划的应用。
第六章:排队论排队论是运筹学中研究排队系统的理论和方法。
本章介绍了排队论的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法,如排队模型、排队规则等。
通过实例分析,读者可以了解如何通过排队论来优化服务质量、提高效率。
第七章:模拟模拟是一种通过构建系统模型进行实验和仿真的方法。
本章介绍了模拟的基本思想、模型建立方法以及常见的模拟技术,如蒙特卡洛方法、离散事件模拟等。
运筹学-第7章-图与网络优化
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中,若任何两个点之间,至少有一条链,称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链,圈,初等链,初等圈,简单链(圈)
• 链: 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
(v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ); 其中v0 ,vn分别为链的起点和终点, v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ; • 圈: 起点与终点重合的链; • 简单链(圈):链(圈)中所含的边均不相同; • 初等链(圈):链(圈)中所含的点均不相同,也 称通路;
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数,且偶点的次之和 d(v)也为偶数,所以 d(v) 必为偶
数,即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容: • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
《运筹学》ch09网络优化模型
➢ 一张城市分布图。现在要在各 城市之间架设电话线,应如何架 设,使各城市之间既能通话,又 使总的架设路线最短?
这里我们仅通过Excel电子表格求解,在表格中,我们并不是把每一对连接的点都 输入进去,比如,我们输入了从V7到V10,很明显不需要再输入从V7到V8,从V8到 V10这两对点对,因为他们加起来的距离明显要比前者长。
最优路线为:1-5-4-6-7-10,最短距离是25
目录
图与网络 树 最短路问题
中间节点的平衡值为0,起点为1,终点为-1。各个点的净流量等于平衡值 最短路平衡流
P(6)=8
P(5)=6
P(3)=3
P(1)=0
城市出租车公司在纽约市为出租车司机已经确定了10个搭乘 车站。为了减少运行时间,提高服务质量以及最大化利用公 司的车队,管理方希望出租车司机尽可能地选择最短路线。 使用下面公路与街道的网络图,请说明司机从车站1到车站10 应选择什么样的路线。运行时间如图所示。
3
1
4
1
4
连无顶有弧道通向点连链环向次路子图通图图图
2
3
2
3
由组中少则图连的 示 间 向 都连子个有任果个顶列链每是起称道弧边称点果点环顶数次由环次可通图分何每弧点弧有任称。有通顶顶了可一下点为路成是的时a。向点称:组为顶与以子称图连一恰,为一一意此图点两能个面,一由点一,的以的为分 图 为 。个有则一个序b图接成无个两图运组弧一则点个如一条称是一集图a为,原弧一称个不列a边顶链点为动成顶的个这道果对链此同个的点向点集若每图与个这链连弧和称相间连,点的终弧个路的点链有,链一图与前公一。干一的,通为图弧图和为连至通表之方点的链。中序条的如为个一共序个一如图b ,
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年,Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题,并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中,两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中,它共有4个顶点,6条边;而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图,如它有一个平面图形,使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的,记为 G H , 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵;则每行元
素之和等于相应顶点的度;每列元素之和等于 2。
因此,图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和,又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图,则
vV ( G )
d (v) 2
运筹学第7章图与网络优化
1
链,圈,初等链,初等圈,简单链(圈)
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178;
3
在无向图中,节点不重复出现的链称为初等链;
4
首尾相连的链称为圈(loop) ;首尾相连的初等链称为初等圈;
5
边不重复出现的链(圈)称为简单链(圈)
01
02
子图,部分图;连通图,成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步:
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线:
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线,一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点,假设郑州。由此分别向三城市架线,可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%,即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题,但一直未能得到证明。
平面图(planar graph),若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图,路,回路,欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头,称为D的基础图,G(D)
01
在有向图中,链 路
02
圈 回路
03
管理运筹学-07-网络规划1ppt课件
两个定理
定理7-1: 图G=(V,E)中,所有点的次之和是边数的两倍, 即:
d(v) 2q
vV
证明:计算各端点的次时,每个边都用了两次,所以次数的
总和必然为边数的两倍。
定理7-2: 任意一图中, 奇点的个数为偶数。
d(v) d(v) d(v)2q
v V 1
v V 2
v V
证明:设 V1表示奇点的集合, V2表示偶点的集合。由有:
因此,一条边可以用它的两个节点来标记。图7.3中的边,
可以记为[v1,v2],[v1,v3],[v2,v3],[v3,v2],[v2
,v4],[v3,v4],[v4,v1]。
e1
v2 e5
v1 e3
e4
v4
e2
e6
v3
图的定义
定义 设V={v1,v2,…,vm}表示节点的集合,E={e1 ,e2,…,en}表示边的集合,若对任一ek∈E,均有vi, vj∈V与之对应,则称V∪E为图,记为G=(V,E)。
图的支撑树〔Spanning Tree):设图G有p个节点,q条边 。由G中p个节点,p-1条边组成的树称为图G的支撑树,也 称为图G的生成树。
图7-8 图7-5 的一个 支撑树
图7-9 图7-5 的一 个支 撑边。图7-8 中节点3和节点7都是悬挂点,[6,3]和[4, 7]都是悬挂边。
因为偶点的次之和为偶数,总数为偶数,所以奇点的次之
和必须是偶数,只有偶数个奇数之和才能是偶数。所以奇 点的个数必然为偶数个。
相关定义
链:点边交错系列, 记为: (vi1,ei1,vi2,.v .ik 1 .,e ,ik 1,vik)
如果满足 eikt [vit,vit1],一般简记为:(vi1,vi2,..v.ik ,1,vik)
011运筹学-网络优化
图与网络的基本概念
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 (1)邻接矩阵:对图G=(V,E),|V|=n, 构造一个矩阵 邻接矩阵:对图 , , A=(aij)nn, 其中 aij= k, vi和vj之间有 条边连接 之间有k条边连接 v5 v1 0, 其它 , v4 v1 0 1 A = 1 0 0 v2 0 0 1 1 0 v3 0 0 0 0 1 v4 1 0 1 0 0 v5 2 v1 0 v2 0 v3 1 v4 0v
图与网络的基本概念
图定义为一个有序二元组G=(V,E), 其中 图(Graph)——图定义为一个有序二元组 ) 图定义为一个有序二元组 (1)V是有限非空集合,V 中的元素vi 叫做G的顶点, V称 ) 是有限非空集合, 中的元素 叫做 的顶点, 称 是有限非空集合 为G的点集,记为 的点集,记为V={v1, v2, …, vn}, (2)E是V中元素的无序对(vi, vj)构成的一个集合,其元素 ) 是 中元素的无序对( 构成的一个集合, 中元素的无序对 称为G的 记为e=(vi , vj), E称为 的边集。 称为G的边集。 称为 的边,记为 , 称为 vi, vj称为边e=(vi , vj)的端点。 称为边 的端点 的边数m(G)=|E|, 图G的点数 的点数n(G)=|V|. 图G的边数 的边数 的点数 如果一边的两个端点相同, 则称此边e 如果一边的两个端点相同,e=(vi,vi),则称此边 为环. 则称此边
运筹学—网络模型
连通的赋权图称为网络图,记为 G={V,E,W}
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如,
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8,lg 7 2.807 ,因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1,(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
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7.1 图与网络的基本概念
5、根树 有向树:若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树, 则称这个有向图为有向树。 根树:有向树T,恰有一个结点入次d-(vi) =0,其余各 点入次d-(vi) =1,则称T为根树
根树中入次d-(vi) =0的点称为根 出次d+(vi) =0称为叶 其他点称为分枝点
无向网络 有向网络
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
1、树(T):无圈的连通图称为树
树叶
分枝点
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
2、树的性质 性质7.1 树中任意两点之间有且只有一条链。 性质7.2 如图G中任意两点之间,有且只有一条 链,则该图G是一个树。 性质7.3 一个树,则m=n-1。 性质7.4 树中任意两个不相邻的点之间增加一 条边,则形成唯一的圈。 性质7.5 一个树如果去掉任何一条边,该图就 不再连通。
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
3、图的生成树
生成树(支撑树):图G的生成子图是一棵树, 则称该树为G的生成树 图G中属于生成树的边称为树枝,不属于生成树 的边称为弦 定理7.3:图G=(V,E),有生成树的充分必要条 件为G是连通图
4、最小生成树:图G = ( V,E )的生成树所有树枝上的 权数的总和,称为生成树的权。权数最小的生成树称为 最小生成树。 寻找最小生成树的方法:避圈法、破圈法
Σd+(v) =Σd-(v) = m
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图: 链:无向图G =(V, E)前后相继的点边序列称为 链
初等链:点边序列中没有重复的点和重复边的链称 为初等链
( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e8 , v5 )
7.1 图与网络的基本概念
4、次:以点v为端点的边数叫做点v的次,d(v)
奇点:次为奇数
偶点:次为偶数
悬挂点:d(v)=1
孤立点:
d(v)=0
定理7.1:任何图,Σd ( vi ) = 2 m
定理7.2:任何图,奇点有偶数个
7.1 图与网络的基本概念
出次d+(vi) :有向图中,以vi为始点的边数 入次d-(vi) :有向图中,以vi为终点的边数
5、连通图: 圈:无向图G =(V, E)中起点和终点重合的 链称为圈
初等圈:没有重复点和重复边的链圈称为初等圈 ( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e5 , v1 )
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图:
对于有向图来说,如果链和圈中边的方向与有 向图中所标方向相同,那么链就称为道路,圈 就称为回路。 连通图:任意两个点之间至少有一条链相连的 图称为连通图
P标号(永久性标号)
S={v1} P(v1)=0, T(vi)=∞
P(v1)=0
2
6
V1
V2
V3
1
10
P(v4)=1
5
9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
V7
4
V8 8
T(v2)=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3
min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2,1,3} =1
P(v4) =1
min {T(v6),T(v7),T(v3), T(v5)}=min {3, 3, 8, 7}=3
第七章 网络优化模型
图与网络的基本概念 最短路径问题 最大流问题 最小费用最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
A D
C B
A
简捷表示事物之间的
本质联系,归纳事物
C
D
之间的一般规律
B
7.1 图与网络的基本概念
在一个人群中,对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1)
e2
(v3)孙
赵
e1
e4 e3
(v4)
(v2)钱
李
e5
(v5)
周
(v6)吴
(v7)陈
7.1 图与网络的基本概念
7.1.1 图与网络的概念及分类
1、图:图由点和边组成 G=( V, E )
点集V={ vi } 边集E={ ei }
每一条边和两个端点关联,一条边可以用两个端点 表示(vi,vj)
e
vi
vj
边数:m ( G ) = | E | 点数: n ( G ) = | V |
P(v2) =2
S={v1 ,v4 , v2}
L12=2 L16=3 L42=11 L47=3
S={v1 ,v4 , v2}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
L16=3
3
v4
7
v5
6
L47=3
52
34
L23=8
v6
v7
4
P(v6) =3
v8
L25=7
8
T(v6)=3 T(v7)=3 T(v3)=8 T(v5)=7
7.1 图与网络的基本概念
6、子图与生成子图:
子图:图G=( V, E ),E’是E的子集,V’是V的子 集,且E’ 的边与V’的顶点想关联, G’=( V’, E’) 是图G的一个子图。
生成子图:若V’=V,则G’是G的生成子图
7.1 图与网络的基本概念
6、网络:
网络(赋权图):由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络,记作N={V,E,W}
7.1 图与网络的基本概念
在根树中,若每个顶点的出次d-(vi) ≤m,称这棵 树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0,则称这棵树为完 全m叉树
7.2 最短路问题
v1
2
v2
6
v3
1
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3பைடு நூலகம்
4
v6
v7
4
v8
8
求从v1到v8的 最短路径
1、狄克斯托算法(Dijkstra):标号法 标号:T标号(试探性标号)
7.1 图与网络的基本概念
2、无向图和有向图
无向边:
有向边:
无向图:由无向边构成的图
有向图:由有向边构成的图
7.1 图与网络的基本概念
3、简单图和多重图
环:e 9
多重边:e 6 和 e 7
简单图:不含环和多重边
多重图:含多重边
7.1 图与网络的基本概念
判断下列哪些图是简单图,哪些图是多重图?
7.1 图与网络的基本概念
S={v1 ,v4}
L12=2 L14=1 L16=3
S={v1 ,v4}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
v6
v7
4
34
v8 8
T(v2)=2 T(v6)=3 T(v7)=3
min {T(v2),T(v6),T(v7)}=min {2,3,3}=2