西南交大 材料力学 龚晖 弯曲正应力

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（4）中性轴 z 不是横截面的对称轴时 yt，max yc，max
O y
z
t,max
My t ,max Iz Myc,max Iz
c,max
M M I z / yt ,max Wzt M M I z / yc,max Wzc
(5) 型钢截面：参见型钢表
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。
对于拉压强度不同的等直梁：
t,max
M max y t,max Iz M max yc,max Iz
[ t] [ c]
c,max
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对 中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉 应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试 求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
148 MPa
21
12.5 560
z
a 166
max 160MPa
21
ya a max ymax
560 21 2 160 148 MPa 560 2
Ⅲ
梁的正应力强度条件
max
M max 对于等直梁： Wz
[ F ] 19.2 kN
375 kN.m
a 166
21
C 10m
B FB
z
560
F
2、查型钢表得
I z 6558610 mm
4
4
Wz 2342103 mm3
3、求正应力
M max 375106 max 160 MPa 3 Wz 234210
12.5
z
a 166
560
M max ya 375106 (560/ 2 21) a 4 Iz 6558610
平面假设
m n a a b b m n
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且 与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于 纵对称轴的某一轴转动。
m n a a b b m n 纵向线与横向线垂直 →无剪应变 → = 0； 正应力沿横截面宽度方向均匀分布。 受压区
中性层
受拉区
中性轴
受拉区
}
C
m n a a b b m n


O2
y

y
O1
dx
E E

——中性层的曲率半径
E
y

FN A d A 0
E
O
dA
y
dA z
y
z

A
yd A 0
中性轴 z是形心轴。
Sz 0
M z A y d A
Mz EI z 1
E

A
y dA
2
EI z

弯曲刚度
纯弯量的中性轴是一根圆曲线。
40 z
180
A
20
y 20
Fb/4
M
max
M max
Fb 4 Fb 2
发生在截面C
发生在截面B
134
C b
B b b Fb/2
D
C 形心
86 z
据此作出梁的弯矩图如下 q=F/b F
120 40
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4
考虑截面B ：
M B y2 F / 2 2 103 86 t,max 30 MPa 3 Iz 5493 10 F 19.2 kN 3 M B y1 F / 2 2 10 134 c,max 90 MPa 4 Iz 549310
4
z y
πd Iz Iy 64 Iy Iz πd 3 Wz W y d /2 d /2 32
⑶ 空心圆截面
O
z
π Iz Iy D4 d 4 64 πD 4 1 4 64




D d
d/D
y
Iz πD Wz 1 4 Wy D/2 32
F 73.8 kN
20
y 20
Fb/2
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/4
考虑截面C：
3
20
y 20
M C y1 F / 4 2 10 134 t,max 30 MPa 4 Iz 549310 F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
§4-4 梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件
纵对称面 对称轴 F1
F2
B
FB
A FA 梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
平面弯曲
F a FS F
F
l
F Fa
a x
M
x
FS 0 M 常量
纯弯曲
FS 0 M M ( x)
横力弯曲
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力 m a b m
n a b n
O
dA dA
z y
y
z
M EI z y E
1
max
My Iz
Mymax Iz M M I z Wz y max
称为弯曲截面系数
b h y d
⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b h Iy 12
⑵ 圆形截面
3
Iz bh2 Wz h/2 6 2 Iy b h Wy b/2 6
平面假设和纵向线之间无挤压的假设 实际上都不再成立。 将纯弯曲理论推广到横力弯曲
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。 试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。 12.5 A FA 5m
M 解：1、作弯矩图
Fl 375 kN m M max 4