25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数
合集下载
数学物理方程非齐次边界条件的处理
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x, 0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
（1） （2）
（3）
设
V
n1
vn
(t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
l
l
l
vn (t)
A'(t) sin
na
l
t
na
l
A(t) cos na
l
t
B(t) cos na t na B(t) sin na t
l
l
l
令 A'(t)sin na t B(t) cos na t 0
l
l
vn(t)
na
l
A'(t) cos na
n
l
x（5）
（4）
其中
fn
(t)
2 l
l 0
f (x,t)sin n
l
xdx
把（4）（5）代入（1）中
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
3.3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
非齐次边界条件的处理1.ppt
l
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
非齐次边界条件问题(10.30)
（10.30）非齐次边界条件问题问题1, (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。
因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得[][]00()0()t xx u x k u x ==解得0()u x px q =+式中，p 、q 为待定系数。
根据边界条件可得0(0)0u q ==0()u l A pl q ==+解得, 0Ap q l== 所以0()A u x x l=构造函数0(,)()(,)u x t u x v x t =+代入原方程可得[][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+化简后可得t xx v kv =又由初始条件可得0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+所以0(,0)()()v x f x u x =-由边界条件还可以得到(0,)(,)0v t v l t ==因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-==由变量分离法，首先假设(,)()()v x t X x T t =进而有()'()"()()X x T t kX x T t =移项整理得''()'()()()X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有'()()T t AkT t = "()()X x AX x =分别求解，对于()T td ()d ()T t Ak tT t =⎰⎰所以0()Akt T t C e =对于()X x ，当0A ≥时，都可以得到()0f x ≡，与题设不符。
数学物理方法-8.3非齐次边界条件的处理-精品文档
2 2 w a w ( v a v ) 0 tt xx tt x x
令：
v ( x , t ) X ( x ) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X ( 0 ) 0 ,
X ( l ) A
X ( x ) C cos( x / a ) D sin( x / a )
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
u au 0 tt xx
2
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u ( x ,t)x ( t) 0
u (x ,t)x ( t) l
u t0 (x)
令
u t
t 0
(x)
u ( x , t ) v ( x , t ) w ( x , t )
u ( x ,t)x ( t) 0
第一类非齐次边界条件
( t ) ( t ) v ( x , t ) x ( t )
l
u (x ,t)x ( t) l
( t ) ( t ) w a w ( v a v ) [ x ( t )]"
w (x ,t) x00
w (x ,t) xl 0
w ( x ) v t 0 t 0
w ( x ) v tt 0 tt 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
A sin( x /a ) . sin( l/a )
2 w a w 0 tt xx
n at n atn x w ( x , t ) ( A cos B sin ) sin . n n l l l n 1
非齐次边界条件
非齐次边界条件
非齐次边界条件是指边界条件中包含有非零项的情况。
在数学和物理学中，经常会遇到需要求解非齐次边界条件下的问题。
解决非齐次边界条件的方法通常可以分为两步：首先求解对应的齐次边界条件下的问题，然后再加上非齐次项的修正项。
在求解偏微分方程的边界值问题时，常常需要给定边界上的某些量的具体值或者导数的具体值。
如果这些量的值恒为零，则称为齐次边界条件。
否则，如果这些量有非零值，则称为非齐次边界条件。
一般情况下，非齐次边界条件会增加问题的复杂性，因为不再满足齐次边界条件的性质。
解决非齐次边界条件的一种常见方法是将问题转化为齐次边界条件下的问题，然后通过求解该齐次问题的解来得到非齐次问题的解。
具体而言，对于一个偏微分方程的边界值问题，我们可以首先求解相应的齐次边界条件下的问题，得到一个齐次解。
然后，我们再考虑非齐次项，根据非齐次项的性质，找到一个特解。
最后，将齐次解和特解相加，就可以得到非齐次边界条件下的解。
需要注意的是，对于不同的非齐次项，求解的方法和步骤可能会有所差异。
在实际问题中，通常需要根据具体的方程和边界条件来选择适合的方法来解决非齐次边界条件。
26讲非齐次边界条件的齐次化处理
nt
和差化积
t
cos
n
t
s in
n
t
n t
n
2
2
2
n
t
t cosnt ,
因为有傅氏展开
同样产生共振。
ω→ωn 为1
sinx / a
sin l / a
x l
2 2
n1
(1)n
n(2 n2 ) sin
n
l
x,
所以，两种解法的结果是完全相同的。
二、 Ⅱ类非齐次边界的齐次化处理
如果上述的定解问题为 第二类非齐次边界，即
w1 t0 0, w1t t0 0.
Ⅱ:
ww22ttx
0
a2
w2xx 0 w2
0,
xl
,
w2 t0 (x), w2t t0 (x).
解满足w=w1+w2。 其中齐次方程Ⅱ的通解为
w2 (x,t)
n1
bn
cos n at
l
lan
n a
sin
n at
l
sin
n
l
x
,
非齐次方程Ⅰ的解可用 冲量法求，先求解方程
2l
若给v(x,t) 增加一个随机函数(x)还可将方程齐次化。
总之，第二类非齐次边界的处理办法和第一类完全相同。
三、 其它非齐次边界的齐次化处理 下面给出其它非齐次边界条件下的函数v(x,t)的形式：
(1) u x0 (t),ux xl (t) :
v(x,t) x2 [ (t) (t)] (t)(1 x);
例1：求定解问题
uuttx0
a2uxx u0,
0, u
xl
具有非齐次边界条件的问题
(87)
u(x,0) 0,.
解 选用辅助函数 w(x,t) t x t. 令
l
u(x,t) v(x,t) t x t,
则问题(87)化成
l
vt
a 2vxx
x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
13
vt
a 2vxx
w(0,t) 3,
w(l,t) 6.
18
utt a 2u xx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x
l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
这么由代换 u(x,t) v(x,t) w(x),
问题(91)化为下面两个问题：
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )
u2
(t) 2l
u1 (t)
x2
u1 (t)x.
以上4种辅助函数旳情形对热传导方程一样合用。
12
例1 求解下列问题：
ut a 2uxx (0 x l, t 0),
u(0,t) t, u(l,t) 0,
u1 (0)
u1 (0),
1 ( x)
(x)
x lu2Βιβλιοθήκη (0)u1 (0)
u1 (0).
(79) (80) (81) (85) (86)
10
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
第八章 非齐次边界条件处理(3节).
§8.3非齐次边界条件的处理
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
3.3 非齐次边界条件的处理
令 v v I v II，且满足
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
华科大数理方程课件-固有值和固有函数
华科大数理方程课件-固有值和固 有函数
单击此处添加副标题
汇报人姓名 汇报日期
目 录CONTENTS
1目 2录 3 引言 4 固有值和固有函数的
性质
5 求解固有值和固有函 数的方法
6 固有值和固有函数的 计算实例
ONE
1
引言
定义与概念
与固有值相对应， 固有函数是指满足 特定方程或条件的 函数，这些函数描 述了系统的内在行 为或状态。
在经济学中，固有值和固有函数用 于描述经济系统的内在规律和动态 行为，如均衡点和稳定性分析。
ONE
2
固有值和固有函数的性质
固有值的性质
实数性
固有值通常是实数，表示系统或方程的某种特性或状态。
唯一性
对于给定的系统或方程，固有值是唯一的，不会因计算或测量方 法的不同而改变。
稳定性
固有值可以反映系统的稳定性，例如在力学系统中，固有频率与 系统的振动模式有关。
介绍了固有值和固有函数在各个领 域的应用，如物理、工程、经济和 金融等，并给出了相应的实例和说 明。
对未来研究的展望
提出了一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向，如某些特殊类型的方程的固有 值和固有函数的求解、数值计算方法的改进等。
强调了固有值和固有函数在各个领域的应用前景，并鼓励学者们在未来的研究中积极 探索和应用。
固有函数的性质
周期性
许多固有函数表现出明显的周期性，如振动系统 的位移函数。
单调性
某些固有函数在特定区间内单调增加或减少，反 映系统的变化趋势。
对称性
一些固有函数具有对称性质，如正弦和余弦函数。
固有值和固有函数的关系
对应关系
固有值和固有函数之间存在一一对应关系，每个固有值都有相应的固有函数与 之对应。
单击此处添加副标题
汇报人姓名 汇报日期
目 录CONTENTS
1目 2录 3 引言 4 固有值和固有函数的
性质
5 求解固有值和固有函 数的方法
6 固有值和固有函数的 计算实例
ONE
1
引言
定义与概念
与固有值相对应， 固有函数是指满足 特定方程或条件的 函数，这些函数描 述了系统的内在行 为或状态。
在经济学中，固有值和固有函数用 于描述经济系统的内在规律和动态 行为，如均衡点和稳定性分析。
ONE
2
固有值和固有函数的性质
固有值的性质
实数性
固有值通常是实数，表示系统或方程的某种特性或状态。
唯一性
对于给定的系统或方程，固有值是唯一的，不会因计算或测量方 法的不同而改变。
稳定性
固有值可以反映系统的稳定性，例如在力学系统中，固有频率与 系统的振动模式有关。
介绍了固有值和固有函数在各个领 域的应用，如物理、工程、经济和 金融等，并给出了相应的实例和说 明。
对未来研究的展望
提出了一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向，如某些特殊类型的方程的固有 值和固有函数的求解、数值计算方法的改进等。
强调了固有值和固有函数在各个领域的应用前景，并鼓励学者们在未来的研究中积极 探索和应用。
固有函数的性质
周期性
许多固有函数表现出明显的周期性，如振动系统 的位移函数。
单调性
某些固有函数在特定区间内单调增加或减少，反 映系统的变化趋势。
对称性
一些固有函数具有对称性质，如正弦和余弦函数。
固有值和固有函数的关系
对应关系
固有值和固有函数之间存在一一对应关系，每个固有值都有相应的固有函数与 之对应。
固有值和固有函数(精简)
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
6
练习 15. 试证问题
b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx
b
a
2 ( x) y n ( x)dx
(n 1, 2, 3, );
4
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
(1)首先求出固有函数系yn ( x)的具体表达式 t t ln x 作变换 x e 则有 解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
第2章26固有值和固有函数
常微分方程的边值问题， X (x) X (x) 0, X (0) X (l) 0.
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
7
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d p(x) dy q(x) y (x) y 0
dx dx
(95)
其中 1. p(x), p(x) C[a,b], p(x) 0 (a x b); 2. q(x) C[a,b], 或者 q(x) C(a,b), 而在
1
内容小结
1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： ● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
把边界条件化为齐次的，然后再按照以前的方法 求解。
分离变量法、固有函数法、 作辅助函数法
方程和边界条 件齐次
方程非齐次， 定解条件齐次
边界条件非齐次
2
内容小结
2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得 在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于 求解。例如，
区间端点处至多有一阶极点，且 q(x) 0;
3. (x) C[a,b], (x) 0.
方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
那些使施-刘问题存在非0解的 值，称为该问题
的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为
固有函数。
8
关于固有值和固有函数的几点结论：
(1) 存在无穷多个实的固有值：
1Байду номын сангаасr2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
wrr
1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
7
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d p(x) dy q(x) y (x) y 0
dx dx
(95)
其中 1. p(x), p(x) C[a,b], p(x) 0 (a x b); 2. q(x) C[a,b], 或者 q(x) C(a,b), 而在
1
内容小结
1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： ● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
把边界条件化为齐次的，然后再按照以前的方法 求解。
分离变量法、固有函数法、 作辅助函数法
方程和边界条 件齐次
方程非齐次， 定解条件齐次
边界条件非齐次
2
内容小结
2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得 在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于 求解。例如，
区间端点处至多有一阶极点，且 q(x) 0;
3. (x) C[a,b], (x) 0.
方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
那些使施-刘问题存在非0解的 值，称为该问题
的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为
固有函数。
8
关于固有值和固有函数的几点结论：
(1) 存在无穷多个实的固有值：
1Байду номын сангаасr2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
wrr
1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
通过比较系数得：
B0
0
b
A0 B0 Lna 1
A2a 2 B2a 2 a 4
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级 数法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设 置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：
W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
19
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
u2
(t) u1(t) 2L
x2
10
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令： W (x,t) A(t)x2 B(t)x
V
x t0 W (x) 3(1 l ),Vt
2.5具有非齐次边界条件的问题.
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2
n
代入 vn (t)
t 0
2
t ( na )2 (t )
el
n 0
fn ( d
(
)e
na l
)2
(t
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
sin
4
l
x.
15
2.5-2.6具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数
u( x, t ) v( x. v( x,0) w( x) 31 , vt ( x,0) sin l l 为了将 v( x, t ) 的边界条件也化成齐次， w(x)满足 则
再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得 v(0, t ) w(0) 3, v(l , t ) w(l ) 6,
2
(92)
w(0) 3,
2 2 x cos x 0. l l
(93)
w(l ) 6.
和
vtt a 2 u xx (0 x l , t 0),
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u( x,0) 0,.
t w( x, t ) x t. 解 选取辅助函数 l
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
9
再将 即得
f n (t )
2 n
代入 vn (t ) 0 f n ( )e
t
(
na 2 ) ( t ) l
d ,
( na ) 2 t 2l l 1, e 3 2 ( n ) a n v( x, t ) v n (t ) sin x, 把(90)代入(89) l n 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
vn(t)0fn()e l
2
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
ห้องสมุดไป่ตู้
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w(x,t) 是很多的，
(80) (81)
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
(86)
将问题(86)的解代入
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
于是可得
w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t).
因此，令
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
则问题(79)-(81)可化成 v(x,t) 的定解问题
为此令 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
并选取辅助函数 w(x,t), 使新的未知函数 v(x,t)
满足齐次边界条件，即
v(0,t)0, v(l,t)0.
(83)
由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84)
7
例1 求解下列问题：
u t a 2 u xx(0 x l,t 0 ),
u (0 ,t) t,u (l,t) 0 ,
(87)
u(x,0)0,.
解 选取辅助函数 w(x,t)t xt. 令
l
u(x,t)v(x,t)txt,
则问题(87)化成
l
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,
4
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
1(x) (x)x lu 2 (0 ) u 1 (0 ) u 1 (0 ).
5
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
(80)
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
(3) u x(0 ,t) u 1 (t)u ,(l,t) u 2 (t);w ( x ,t) u 1 ( t) x u 2 ( t) l1 ( u t).
(4) u x (0 ,t) u 1 ( t)u ,x ( l,t) u 2 ( t)w ;(x,t)u2(t)2 lu1(t)x2u1(t)x. 以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
(88)
v(x,0)0.
8
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,
(88)
v(x,0)0.
应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设
v(x,t)n 1vn(t)sinnlx,
(89)
利用2.4.2节中推得公式(64)可知
t
(na)2(t)
为了以后计算方便起见，通常取w(x,t) 为 x的一次
式，即设
w (x,t)A (t)xB (t),
由条件(84)确定 A(t),B(t)得
B(t)u1(t), A(t)1l[u2(t)u1(t)],
3
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
6
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数 w(x,t) 的表达式： (1) u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t) ;w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t). (2) u (0 ,t) u 1 (t)u ,x(l,t) u 2 (t)w ;(x,t) u 2(t)x u 1(t).
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
(86)
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
f1(x ,t)f(x ,t)x lu 2 (t) u 1 (t) u 1 (t),
其中 1(x) (x)x lu 2(0 ) u 1(0 ) u 1(0 ),
2.5 具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题 的求解方法。处理这类问题的基本原则是：
无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w(x,t), 通过函数代换 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
使得对于新的未知函数v(x,t) 而言，边界条件为
齐次的。 我们以下面的问题为例，说明选取函数代换