【运筹学】第七章 网络优化模型

7.1 图与网络的基本概念
6、子图与生成子图：
子图：图G=( V, E )，E’是E的子集，V’是V的子 集，且E’ 的边与V’的顶点想关联， G’=( V’, E’) 是图G的一个子图。
生成子图：若V’=V，则G’是G的生成子图
7.1 图与网络的基本概念
6、网络：
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
Σd+(v) =Σd-(v) = m
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图： 链：无向图G =（V, E）前后相继的点边序列称为 链
初等链：点边序列中没有重复的点和重复边的链称 为初等链
( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e8 , v5 )
7.1 图与网络的基本概念
S={v1 ,v4}
L12=2 L14=1 L16=3
S={v1 ,vຫໍສະໝຸດ Baidu}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
v6
v7
4
34
v8 8
T(v2)=2 T(v6)=3 T(v7)=3
min {T(v2),T(v6),T(v7)}=min {2，3，3}=2
P(v2) =2
S={v1 ,v4 , v2}
L12=2 L16=3 L42=11 L47=3
S={v1 ,v4 , v2}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
L16=3
3
v4
7
v5
6
L47=3
52
34
L23=8
v6
v7
4
P(v6) =3
v8
L25=7
8
T(v6)=3 T(v7)=3 T(v3)=8 T(v5)=7
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
3、图的生成树
生成树（支撑树）：图G的生成子图是一棵树， 则称该树为G的生成树 图G中属于生成树的边称为树枝，不属于生成树 的边称为弦 定理7.3：图G=（V,E）,有生成树的充分必要条 件为G是连通图
4、最小生成树：图G = ( V，E )的生成树所有树枝上的 权数的总和,称为生成树的权。权数最小的生成树称为 最小生成树。 寻找最小生成树的方法：避圈法、破圈法
5、连通图： 圈：无向图G =（V, E）中起点和终点重合的 链称为圈
初等圈：没有重复点和重复边的链圈称为初等圈 ( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e5 , v1 )
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图：
对于有向图来说，如果链和圈中边的方向与有 向图中所标方向相同，那么链就称为道路，圈 就称为回路。 连通图：任意两个点之间至少有一条链相连的 图称为连通图
7.1 图与网络的基本概念
在根树中，若每个顶点的出次d-(vi) ≤m，称这棵 树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0，则称这棵树为完 全m叉树
7.2 最短路问题
v1
2
v2
6
v3
1
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
v8
8
求从v1到v8的 最短路径
1、狄克斯托算法（Dijkstra）:标号法 标号：T标号（试探性标号）
P标号（永久性标号）
S={v1} P(v1)=0, T(vi)=∞
P(v1)=0
2
6
V1
V2
V3
1
10
P(v4)=1
5
9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
V7
4
V8 8
T(v2)=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3
min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2，1，3} =1
P(v4) =1
7.1 图与网络的基本概念
2、无向图和有向图
无向边：
有向边：
无向图：由无向边构成的图
有向图：由有向边构成的图
7.1 图与网络的基本概念
3、简单图和多重图
环：e 9
多重边：e 6 和 e 7
简单图：不含环和多重边
多重图：含多重边
7.1 图与网络的基本概念
判断下列哪些图是简单图，哪些图是多重图？
7.1 图与网络的基本概念
(v2)钱
李
e5
(v5)
周
(v6)吴
(v7)陈
7.1 图与网络的基本概念
7.1.1 图与网络的概念及分类
1、图：图由点和边组成 G=( V, E )
点集V={ vi } 边集E={ ei }
每一条边和两个端点关联，一条边可以用两个端点 表示（vi，vj）
e
vi
vj
边数：m ( G ) = | E | 点数： n ( G ) = | V |
4、次：以点v为端点的边数叫做点v的次，d(v)
奇点：次为奇数
偶点：次为偶数
悬挂点：d(v)=1
孤立点：
d(v)=0
定理7.1：任何图，Σd ( vi ) = 2 m
定理7.2：任何图，奇点有偶数个
7.1 图与网络的基本概念
出次d+(vi) ：有向图中，以vi为始点的边数 入次d-(vi) ：有向图中，以vi为终点的边数
第七章 网络优化模型
图与网络的基本概念 最短路径问题 最大流问题 最小费用最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
A D
C B
A
简捷表示事物之间的
本质联系，归纳事物
C
D
之间的一般规律
B
7.1 图与网络的基本概念
在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1)
e2
(v3)孙
赵
e1
e4 e3
(v4)
无向网络 有向网络
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树
树叶
分枝点
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
2、树的性质 性质7.1 树中任意两点之间有且只有一条链。 性质7.2 如图G中任意两点之间，有且只有一条 链，则该图G是一个树。 性质7.3 一个树，则m=n-1。 性质7.4 树中任意两个不相邻的点之间增加一 条边，则形成唯一的圈。 性质7.5 一个树如果去掉任何一条边，该图就 不再连通。
min {T(v6),T(v7),T(v3), T(v5)}=min {3, 3, 8, 7}=3
最小生成树 权=11
7.1 图与网络的基本概念
5、根树 有向树：若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树， 则称这个有向图为有向树。 根树：有向树T，恰有一个结点入次d-(vi) =0，其余各 点入次d-(vi) =1，则称T为根树
根树中入次d-(vi) =0的点称为根 出次d+(vi) =0称为叶 其他点称为分枝点