(完整)新北师大版八年级下册《三角形的证明》(2)
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
直角三角形全等的判定(HL)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
双基巩固
练习2：如图，点B、E、C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
A
D
B
CE
F
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
分析：要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，
只要证△ABC≌△DEF， 由AC⊥BF，DF⊥AF， BE=CF ， B E 可得∠ACB=∠DFE=90°BC=EF ， 又AB=DE，根据“HL”可证ABC≌△DEF. 请你将证明过程规范化写出来。
AD CF
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上，
求证：AC=DC。
E
证明：∵△BCE为等腰直角三角形，
A
∴∠BCA=∠ECD=90°，BC=EC，
∵在Rt△BCA与Rt△ECD中
BA ED
BC EC
∴Rt△BCA≌Rt△ECD
(HL)．B
C
D
∴AC=CD.
问1：△ACD是什么特殊三角形？ △ACD是等腰直角三角形.
问2：若将“BA=ED”与“AC=DC”互换，结论成立吗？
SSS
B. AB=DE， AC=DF，∠A=∠D SAS
C. AB=DE， AC=DF，∠B=∠E SSA D. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E ASA
A
D(D)
E
F
B
C
(E)
探究新知
当AC、DF分别变为与BC、EF分别垂直（即两边 分别相等及其中一组等边所对的角为直角时）
A
D
B
CCE
北师大版八下数学三角形的证明
1．在△ABC中，BC=6，CA=8，AB=10，O为三条角平分线的交点，则点O到各边的距离为2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若在△ABC所在的平面内有以点P（不与A、B、C 重合）为顶点的直角三角形与Rt△ABC全等，且这个三角形与Rt△ABC有一条公共边，则所有符合条件的点P的个数为3．若等腰三角形一边上的高线等于这条边的一半，则这个等腰三角形顶角等于．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，AB=25，P为三内角平分线交点，则点P到各边的距离都等于．5．如图，已知E是正方形ABCD的边BC的中点，点F在边CD上，且∠BAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD+CD=AD．7．已知AC是∠MAN的平分线．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；8．如图，点P为OC上一点，PD=PE，∠0DP+∠OEP=180°，求证：0P平分∠A0B．9．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线．10．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM ⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．11.如图，在△ABC中，AB=30cm，BC=35cm，∠B=60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE ⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：（1）AC=2BF；（2）AB垂直平分DF．12．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．13.如图（1），△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，由C向A方向运动，动点P边BC上，由B向C运动，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中（1）AP=BD；（2）探究：如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；（3）应用：如果把原题中“动点P在边BC上，由B向C运动”改为“动点P在AB 的延长线上由点B向F运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，①请猜想DE=线段；②根据上述猜想，加以证明．。
北师大版数学八年级下册《三角形的证明》课件(共22张)
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.
作图视察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，视察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
D
求证：BD=CE．
3
4
B
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B EC D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
北师大八年级数学下三角形的证明
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30°. 讲一讲 例 1：已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm，D 为 AB 中点，DE⊥AC 于 E，∠A=30°，求 BC，CD 和 DE 的长
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北师大八年级数学下三角形的证明 例 1：已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
例 2：已知：如图△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE 交于 O 点，且 BD=CE。 求证：OB=OC.
例 3：已知：Rt△ABC 中，∠ACB 是直角，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，求证：BE 垂直平 分 CD。
例如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。
A
C
D
E
B
例如图，△ABC 中，AB= AC，P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上，且 BP=CQ，BQ=CR。 求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上。
【角平分线】 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
求证：∠B=∠CAF
A
E
B
D
C
F
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北师大八年级数学下三角形的证明
针对性练习： 1、已知： 1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果△EBC 的周长是 24cm， 那么 BC=
最好用的新版北师大八年级数学下册三角形的证明
第一章三角形的证明班级座号姓名1、全等三角形（1）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
（2）判定：“SAS”、SSS 、AAS 、ASA 、HL(直角三角形) 。
2、等腰三角形（1）性质：①等腰三角形的两底角相等。
（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。
（2）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）（3）反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果命题：由条件和结论组成逆命题：由结论和条件组成3、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等②具有等腰三角形的一切性质。
（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(2)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半(3)直角三角形的两锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形(4)勾股定理；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（5）“斜边、直角边”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等5、线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6、角平分线（1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A.24cm2B.30cm2C.40cm2D.48cm24. 如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（）A.∠A=∠DB.∠ACB=∠FC.∠B=∠DEFD.∠ACB=∠D5．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）°°°°（4题图）（5题图）6. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高7. 面积相等的两个三角形（）A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对8.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（） A.5cm B.6 cm C.5cm D.8 cm二、填空题09.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是度.10.“等边对等角”的逆命题是______________________________．11．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 12．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 13．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为．14．Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系是，15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是。
[北师大版]八年级数学下册《三角形的证明》课件
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连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠ABD＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°.
又AF＝BE， ∴△DAF≌△DBE(SAS)，
图S1－7
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB， ∴ ∠ EDF ＝ ∠ EDB ＋ ∠ FDB ＝ ∠ FDA ＋ ∠ FDB ＝ ∠ ADB ＝ 90°， ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接AD，如图S1－6：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝AD，
∴∠B＝∠DAC＝45°，
又BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，
图 S1－6
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a， 那么它的三个内角之比为( D )
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 4．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分
线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个 数为( D )
(完整)新北师大版八年级下册《三角形的证明》(2)
三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边〔 SAS〕、角边角〔 ASA〕具备一般三角形的判定方法判定角角边〔 AAS〕、边边边〔 SSS〕斜边和一条直角边对应相等〔HL 〕对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2．证题的思路：找夹角〔SAS 〕两边找直角〔HL 〕找第三边〔SSS〕假设边为角的对边，那么找任意角〔AAS 〕找角的另一边〔SAS 〕一边一角AAS 〕边为角的邻边找边的对角〔找夹边的另一角〔ASA 〕找两角的夹边〔ASA 〕两角找任意一边〔AAS 〕【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，那么能说明∠ AOC =∠BOC的依据是〔〕A ． SSSB ． ASAC ． AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等2．以下说法中，正确的选项是〔〕A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ ABC≌ADE ，假设∠ B＝ 80°，∠ C＝30°，∠ DAC＝ 35°，那么∠ EAC 的度数为〔〕A． 40°B． 35°C． 30°D． 25°4．：如图，在△MPN 中， H 是高 MQ 和 NR 的交点，且MQ ＝NQ．求证： HN＝ PM .5．用三角板可按下面方法画角平分线：在∠AOB 的两边上，分别取 OM ＝ ON 〔如图 5－ 7〕，再分别过点 M、 N 作 OA、 OB 的垂线，交点为 P，画射线 OP，那么 OP 平分∠ AOB ，请你说出其中的道理．图 5－ 7【稳固练习】1．以下说法正确的选项是〔〕A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是边 AC 、 BC 上的点，假设△ ADB ≌△ EDB ≌ △ EDC ，那么∠ C 的度数为〔〕A． 15° B ． 20°C． 25° D ． 30°3．如图，△ABC 的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图 4－ 9，ABC≌ΔA'B'C'， AD 、A'D'分别是ABC 和A'B'C'的角平分线．（1〕请证明 AD ＝ A'D '；（2〕把上述结论用文字表达出来；（3〕你还能得出其他类似的结论吗?图 4－ 95．如图 4－ 10，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC，直线 l 经过顶点 C，过 A、 B 两点分别作l 的垂线 AE、 BF， E、F为垂足．（1〕当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证： EF ＝ AE＋ BF ．图 4－ 10〔 2〕如图 4－ 11，将直线l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 交于点 D ，请你探究直线l 在如下位置时，EF、 AE、BF 之间的关系．①AD＞ BD ；② AD ＝ BD；③ AD＜ BD ．图4－ 11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形〔等角对等边〕等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等〔等边对等角〕；②等腰三角形“三线合一〞的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6 ，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A ． 12B ． 15C ． 12 或 15D ． 182．等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕3．已知△ ABC 中， AB = AC = x， BC =6 ，那么腰长 x 的取值范围是〔〕A ． 0 ＜ x＜ 3B ． x＞ 3C． 3 ＜ x＜ 6 D ． x＞ 64．如图，∠ MON =43 °，点 A 在射线 OM 上，动点 P 在射线 ON 上滑动，要使△ AOP 为等腰三角形，那么满足条件的点 P 共有〔〕A ． 1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个5．如图，在△ ABC 中， BO 平分∠ ABC ， CO 平分∠ ACB ， DE 过 O 且平行于 BC ，已知△ ADE 的周长为10 cm ， BC 的长为 5cm ，求△ ABC 的周长．6、如以下图，在△ABC 中，∠ B=90 °， M 是 AC 上任意一点〔 M 与 A 不重合〕 MD ⊥BC，交∠ ABC 的平分线于点 D ，求证： MD =MA.【稳固练习】1．如图，已知直线 AB ∥ CD ，∠ DCF =110 °且 AE = AF ，那么∠ A 等于〔〕A． 30° B ． 40°C． 50° D ． 70°2．下列说法错误的是〔〕A ．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C ．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D ．两个等边三角形全等3．如图，是一个 5×5 的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为 1 ．点 A 和点 B 在小正方形的顶点上．点 C 也在小正方形的顶点上．假设△ ABC 为等腰三角形，满足条件的 C 点的个数为〔〕A ． 6B ． 7C． 8 D ． 94．如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于点 E ，过点 E 作 MN ∥ BC 交A ． 6B ． 7C． 8 D ． 95．如图： E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上， D 点在 AB 边上， DE 交 BC 于点 F ， DF = EF ， BD = CE ，过D 作DG ∥ AC 交 BC 于 G．求证：〔 1〕△ GDF ≌ △ CEF ；〔 2 〕△ ABC 是等腰三角形．【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．【典型例题】1．下列说法中不正确的是〔〕A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ ABC 中，∠ BAD =20 °， AE = AD ，那么∠ CDE 的度数是〔〕A ． 10°B ． 12.5 °C． 15° D ． 20°3、如右图，△ABC 和△ BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD .【变式练习】1．下列命：①两个全等三角形拼在一起是一个称形；②等腰三角形的称是底上的中所在直；③ 等三角形一上的高所在直就是的垂直平分；④ 一条段可以看作是以它的垂直平分称的称形．其中的有〔〕A ． 1 个B ． 2 个C． 3 个 D ． 4 个2．如，AC = CD =DA = BC = DE．∠ BAE是∠ BAC的〔〕A． 4 倍B． 3 倍C． 2 倍D． 1 倍3．如，等△ ABC的周是9，D是AC上的中点，E在BC的延上．假设 DE = DB ，CE 的．4．如，等△ ABC中，点D、E分BC 、 CA 上的两点，且BD = CE ，接 AD 、 BE 交于 F 点，∠ FAE + ∠ AEF 的度数是〔〕A ． 60°B ． 110 °C ． 120 °D ． 135 °5．如，已知：∠ MON =30°，点A1、A2、A3⋯ 在射ON 上，点 B1、B2、 B 3⋯在射OM 上，△ A 1B 1 A2、△ A 2 B2 A 3、△ A 3B 3A 4⋯均等三角形，假设 OA 1=1 ，△ A6B6A7的〔〕A ． 6B ． 12C ． 32D ． 646.如①， M 、 N 点分在等三角形的 BC 、 CA 上，且 BM = CN ， AM 、 BN 交于点 Q．〔 1 〕求：∠ BQM=60°；（ 2 〕如②，如果点 M 、 N 分移到 BC 、 CA 的延上，其它条件不，〔1〕中的是否仍然成立 ? 假设成立，予明；假设不成立，明理由．7．如， C 段 BD 上一点〔不与点 B， D 重合〕，在 BD 同分作正三角形 ABC 和正三角形 CDE ， AD 与 BE 交于一点 F ，AD 与 CE 交于点 H ， BE 与 AC 交于点 G．〔 1 〕求证： BE = AD ；〔 2 〕求∠ AFG 的度数；〔 3 〕求证： CG = CH ．【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【根底练习】1、否认“自然数 a、 b、 c 中恰有一个偶数〞时的正确反正假设为〔〕A． a、 b、 c 都是奇数B．a、 b、 c 或都是奇数或至少有两个偶数C． a、 b、 c 都是偶数D． a、 b、 c 中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°〞时，反证假设正确的选项是〔〕A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 .如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 .【典型例题】1、说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1〕四边形是多边形；〔 2〕两直线平行，同旁内角互补；〔3〕如果 ab=0，那么 a=0， b=0；（4〕在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2．使两个直角三角形全等的条件是〔〕A ．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D．两条边对应相等3．等腰三角形的底边长为 6 ，底边上的中线长为 4，它的腰长为〔〕A ． 7B ． 6C． 5 D ． 44．如图，矩形纸片 ABCD中， AB =4 ， AD =3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG ，那么 AG 的长为〔〕A． 14C ．3D ． 2 B．235．如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，∠ B=30 °， AD 是∠ BAC 的平分线，假设 CD =2 ，那么 BD 等于〔〕A． 6 B ． 4 C ． 3D． 26．如图，在 4×4 正方形网格中，以格点为顶点的△ ABC 的面积等于 3，那么点 A 到边 BC 的距离为〔〕A ．3B ．2 2C． 4 D ． 37．如图，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形， A ， C， D 三点在同一直线上，连接 BD ， AE ，并延长 AE 交 BD 于 F．（1〕求证：△ ACE ≌ △ BCD ；（2〕直线 AE 与 BD 互相垂直吗 ? 请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中有一个△ ABC ，△ ABC 的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1〕在图中画△ BCD ，使△ BCD 的面积 =△ ABC 的面积〔点 D 在小正方形的顶点上〕．（2〕请直接写出以 A 、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1 〕求证： B ′E=BF ；（2 〕设 AE = a， AB = b ， BF =c，试猜想 a ， b ， c 之间的一种关系，并给予证明．【变式练习】1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是〔〕A ．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角C ．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角2．在 Rt △ ABC 中，∠ C =90 °， AC =9 ， BC =12 ，那么点 C 到 AB 的距离是〔〕36B．12933A． C ．4D ．52543．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形 A、 B 、 C 、 D 的面积分别为 2， 5， 1， 2．那么最大的正方形 E 的面积是．1AB ，那么∠ A 等于〔〕A ． 30°B ． 45°C． 60° D ．不能确定5．已知：如，在△ ABC中，∠ A =30°，∠ ACB =90°，M、D分AB 、 MB 的中点．求：CD⊥ AB．6．如，在5×5的方格中，每一个小正方形的都 1 ，∠ BCD 是不是直角 ?明理由．7．正方形网格中的每个小正方形都是1．每个小格的点叫做格点，以格点点分按下列要求画三角形：〔 1〕在1 中，画△ ABC ，使△ ABC 的三分3 、2 2、 5 ；〔 2〕在2 中，画△ DEF ，使△ DEF角三角形且面2 ．【提高练习】1．如．矩形片ABCD中，已知AD =8，折叠片使AB与角AC重合，点B 落在点 F，折痕AE ，且 EF =3 ．AB 的〔〕A ． 3B ． 4C． 5 D ． 62．如，直l 上有三个正方形 a， b ， c，假设a， c 的面分 5 和 11 ， b 的面〔〕A ． 4B ． 6C ． 16D ． 55n2345⋯3．老在一次“探究性学〞中，了如下数表： a 22－ 1 32－ 1 42－ 1 52－ 1 ⋯〔 1 〕你分察a，b，c与n之的关系，并用含自然数n〔nb46810⋯＞ 1 〕的代数式表示：a=， b=， c =； c 2 2 +1 3 2+1 4 2+1 5 2+1 ⋯（ 2 〕猜想：以 a ， b ， c 的三角形是否直角三角形并明你的猜想．4．如，AC = BC =10 cm，∠ B=15°，AD⊥ BC于点D，AD 的〔〕A ． 3cmB ． 4cmC ． 5cmD ． 6cm5．如，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ B =15°，AB的垂直平分交AB于E，交BC于D，BD =8，AC =．6． 1 、 2 分是 10×8 的网格，网格中每个小正方形的均 1 ， A 、 B 两点在小正方形的点上，在 1 、 2 中各取一点C〔点 C 必在小正方形的点上〕，使以 A 、 B 、 C 点的三角形分足以下要求：（ 1 〕在1 中画一个△ ABC ，使△ ABC面5 的直角三角形；（ 2 〕在2 中画一个△ ABC ，使△ ABC角等腰三角形．7．已知，如，△ ABC等三角形，AE = CD，AD、BE相交于点P．（ 1 〕求：△ AEB ≌ △ CDA ；（ 2 〕求∠ BPQ 的度数；（3 〕假设 BQ ⊥ AD 于 Q ， PQ =6 ， PE =2 ，求 BE 的长．【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
北师大版八年级下册 第2次课 三角形的证明(2)辅导讲义(无答案)
初二数学：三角形的证明（2）一、知识要点七、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为，其中一个命题称为另一个命题的。
①写命题时要认真分析命题的结构，分清命题的条件和结论②每个命题都有逆命题，原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题③互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。
二、例题精讲例1、如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，求求证：BF=2CF。
例2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于F ，垂足为D ，AC 的垂直平分线交CB 的延长线于G ，垂足为E 。
求证：（1）∠BAG=∠CAF ；（2）AG=AF 。
练习：如图，在△ABC 中，DE ，FG 分别是△ABC 的边AB 、AC 的垂直平分线，若BC=10，则△ADF 的周长是________________；例3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D 在BC 上，AD=10 ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，求DE 的长。
练习：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足是E 。
（1）已知CD=4cm ，求AC 的长；（2）求证：AB=AC+CD 。
GFBC例4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE 垂直BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE。
练习：如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M。
PN⊥CD于N，求证：PM=PN。
例5、如图，已知∠BAC与∠CBF的平分线相交于P，连接CP，分别过点B、C作PC、PB 的垂线交AC、AB的延长线于点E、F，G、H为垂足。
2019年最新最全三角形的证明(北师大版八年级下册等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线)
北师大版八年级下册第一章三角形的证明三角形证明分为第一章和第二章，第一章主要是证明三角形内角和180度、三角形边的大小以及三角形全等。
第二章三角形的证明就是证明等腰三角形的四个性质，直角三角形的三个性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质。
以后后面章节几何证明需要用到本章性质与判定。
所以本章具有承上启下的作用。
重要性十分的重要。
目录：一、等腰三角形的性质与判定基础训练（第一讲）------------------------------------------2页§1.1 等腰三角形的性质------------------------------------------------2页§1.2 等腰三角形的判定------------------------------------------------3页二、等腰三角形的判定与性质（第二讲）---------------------------------4页§1.1 综合、运用、诊断性质训练（一）-------------------------------4页§1.2 综合、运用、诊断性质训练（二）-------------------------------5页§1.3 判定综合训练 ---------------------------------------------------6页三、等腰三角形（经典例题第三讲）------------------------------------------------------------8页四、温故知新等腰三角形（第四讲）-------------------------------------------------------------16页五、直角三角形的性质和判定-----------------------------------------------------------------------18页§1.1知识点与例题--------------------------------------------------------------------------------------18页§1.2 知识运用课堂训练--------------------------------------------------------------------------------19页§1.3 知识运用课后训练--------------------------------------------------------------------------------20页六、线段的垂直平分线（一）-----------------------------------------------------------------------22页§1.1 知识点------------------------------------------------------------------------------------------------22页§1.2 线段的垂直平分线（一）典型例题一------------------------------------------------------22页§1.3 线段的垂直平分线（一）典型例题二------------------------------------------------------22页§1.4 线段的垂直平分线（一）课后练习---------------------------------------------------------22页七、线段的垂直平分线（二）------------------------------------------------------------------------24页八、角平分线-----------------------------------------------------------------------------------------------26页§1.4.1 角平分线-------------------------------------------------------26页§1.4.2 三角形三条内角平分线交于一点-----------------------------------28页一、等腰三角形的性质与判定基础训练（第一讲）§1.1 等腰三角形的性质学习要求掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．课堂学习检测一、填空题1．__ ___的_____叫做等腰三角形．2．（1）等腰三角形的性质1是______________________________________________．（2）等腰三角形的性质2是______________________________________________．（3）等腰三角形的对称性是__ ___，它的对称轴是_____ ．3．如图5－1，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，∴∠B＝______．（）（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD垂直平分______．（）（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝______．（）（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥______．（）4．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．5．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．6．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．二、选择题8．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）A．25cm2B．12.5cm2 C．10cm2D．6.25cm29．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）A．63cm B．51cm C．63cm和51cm D．以上都不正确10．△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于（）A．45°B．36°C．90°D．135°拓展、探究、思考14．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－915．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－10图5－1§1.2 等腰三角形的判定学习要求掌握等腰三角形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．等腰三角形的判定定理是_________________________________________________．2．ΔABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝______．3．如图6－1，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝____________．4．如图6－2，∠A＝∠B，∠C＋∠CDE＝180°，若DE＝2cm，则AD＝____________．图6－1 图6－2 图6－3 图6－45．如图6－3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．6．如图6－4，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．7．ΔABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝______．8．ΔABC中，AB＝AC，BD是角平分线，若∠A＝36°，则图中有______个等腰三角形．9．判断下列命题的真假：（1）有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形．（）（2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形．（）（3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）（4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（）二、等腰三角形的判定与性质（第二讲）学习要求熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．课堂学习检测§1.1综合、运用、诊断性质训练（一）一、解答题11．已知：如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．图5－212．已知：如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．图5－313．已知：如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．图5－4§1.2综合、运用、诊断判定训练（二）一、解答题10．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－612．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－713．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－8§1.3判定综合训练一、填空题1．如果一个三角形的两条高线相等（如图7－1），那么这个三角形一定是______．图7－12．如图7－2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．图7－2 图7－33．如图7－3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．4．如图7－4，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．图7－4 图7－55．如图7－5，ΔABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC ，DE⊥BC于点E，且BC＝10cm，则△DCE的周长为______cm．二、选择题6．△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝______图7－50，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形7．若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形一定是（）A．等边三角形B．不等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形8．如图7－6，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A．4个B．5个C．6个D．7个图7－6 图7－79．等腰三角形两边a 、b 满足｜a －b ＋2 ｜＋（2a ＋3b －11）2＝0，则此三角形的周长是（ ）A ．7B ．5C ．8D ．7或510．如图7－7，ΔABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF ＝ （ ）A ．2∠AB ．90°－2∠AC ．90°－∠AD ．A o ∠-2190 三、解答题11．已知：如图7－8，AD 是∠BAC 的平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD 于F .求证：EF 平分∠AEB ．图7－812．已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论．图7－913．如图7－10，过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN ，使AM ∥BN ，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？（2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？图7－1014．已知：如图7－11，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，BE 平分∠B 交AC 于E ．（1）求证：BC ＝AE ＋BE ；（2）探究：若∠A ＝108°，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之．图7－11三、等腰三角形（经典例题讲解）【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第一章 三角形的证明 第2课时 直角三角形全等的判定
B
C
画图方法视频（点击文字
播放）
画图思路
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本 题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏 解．
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，A斜C边是
__B__C__.
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐 角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，
最新北师大版初二数学下册第一章 三角形的证明 全单元课件
2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+2．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 3．已知如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD ＝BE ；②△CPQ 是等边三角形；③AD ⊥BC ；④OC 平分∠AOE ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．③④C ．①②③D ．①②④ 4．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ） A ．3 B ．20 C ．3或20 D ．20或80 6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 7．在下列命题中，真命题是（ ）A ．同位角相等B ．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上C ．三角形的外角和是360°D ．角平分线上的点到角的两边相等8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 9．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④ 10．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB = 11．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 12．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④AFE EFC S AF S FC∆∆=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．14．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长为___________．15．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．16．如图，在第1个1A BC 中，30B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是________．17．三角形的三边长分别为2，5，3，则该三角形最长边上的中线长为_______ 18．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．20．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．若83AB AC +=，24ABC S =，120EDF ∠=︒，则AD 的长为______．三、解答题21．如图，直线2y kx =-与x 轴，y 轴分别交于B 、C 两点，且1OB =．（1）求k 的值；（2）若点(,)A x y 是第一象限内的直线2y kx =-上一个动点，当点A 运动到什么位置时，AOB 的面积是1；（3）在（2）成立的情况下，在x 轴上是否存在一点P ，使POA 是等腰三角形?若存在，请直接写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）23．如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，连结AE 和CD ，交点为M ，AE 交BD 于点P ，CD 交BE 于点Q 连结PQ ．(1)求证：△ABE ≌△DBC ；(2)求∠AMC 的度数；(3)求证：△PBQ 是等边三角形24．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE=EF．25．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C＞∠B＞∠A．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC中，∠C＞∠B＞∠A．求证：AB＞AC＞BC．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF =BF （依据3）在△ACF 中，AF +CF ＞AC ，∴AF +BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1： ；依据2： ；依据3： ．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．26．如图，已知点D 、E 是△ABC 内两点，且∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AC ，AD ＝AE ．（1）求证：ABD ACE △≌△．（2）延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x ，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF ，BC=BE=EF ，在△BDC 中利用内角和定理列出方程，求出x 值，可得∠A ，再证明AF=EF ，从而可得AD=BC+BD ．【详解】解：∵AB=AC ，BD 平分∠ABC ，设∠ABC=∠C=2x ，则∠A=180°-4x ，∴∠ABD=∠CBD=x ，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x ，∠BDE=∠BDC ，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE ，∠EFD=∠ABD=x ，∠BED=∠FED=∠C=2x ，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：∵::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 为直角三角形，∠C=90°，∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD ，∴ACD AED ≅， ∴△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，∴BE=13k-5k=8k ，∵AED 和BED 同高， ∴8:5△BE △S :S =D AED ，∵ABC 的面积为S ， ∴518△S =ACD S ． 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出8:5△BE △S :S =D AED 是解题的关键．3．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD ＝∠CBE ，∵∠BCA ＝∠BCD ＝60°，AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，故②正确；过C 作CM ⊥BE 于M ，CN ⊥AD 于N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵CD ＝CE ，∠CND ＝∠CMA ＝90°，∴△CDN ≌△CEM （AAS ），∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BE ，CN ⊥AD ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确；当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD ⊥BC ，故③不正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．4．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则BC=80；（2）顶角是锐角时在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-DC2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=22+42=20,则BC=20；综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．C解析：C【分析】直接利用同位角的定义及线段垂直平分线的判定、多边形的外角和、角平分线的性质等知识分别判断得出答案．【详解】解：A.同位角相等，错误，是假命题；B.不是到线段距离相等的点在线段垂直平分线上，而是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是假命题；C.三角形的外角和是360°，是真命题；D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，不是角平分线上的点到角的两边相等，是假命题．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．8．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．9．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．D解析：D【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有∠ADB ＝∠CDB ＝90°，且∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，可得∠CDE ＝∠CED ＝30°，所以就有∠CBD ＝∠DEC ，即DE ＝BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB ＝60°，∵BD 是AC 上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．11．A解析：A【分析】作MN⊥AD于N，如图，先利用四边形内角和计算出∠DAB＝60°，再根据角平分线的性质得到MC＝MN，接着证明MN＝MB，然后根据角平分线的性质的逆定理判断AM平分∠DAB，从而得到∠MAB的度数，进而即可求解．【详解】解：作MN⊥AD于N，如图，∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN，∵M点为BC的中点，∴MC＝MB=12BC=12×20=10cm，∴MN＝MB，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理，以及直角三角形的性质，添加辅助线，是解题的关键． 12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,22AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC ≌△ABE ，∴AM =AN ．∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，∴AF 平分∠DFE ，故②正确．∵∠AEB =∠ACD ，∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，∴∠DFE =120°，∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，∴∠FAN=∠FCH=30°，∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC======∴,,22AN AF HC FC==∴12.12AEFEFCEF AN AFS AN AFS CH FCEF CH⨯⨯====⨯⨯故④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有解析：cm2【分析】过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，由直角三角形的性质可得BC=，AB=，ED DF==cm，由“AAS”可证△D NE''≅△D MF''，可得D N D M''=，由三角形面积公式可求111222AD BS BC AC AC D N BC D M'''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC''⊥时，AD BS'△有最大值．【详解】解：6AC=cm，30A∠=︒，45DEF∠=︒，BC∴==cm，AB=，ED DF==cm，当点E从点A滑动到点C时，得△E D F'''，过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，90MD N'∴∠=︒，且90E D F'''∠=︒，E D NF D M''''∴∠=∠，且90D NE D MF''''∠=∠=︒，E D D F''''=，∴△D NE''≅△()D MF AAS''，D N D M''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△ AD B S '∴△最大值1123(623)32(1239236)2=-⨯=cm 2． 故答案为：(1239236)cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．14．【分析】由已知条件利用线段的垂直平分线的性质得到AD ＝CDAC ＝2AE 结合周长进行线段的等量代换可得答案【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线∴AD ＝CDAC ＝2AE ＝6cm 又∵ABD 的周长＝AB+B解析：19cm【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD ＝CD ，AC ＝2AE ，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，∴AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6cm ，又∵ABD 的周长＝AB +BD +AD ＝13cm ，∴AB +BD +CD ＝13cm ，即AB +BC ＝13cm ， ∴ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝13+6＝19cm ．故答案为：19cm ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．15．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1∠EA3A2及∠FA4A3的度数找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数【详解析：1175 2n-⎛⎫⨯︒ ⎪⎝⎭【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n 为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=1802B︒-∠=75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；同理可得，∠EA3A2=（12）2×75°，∠FA4A3=（12）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×75°．故答案为：（12）n-1×75°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．17．【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知∴三角形是直角三角形3是斜边长∴最长边上的中线长为；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定解析：3 2【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知222 293+==，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为32； 故答案是32． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的形状，准确分析计算是解题的关键． 18．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 19．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC 中AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC化简可得解析：1 2α【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．20．【分析】先证明△ADE≌△ADF可得：DE＝DF∠ADE＝∠ADF＝=×120°=60°再利用面积法求出DE的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF分别是△ABD和△ACD的高∴解析：【分析】先证明△ADE≌△ADF，可得：DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵AB AC+=∴DE＝∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）k=2；（2）当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）满足条件的所有P点的坐标为P1（-0），P2（0），P3（4，0），P4（2，0）．【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；利用三角形的面积求出点A坐标；（3）设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P 坐标．【详解】解：（1）∵OB=1，∴B（1，0），∵点B在直线y=kx-2上，∴k-2=0，∴k=2；（2）由（1）知，k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，∴y=2x-2（x＞1），∴S=S△AOB=12×OB×|y A|=12×1×|2x-2|=x-1，∵△AOB的面积是1；∴x=2，∴A（2，2），∴当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）设点P（m，0），∵A（2，2），∴OA=，∴OP=|m|，AP=2(2)4m -+，①当OA=OP 时，∴22=|m|，∴m=±22，∴P 1（22-，0），P 2（22，0），②当OA=AP 时， ∴22=2(2)4m -+，∴m=0或m=4，当m=0时，点P 与点O 重合，不能组成三角形，舍去，∴P 3（4，0），③当OP=AP 时，∴|m|=2(2)4m -+，∴m=2，∴P 4（2，0），即：满足条件的所有P 点的坐标为P 1（22-，0），P 2（20），P 3（4，0），P 4（2，0）．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A 的坐标．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA 平分∠BAD 且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a；∴ EA=3910a．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．(1)见解析；(2) 120°；(3) 见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC，由三角形外角的性质和三角形内角和可求AMC的度数；（3）由“ASA”可证△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，即可证△PBQ是等边三角形．【详解】解：（1）∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE=∠BDC ，∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°∴∠BAE+∠ACD=60°∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°（3）在△ABP 和△DBQ 中，60BAE BDC AB DBABP DBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP=BQ ，且∠PBQ=60°∴△BPQ 为等边三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．24．见解析【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线DE ，再延长BC 即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE ，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC ，证得BE=EF ，又因为AE= BE ，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．25．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②A；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF，（等边对等角）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，则AG=BG在△BCG中，BG+CG＞BC，∴BG+CG＞BC，∴AC＞BC∴AB＞AC＞BC．任务三：①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，正确；③∵Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是斜边AC，正确；④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC，正确，故答案为：②③④．。
北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)
实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无 数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有 无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有 两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版 八年级下册 第一章 三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时 ）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并 解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们， 下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决： 如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这 三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考： 以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需 运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明PPT教学课件
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
三角形的证明八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴PD = PE
判定 定理
到一条线段两个端点距离 ∵PA =PB，
A
相等的点，在这条线段的
垂直平分线上
∴点P 在AB 的垂直平分线上
三角形
线段垂 直平分 线性质
三角形三条边的垂直平分线 ∵在△ABC，点P 为△ABC
相交于一点,并且这一点到 三边垂直平分线的交点
三个顶点的距离相等
图示
A BC
(二) 等边三角形的性质及判定
性质
内容
等边三角形的三个内
内角性质 角都相等，并且每一 个角都等于60°
三线合一
三条顶角平分线、 底边上的中线及底 边上的高互相重合
数学语言
∵在△ABC中， AB＝AC=BC
∴∠A=∠B＝∠C=60°
图示
A
BC A
∴∠1=∠2=30°
12 B DC
(二) 等边三角形的性质及判定
有两个角互余的三角 形是直角三角形.
∵在△ABC 中，
B
∠A+∠B=90°
a
∴△ABC 是直角三角形． C
c b
A
定理 等如于果第三三角边形的两平边方的,平那方么和这∵在△ABC中,a2＋b2＝c2 个三角形是直角三角形. ∴△ABC 是直角三角形
(四) 逆命题和逆定题 性质
定义
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题叫做互逆命题. 其中一个叫做另一个的逆 命理．
例2：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，
∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
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三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7【巩固练习】1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?图4－95．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10 （2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.【巩固练习】1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°2．下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B 在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D 作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．【典型例题】1．下列说法中不正确的是（）A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.【变式练习】1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为．4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．646.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．7．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【基础练习】1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识．●勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；●勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；●在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．44．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1 B．43C．32D．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A．3B．22C．4 D．37．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）．（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．【变式练习】1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．365B．1225C．94D．333．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是．4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=12AB，则∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定5．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角? 请说明理由．7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、22、5；（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．【提高练习】1．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．55n 2 3 4 5 …3．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．4．如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC= ．6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．7．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△AEB≌△CDA；（2）求∠BPQ的度数；a 22－1 32－1 42－1 52－1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ =6，PE =2，求BE 的长．【知识点六：线段的垂直平分线】● 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。