辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及答案解析

辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高一下学期

期中考试数学试题

【参考答案】

一、选择题

1-5：BBDAD 6-10：BACDA 11-12：BC

二、填空题

13.16

14.7π4

15.83-

16.5)2- 三、解答题 17.解：（1）由222sin 2cos 5sin cos 1

αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得222(2cos )cos 15αα-+=， 整理得2125cos 40cos 210αα--=，∴3cos 5α=或7cos 25α=-， ∵ππ(,)22

α∈-，∴cos 0α>，∴3cos 5α=， ∴24sin 2cos 55αα=-=-，4tan 3

α=-. （2

）πππ341cos()cos cos sin sin ()666552ααα+=-=-⋅=. 18.解：（1

sin80cos 40(cos80sin80cos80︒︒+︒=︒

︒

=2cos40sin140sin80︒︒=︒ 2cos40sin(18040)sin80︒︒-︒=︒ 2cos40sin 40sin801sin80sin80︒︒︒===︒︒. （2）sin 204sin 20cot 704sin 20tan 204sin 20cos20︒︒+︒=︒+︒=︒+

︒ 4sin 20cos20sin 20cos20︒︒+︒=︒

2sin40sin202sin(60

20)sin20cos20cos20︒+︒︒-︒+︒==︒︒ == 19.解：（1）当0a =时，1()sin cos sin 22

f x x x x =⋅=， 由1()4f x =，得1sin22x =，∴π22π6

x k =+或5π22π6x k =+（Z k ∈）， ∴ππ12x k =+或5ππ12x k =+（Z k ∈）. （2）∵2()(sin cos )sin cos f x a a x x x x =+++，

令sin cos [t x x =+∈，则212sin cos t x x =+， ∴函数可化为221

122

y t at a =++-.

①当a -≤

，即a ≥

t =

21()2

g a a =+

；

②当a <-<

a <时，t a =-时函数取最小值，211()22

g a a =-；

③当a -

a ≤

t =

时函数取最小值，21()2

g a a =+，

综上所述，2221 211(), 2

21 2a a g a a a a a ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，. 20.

解：∵π

()1cos(2)12

f x x x =-++

π2sin 22sin(2)23

x x x =+=-+， （1）当π2π3x k -=，即ππ62

k x =+时， ∴函数()f x 的对称中心为ππ(,2)62

k +（Z k ∈）. （2）∵ππ(,)42x ∈，∴ππ2π2(,)363

x -∈， ∴π1sin(2)(,1]32

x -∈，∴()(3,4]f x ∈， 又()3f x m -<等价于3()3f x m -<-<，即3()3m f x m -<<+， 若不等式()3f x m -<在区间ππ(,)42上恒成立，得3334m m -≤⎧⎨+>⎩

， ∴实数m 的取值范围是16m <≤.

21.解：∵0,0,||πA ωϕ>><，

∴由图可知，2A =且5π062π

ωϕωπϕ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩， 解得5π67

6ϕω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴75π()2sin()66f x x =+；

（2）∵π5π[,

]214x ∈-，∴π75π5π4664

x ≤+≤，

∴75πsin()166

x ≤+≤，∴()f x

的值域为[. 22.解：（1）∵2cos AB θ=，2sin AC θ=，π2

BAC ∠=， ∴112cos 2sin sin 22S θθθ=⋅⋅=（π(0,)2

θ∈）， 设PQ x =，则tan x BQ θ

=，QR x =，tan RC x θ=⋅，∴tan 2tan x x x θθ++⋅=， 解得222sin cos 2sin 21sin cos sin cos 1sin 221tan 1tan cos sin x θθθθθθθθθθθθ

====++++++， ∴222sin 2()sin 22S θθ=+（π(0,)2

θ∈）； （2）22214sin 24sin 244(sin 22)sin 24sin 24sin 2+4sin 2S S θθθθθθθ

===++++， ∵π(0,)2

θ∈，∴2(0,π)θ∈，∴sin 2(0,1]θ∈， ∵函数4y x x =+在区间(0,1]上单调递减，∴4sin 25sin 2θθ+≥， ∴2144549

S S ≤=+（当且仅当sin 21θ=时取等号）， ∴21S S 的最大值为49，此时π4θ=.