单纯形法例题
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
单纯形法
优化问题的单纯形法的举例示范：max s=x1−3x2+3x3s.t.3x1+x2+2x3+x5=5 x1+x3+ 2x5+x6=2x1+ 2x3+x4+2x5=6 x j≥0,j=(1,2,3,4,5,6)解：s.t.312010101021102120x1x2x3x4x5x6=526(1)(1)确定初始可行解n=6,m=3,基变量3个，B(1)= P2P6P4f=0+x1−3x2+3x3=0+x1−3−3x1−2x3−x5+5+3x3=0+x1+9x1+6x3+3x5−15+3x3=−15+ 10x1+9x3+3x53x1+x2+2x3+x5=5x2=−3x1−2x3−x5+5x1+x3+2x5+x6=2x6=−x1−x3−2x5+2x1+2x3+x4+2x5=6x4=−x1−2x3−2x5+6x2=−3x1−2x3−x5+5x6=−x1−x3−2x5+2x4=−x1−2x3−2x5+6令非基变量x1=x3=x5=0x(1)=0,5,0,6,0,2Tf1=−15(2)(1)判定是否最优解f=−15+10x1+9x3+3x5系数10.9.3均大于0，所以x(1)并不是最优解(3)(1)由一个基本可行解迭代另一基本可行解因为系数10>9>3,所以选x1从0开始增大，x3=x5=0x2=−3x1−2x3−x5+5=−3x1+5≥0x1≤5x6=−x1−x3−2x5+2=−x1+2≥0x1≤2x4=−x1−2x3−2x5+6=−x1+6≥0x1≤6所以取x1=min53,2,6=53,x1进基向量，x2出基向量(1)(2)B(2)= P1P6P4f=−15+10x1+9x3+3x5=−15+1013−x2−2x3−x5+5+9x3+3x5=−15−10x2−20x3−10x5+50+9x3+3x5=5−10x2+7x3−1x53x1+x2+2x3+x5=5x1=1(−x2−2x3−x5+5)x1=−1x2−2x3−1x5+5x6=−13−x2−2x3−x5+5−x3−2x5+2=13x2−13x3−53x5+13x4=−13−x2−2x3−x5+5−2x3−2x5+6=13x2−43x3−53x5+193令x2=x3=x5=0x2=5,0,0,19,0,1f(2)=5(2)(2)判定是否最优解f=53−103x2+73x3−13x5系数73大于0，所以x(2)并不是最优解(3)(2)由一个基本可行解迭代另一基本可行解因为系数73>0,所以选x3从0开始增大，x2=x5=0x1=−13x2−23x3−13x5+53=−23x3+53≥0x3≤52x6=1x2−1x3−5x5+1=−1x3+1≥0x3≤1x4=13x2−43x3−53x5+193=−43x3+193≥0x3≤194所以取x3=min52,1,194=1,x3进基向量，x6出基向量(1)(3)B(2)= P1P3P4f=5−10x2+7x3−1x5=5−10x2+7(x2−5x5−3x6+1)−1x5=5−10x2+7x2−35x5−21x6+7−1x5 =−x2−12x5−213x6+4x6=13x2−13x3−53x5+13x3=x2−5x5−3x6+1x1=−13x2−23(x2−5x5−3x6+1)−13x5+53=−x2+3x5+2x6+1x3=x2−5x5−3x6+1x4=1x2−4x2−5x5−3x6+1−5x5+19=−x2+5x5+4x6+5令x2=x5=x6=0x(3)=1,0,1,5,0,0f(3)=4(2)(3)判定是否最优解f=−x2−12x5−213x6+4系数均小于0，所以x(3)是最优解结束！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！单纯形表：(1)(1)264f=0+x1−3x2+3x3=0+x1−3−3x1−2x3−x5+5+3x3=0+x1+9x1+6x3+3x5−15+3x3=−15+ 10x1+9x3+3x53x1+x2+2x3+x5=5x2=−3x1−2x3−x5+5x1+x3+2x5+x6=2x6=−x1−x3−2x5+2x1+2x3+x4+2x5=6x4=−x1−2x3−2x5+6x2=−3x1−2x3−x5+5x6=−x1−x3−2x5+2x4=−x1−2x3−2x5+6令非基变量x1=x3=x5=0 x(1)=0,5,0,6,0,2Tf1=−15(2)(2)判定是否最优解f=53−103x2+73x3−13x5系数73大于0，所以x(2)并不是最优解(3)(2)由一个基本可行解迭代另一基本可行解因为系数73>0,所以选x3从0开始增大，x2=x5=0x1=−1x2−2x3−1x5+5=−2x3+5≥0x3≤5x6=1x2−1x3−5x5+1=−1x3+1≥0x3≤1x4=13x2−43x3−53x5+193=−43x3+193≥0x3≤194所以取x3=min52,1,194=1,x3进基向量，x6出基向量(1)(2)B(2)164f=−15+10x1+9x3+3x5=−15+101−x2−2x3−x5+5+9x3+3x5=−15−103x2−203x3−103x5+503+9x3+3x5=53−103x2+73x3−13x53x1+x2+2x3+x5=5x1=13(−x2−2x3−x5+5)x1=−13x2−23x3−13x5+53x6=−1−x2−2x3−x5+5−x3−2x5+2=1x2−1x3−5x5+1x4=−1−x2−2x3−x5+5−2x3−2x5+6=1x2−4x3−5x5+19令x2=x3=x5=0x2=53,0,0,193,0,13f(2)=5(2)(2)判定是否最优解f=53−103x2+73x3−13x5系数73大于0，所以x(2)并不是最优解(3)(2)由一个基本可行解迭代另一基本可行解因为系数73>0,所以选x3从0开始增大，x2=x5=0x1=−1x2−2x3−1x5+5=−2x3+5≥0x3≤5x6=13x2−13x3−53x5+13=−13x3+13≥0x3≤1x4=1x2−4x3−5x5+19=−4x3+19≥0x3≤19所以取x3=min52,1,194=1,x3进基向量，x6出基向量(1)(3)B(2)134f=53−103x2+73x3−13x5=53−103x2+73(x2−5x5−3x6+1)−13x5=53−103x2+73x2−353x5−213x6+73−13x5 =−x2−12x5−213x6+4x6=1x2−1x3−5x5+1x3=x2−5x5−3x6+1x1=−1x2−2(x2−5x5−3x6+1)−1x5+5=−x2+3x5+2x6+1x3=x2−5x5−3x6+1x4=13x2−43x2−5x5−3x6+1−53x5+193=−x2+5x5+4x6+5令x2=x5=x6=0x(3)=1,0,1,5,0,0f(3)=4(2)(3)判定是否最优解f=−x2−12x5−213x6+4系数均小于0，所以x(3)是最优解结束！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
15单纯形法(运筹学)
1
2
3
4
X(1)= (2,3) X(2)= (4,2)
全部解： 全部解：X=α
(1) -4 0 1 -2 0
14
15
本问题无界。 本问题无界。 X2
O
X1
Z=0
16
1.5.4 初始基本可行解的求法 (一)、大M法： 一、 法 例1 ： maxZ= 6X1 +4X2 2X1 +3X2 ≤ 100 4X1 +2X2 ≤ 120 X1 X1 X2 ≥0
=14
X2 ≥ 22
17
λj <0
8
(3)、 (3)、maxZ=10X1 + 12X2 3X1+4X2 ≤ 6 4X1+ X2 ≤ 2 3X1 +2X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥0
9
10
X =(0, 3/2, 0, 1/2, 0)T Zmax=18
退化解
*
11
例：maxZ= -3/4X4+20X5 -1/2X6+6X7 X1+1/4X4 -8X5 -X6+9X7 =0 X2+1/2X4-12X5 -1/2X6+3X7 =0 X3+X6 =1 X1 … X7 ≥0 (P1 P2 P3) → (P4 P2 P3) → (P1 P2 P3) → (P4 P5 P3) → (P6 P5 P3) → (P6 P7 P3) → (P1 P7 P3)
【精品】最优化单纯形法例题讲解
【精品】最优化单纯形法例题讲解最优化单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法。
它通过不断迭代调整基变量的取值来寻找使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
下面我们通过一个例题来详细讲解最优化单纯形法的求解过程。
例题：假设有如下线性规划问题：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0首先，我们将原问题转化为标准型，即将约束条件全部转化为等式，并引入松弛变量。
将原问题转化为如下形式：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2x2 + x4 = 6 x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们构造初始单纯形表。
单纯形表由目标函数系数矩阵、约束条件系数矩阵和右端常数向量组成。
目标函数系数矩阵： 3 4 0 0约束条件系数矩阵： 2 1 1 0 1 2 0 1右端常数向量： 8 6再构造一个松弛变量的列向量，也就是单位矩阵的第一列。
接下来，我们要选择一个入基变量和一个出基变量，通过迭代调整基变量的取值来逼近最优解。
选择入基变量：我们要选择一个非基变量进入基变量集合，使得目标函数系数矩阵中的相应列元素最大（如果是最小化问题，则选择最小的）。
选择出基变量：我们要选择一个基变量出基变量集合，使得约束条件系数矩阵中相应列元素最小的行对应的非基变量列元素大于等于0。
在初始单纯形表中，目标函数系数矩阵中3和4是最大的，所以我们选择x1和x2作为入基变量。
在约束条件系数矩阵中，对于x1，第一行的1最小，所以我们选择第一行的x4作为出基变量；对于x2，第二行的1最小，所以我们选择第二行的x3作为出基变量。
接下来，我们通过计算新的单纯形表来更新基变量的取值。
首先，我们计算新的基变量x1的系数矩阵。
将x1的列除以相应的出基变量的系数（即1），得到新的系数矩阵：1 0 1/2 0 0 1 -1/2 1然后，我们计算新的基变量x2的系数矩阵。
运筹学_6 单纯形法案例
Cj 23000
变量系数
b
CB 0 0 0
XB x3 x4 x5
1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 [4] 0 0 1
8 16 12
检验行σ
23000
0
单纯形表案例（2）
基变量 基变量 原始价值系数
Cj 23000
变量系数
b
CB 0 0 3
XB x3 x4 x2
1 0 1 0 -½ 4 0 0 1 0 0 [1] 0 0 ¼
总结处理单纯形表的流程
补充
补充问题，P23
枢轴变换，别忘了CB
单纯形表案例（1）
max z＝3x1＋4x2 s.t.
max z＝3x1＋4x2 s.t.
x1＋x2 ≤ 6 x1＋2x2 ≤ 8 2x2 ≤ 6 x1，x2 ≥ 0 基变量原始价值系数 基变量
x1＋x2＋x3 ＝6 x1＋2x2 ＋x4 ＝8 2x2 ＋x 5 ＝ 6 x1，x2，x3，x4，x5 ≥0
0 1
¼
2 8 3
检验行σ
0 0 －2 0 ¼
13
单纯形表案例（2）
基变量 基变量 原始价值系数
Cj 23000
变量系数
b
CB 2 0 3
XB x1 x4 x2 1 0
0 1 0 -½ 0 －4 1 2 0 0
0 1
¼
2 8 3
检验行σ
0 0 －2 0 ¼
13
单纯形表案例（2）
基变量 基变量 原始价值系数
Cj 23000
变量系数
b
CB 2 0 3
XB x1 x5 x2
1 0 0 0 0 －2 0
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法是一种用于线性规划问题的求解方法，它通过不断地移动解空间中的顶点，逐步逼近最优解。
下面我将通过一个简单的例题来说明单纯形法的计算步骤。
考虑以下线性规划问题：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 8
x1, x2 >= 0
首先，我们将这个线性规划问题转化为标准型，引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束。
得到如下形式：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 + x3 = 10
x1 + 2x2 + x4 = 8
x1, x2, x3, x4 >= 0
然后，我们构建初始的单纯形表格，包括目标函数系数矩阵、系数矩阵、单位矩阵和右端常数向量。
初始单纯形表格如下：
基变量x1 x2 x3 x4 常数
x3 2 1 1 0 10
x4 1 2 0 1 8
Z -3 -4 0 0 0
接下来，我们通过单纯形法进行迭代计算，每次迭代都要找到一个入基变量和一个出基变量，然后更新单纯形表格，直到满足最优解的条件。
在这个例子中，我们不再继续举例，因为单纯形法的计算步骤较为复杂，需要逐步进行迭代计算。
希望这个简单的介绍对你有所帮助。
(参考资料)运筹学单纯形法例题
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
30
1
= 10
3
0
0
x3
5
30
[]
3
0
1
1 −
30 × 3 = 18 5
3
4
x2
10
1 3
σ
(2) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5 3
3
x1
18
1
4
x2
4
0
σ
(3) j
=cj
− CB
⋅ Pj
1
10 × 3 = 30
1
0
3
0
0
−4
3
3
1
0
−
5
接着看另一行。即第一行，该行的系数表示的是约束条件： 40 = 2x1 + x2 + x3 ①。
我们期待的是：在这个约束条件中， x2 的系数＝0， x3 的系数＝1。要做到这一点，需要将
①－ 1 ×
②’
⇒
30
=
5 3
x1
+
x3
−
1 3
x4
①’，式①’与式①等价。
为实现我们的期待，将约束条件
⎧40 ⎩⎨30
⎧2x1 + x2 + x3 = 40
⎪ ⎨
x1
+
3x2
+
x4
=
30
⎪ ⎩
x1
,
x2 ,
x3 ,
单纯形法例题
单纯形法例题1、 例1、目标函数 max z=2x 1+3x 2约束条件：{ x 1+2x 2≤84x 1≤164x 2≤12x 1，x 1≥0}解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，x 3，x 4，x 5，并且它们都大于等于0.得到的标准形式为：max z=2x 1+3x 2+ 0x 3+0x 4+0x 5 {x 1+2x 2+x 3＝84x 1+x 4=164x 2+x 5＝12x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}25a ij ={a ij −alj alk ∗a ik (i ≠l )a lj alk(i =l ) }b i ={b i −aik a lk∗b l (i ≠l )b l alk(i =l ) }(也就是如果与主元素同行，那么用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否那么，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。
例如：上面的第一行所对应的b 值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。
而θi 那么是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到θi 列的值。
由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。
通过观察可以看出主元素为1，换入变量为x 1，换出〔4,2,0,0,4〕，故目标函数值z=2*4+2*3=142、 合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m ，和1.5m 的钢各一根，原料长7.4m ，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。
我们分析一下问题，做100套钢架，需要2.9m 长的钢100根，2.1m 的钢100根，1.5m 的钢100根。
而方案，使得剩余的总长度最少。
由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：目标函数：min z=0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5约束条件{ x 1+x 2+2x 3=1002x 2+x 4+2x 5=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}首先可以写出线性方程组的矩阵形式：[11200020*******]发现不存在单位矩阵，所以要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：x 6，x 7，x 8，那么线性方程组可以表示为：{ x 1+x 2+2x 3+x 6=1002x 2+x 4+2x 5+x 7=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5+x 8=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8≥0} ，目标函数可以表示为：min z=0x 1+0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5+M x 6+Mx 7+Mx 8转换为求目标最大化max Z=−0x 1−0.3x 2−0.1x 3−0.8x 4−0.2x 5−M x 6−Mx 7−Mx 8然后列出初始单纯形表：(注意，参加人工变量之后，它所对应的系数为-M ，而非换入变量为x，换出变量为x，得到的单纯形表为：方案下料30根，第二种方案下料50根，按照第三种方案下料10根。
线性规划单纯形法(例题)资料
线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
单纯形法及例题解析
= a11a22-a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-
a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
练习
14 3 -5 2 1 36 1
10 0 -5 2 3 33 5
x4
x5
0
x3
2
[1]
0
1
0
-1/2
1
0
x4
16
4
0
0
1
0
4
3
x2
3
0
1
0
0
1/4
-
Cj-Zj
2
0
0
0
-3/4
Cj
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
Cj-Zj
单纯形表
2
3
0
x1
x2
x3
1
0
1
0
0
-4
0
1
0
0
0
-2
0
0
θ
x4
x5
0
-1/2
-
1
[2]
4
0
1/4
12
0
1/4
单纯形表
Cj
2
3
0
0
0
θ
CB
矩阵的乘法
A =（aij）m s B =（bij）s n C =AB =（cij）m n
cij = ai1b1j+ai2b2j+ … +aisbsj
单纯形法例题
单纯形法例题
单纯形法是一种用于解决什么类型问题的算法？
A. 线性规划
B. 非线性规划
C. 整数规划
D. 动态规划
在单纯形法中，基可行解对应的基变量应满足什么条件？
A. 全部为非零
B. 全部为零
C. 部分为零，部分为非零
D. 无特定要求
单纯形表中的一个关键元素是检验数，它用于判断：
A. 当前解是否最优
B. 当前解是否可行
C. 是否需要继续迭代
D. 问题的约束条件是否满足
在单纯形法的迭代过程中，若所有检验数都小于或等于零，则：
A. 当前解为最优解
B. 当前解不是最优解，需要继续迭代
C. 问题无解
D. 问题有无穷多解
单纯形法中选择换入变量的规则是：
A. 选择检验数最大的非基变量
B. 选择检验数最小的非基变量
C. 选择检验数绝对值最大的非基变量
D. 选择任意非基变量
在单纯形法中，若某个基变量的值变为零，则意味着：
A. 该变量退出了基变量集
B. 该变量仍然是基变量
C. 问题出现了无解的情况
D. 需要重新构造初始基可行解
单纯形法迭代过程中，换出变量的选择依据是：
A. 比值规则
B. 最小元素规则
C. 最大元素规则
D. 任意选择规则
当单纯形法中出现两个或更多检验数同时达到最大值时，这意味着：
A. 问题有多个最优解
B. 问题有无穷多最优解
C. 需要进一步分析以确定最优解的情况
D. 问题无解。
单纯形法例题
Content
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x j 0 j 1,2
求其基本可行解和最大目的值
化为原则型：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
S.T
4x1
x4 16
4x2
(6) 表1-6最终一行旳全部检验数都已为负或零。这表达目旳函数 值已不可能再增大，于是得到最优解
cj
23 0
00
θ
CB
XB
B﹣1b x1 x2
x3
X4
x5
2
x1
4
1 0 1 1/4 0
0
x5
4
0 0 -2 1/2 1
3
x2
2
0 1 1/2 -/2 -1/8 0
X*=X=(4,2,0,0,4)T 目旳函数旳最大值 z*=14
[4]称为主元素。
(4) 以[4]为主元素进行迭代运算，即初等行变换，使P2变换为(0,0,1)T,在XB 列中将x2 替代x5 ,于是得到新表
cj
2 30 0 0
CB
XB B﹣1b x1 x2 x3 x4 x5 θ
0
x3
2 [1] 0 1 0 -1/2 2
0
x4
16
4 00 1 04
3
x2
3
检验数
x5 12
x j 0 j 1,2,,5
➢ 根据原则型将有关数字填入表中，得到初始单纯形表
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
0
x5
检验数
23000
最优化单纯形法例题讲解
例1 用单纯形法解下列问题：解：将原问题化成标准形：x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T列出初始单纯形表，见表1。
22x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
242)24,110(m in ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
1231234123123min 2..210,248,244,0,1,,4.j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥=123123412351236max 2..210,248,244,0,1,,6.j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。
变换结果见表3。
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T)0,0,8,5,12,0(=*X 。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T )8,5,12,0(=*X ,最小值为-19例2 用大M 法求解下列问题：12312312313min 3..211,243,21,0,1,,3.j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：1234567123412356137min 300()..211243210,1,2,,7j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=用单纯形法计算如下：由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
运筹学-单纯型法
线性规划基本概念练习
9、从O到D的单纯形迭代， 进基变量是（ x2 ）， 离基变量是（ x4 ）。 从D到C的单纯形迭代， 进基变量是（ x1 ）， 离基变量是（ x3 ）。 从C到E的单纯形迭代， 进基变量是（ x4 ）， 离基变量是（ x5 ）。 x5=0
I
-2 x2
F 6 E G 4 H D 3
x3=0
C x =0 4 B A
x1=0
O 0
x1
x2=0
4
6
第四节 单纯型法
单纯形表的运算
Step 0 获得一个初始的单纯形表，确定基变量和非基变量 Step 1 检查基变量在目标函数中的系数是否等于0，在约束条 件中的系数是否是一个单位矩阵 Step 2 如果表中非基变量在目标函数中的系数全为负数，则 已得到最优解。停止。否则选择系数为正数且绝对值 最大的变量进基，转step 3。 Step 3 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，则可 行域开放，目标函数无界。停止。否则选取右边常数 和正的系数的最小比值，对应的基变量离基，转step 4。 Step 4 确定进基变量的列和离基变量的行交叉的元素为“主 元”，对单纯形表进行行变换，使主元变为1，主元所 在列的其他元素变为0。将离基的基变量的位置用进基 的非基变量代替。转Step 2。
15 20 26 35M+26
θi 5 4 6.5
CB XB -M x5 -M x6 -1 x4 σ -M x5 3 x3 -1 x4 σ 2 x2 3 x3 -1 x4 σ 2 x2 5 x1 -1 x4 σ
5 2 3 x1 x2 x3 15 1 2 3 20 2 1 (5) 26 1 2 4 35M +26 3M +6 3M +4 8M +7 3 -1/5 (7/5) 0 4 2/5 1/5 1 10 -3/5 6/5 0 3M -2 -M /5+16/5 7/5M +13/5 0 15/7 -1/7 1 0 25/7 (3/7) 0 1 52/7 -3/7 0 0 -53/7 25/7 0 0 10/3 0 1 1/3 25/3 1 0 7/3 11 0 0 1 -112/3 0 0 -25/3
运筹学单纯形法的例题
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13
---精品---
17.10.2020
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列?
填入第一个约束的数据.
14
---精品---
x3
x4
bi
比
00
1 0 77 0 1 9 9/4
000
00
x3
x4
bi
比
00
1 -0.25 4.75
0 0.25 2.25
019
0 -1 17.10.2020
练习㈡用图解法和单纯形法求
如下线性规划问题的最优解：
Max s.t.
4zxxx1=11+4+, x321xxx2+22≤≥≥x2790
可行域在直线 x1+3x2=7之下__
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这 理x个1个?, “x“2 人,-”x如工3 ,何变x4处, x5≥ 0
量”1x2 5
---精品---
17.10.2020
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
改CB列,__0_换为_4__.
8
---精品---
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（4,2,0,0,4），故目标函数值 z=2*4+2*3=14
2、 合理利用线材问题，现在要做 100 套钢架，每套用长为，，和的钢各一根，
已知原料长，问应如何下料，使用的原材料最省；
解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。我们分析一下问题，做
100 套钢架，需要长的钢 100 根，的钢 100 根，的钢 100 根。而一份原料长度是，
0
-1/2
-
0
8
0
0
-4
1
4
3
3
0
1
0
0
1/4
12
0
0
-2
0
1/4
由于检验数中存在正数，且 P5 和 P3 中有正分量存在，所以需要继续迭代(换入变
量为 ，换出变量为 ：得到单纯形表如下：
2
3
0
0
0
b
2
4
1
0
0
1/4
0
0
4
0
0
-2
1/2
1
3
2
0
1
1/2 -1/8
0
0
0
-3/2 -1/8
0
此时可以发现检验数中没有大于 0 的数，表明已经得到了最优解，所以最优解是：
解：
目标函数：min z=
约束条件:
4、 利用单纯形算法求解线性规划问题 目标函数为：Max Z=4 +3
约束条件为：
解：首先将线性方程组化为标准形式：添加松弛变量： ， ， ，得到的方程式 4
为：
目标函数：Max Z=4 +3 +0 +0 +0 约束条件为：
接着将初始单纯形表列出：
4
3
0
0
0
b
0
表：
班次
时间
所需人数
1
6:00-10:00
60
2
10:00-14:00
70
3
14:00-18:00
60
4
18:00-22:00
50
5
22:00-2:00
20
6
2:00-6:00
30
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八个小时，问该公
交线路至少配备多少名司机和乘务人员，列出这个问题的线性规划模型。
1600 2
2
1
0
0
800
0
2500 5
0
1
0
500
0
400
0
0
0
1
400
4
3
0
0
0
由上表可以看出， 为换入变量，而 为换出变量。然后根据变换公式可以得到变 换之后的单纯形表如下：
4
3
0
0
0
b
0
800 0
2
1
0
-2
400
0
500 0
0
1
-5
200
4
400 1
0
0
0
1
0
0
3
0
0
-4
由上表可以看出，换入变量为 ，换出变量为 ，单纯形表如下：
单纯形法例题
1、 例 1、目标函数 max z=2 +3
约束条件：
解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量， .得到的标准形式为：
max z=2 +3 + 0 +0 +0
然后要将其初始的单纯形表画出来：
2
3
0
0
0
b
0
8
1
2
1
0
0
4
0
16
4
0
0
1
0
-
0
12
0
0
0
1
3
2
3
0
0
首先可以写出线性方程组的矩阵形式： 要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：
发现不存在单位矩阵，所以 ，那么线性方程组可以
2
表示为：
，目标函数可以表示为：min
z= + + + + +M
转换为求目标最大化 max Z=
.2 M
然后列出初始单纯形表：(注意，加入人工变量之后，它所对应的系数为-M，而非
13/1
-1/5 1/10 2/5
0
30 1 0
0
0
1
00
0
0 -M+ -M+
所以，最优解为：（30,50,10，0,0,0,0,0）。也就是说最优的下料方案为：按照第
一个方案下料 30 根，第二种方案下料 50 根，按照第三种方案下料 10 根。即需要
90 根原材料可以制造出 100 套钢架。
3、 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下
2
3
0
0
0
b
0
2
0
1
0
-1/2
2
0
16
4
0
0
1
0
4
3
3
0
1
0
0
1/4
-
2
0
0
0
-3/4
由于在检验数中仍然存在大于等于 0 的数，而且 P1，P5 的坐标中有正分量存在，
所以需要继续进行迭代运算。通过观察可以看出主元素为 1，换入变量为 ，换出
变量为 ，故得到的单纯形表如下：
1
2
3
0
0
0
b
2
2
1
0
1
4
3
0
0
0
b
5
0
400 0
0
1
-4/5
200
3
200 0
1
0
2/5
-2
-
4
400 1
0
0
0
1
400
0
0
0
-6/5
2
由上表可以看出，换入变量为 ，换出变量为 得到的单纯形表如下：
4
3
0
0
0
b
0
200 0
0
1/2
-2/5
1
3
600 0
1
1
-2/5
0
4
200 1
0
0
2/5
0
0
0
-3
-2/5
0
由于，检验数均为非负，所以得到了最优解，且最优解为(200,600,0,0,200);
3
/3 3
-M
100 0
0
1
2
0 1 0 100/
2
0
100/ 1
0
1/3
1
2/3
0
0 1/
-
3
3
0 0 -4
0 +3M +5/3M
+4/3M
/3
M
换入变量为 ，换出变量为 ，得到的单纯形表为：
0
-M -M -M
b
-M
50/3 0 0
5/3 -3/2 -5/3 1 -1/2 -1 10
/3
50 0 1
0)
0
-M -M -M
b
-M
100 1 1
2
0
0 1 0 0 100
-M
100 0 2
0
1
2 01 0
-
-M
100
0
1
3
2 0 0 1 100/3
4M +3M +3M +4M +4M 0 0 0
换入变量为 ，换出变量为 ，得到单纯形表为：
0
-M -M -M
b
-M
200/ 0
1
5/3
-1 -2/3
1
0 -1 200/
0
由初始单纯形表可以看出， 为换入变量，而 为换出变量；然后根据：
=
(也就是如果与主元素同行，则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值， 否则，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后 的值。例如：上面的第一行所对应的 b 值为 8-(12*2)/4=2,故填入值应该为 2。而 则是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然 后用 b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到 列的值。
0
1/2 1 0 1/2 0
-
100/
0 0 1/
0
10
1/3
1 2/3
-100
3
3
0 2M -4
0 0 +5/3M 2M 3M
/3
M
3
换入变量为 ，换出变量为 ，得到的单纯形表为：
0
-M -M -M
b
10 0 0
-9/1
3/5 -3/1 -1/5
1
-1
0
0
50 0 1
0 1/2 1
0 1/2 0
故目标函数的最大值为： Z=2600
完整版 1
6
它的截取的方法有多少种，我们可以用表格列举出来：
下料根数
长度/m
截取方案
1
2
3
4
5
1
1
2
2
1
2
3
1
3
2
所用长度
剩余长度
0
求解的问题是关于如何去进行下料，使得原材料最省，也就是说如何搭配使用这些