25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数
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2.5 具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题 的求解方法。处理这类问题的基本原则是：
无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w(x,t), 通过函数代换 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
使得对于新的未知函数v(x,t) 而言，边界条件为
齐次的。 我们以下面的问题为例，说明选取函数代换
(3) u x(0 ,t) u 1 (t)u ,(l,t) u 2 (t);w ( x ,t) u 1 ( t) x u 2 ( t) l1 ( u t).
(4) u x (0 ,t) u 1 ( t)u ,x ( l,t) u 2 ( t)w ;(x,t)u2(t)2 lu1(t)x2u1(t)x. 以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
(88)
v(x,0)0.
8
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,
(88)
v(x,0)0.
应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设
v(x,t)n 1vn(t)sinnlx,
(89)
利用2.4.2节中推得公式(64)可知
t
(na)2(t)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
6
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数 w(x,t) 的表达式： (1) u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t) ;w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t). (2) u (0 ,t) u 1 (t)u ,x(l,t) u 2 (t)w ;(x,t) u 2(t)x u 1(t).
为了以后计算方便起见，通常取w(x,t) 为 x的一次
式，即设
w (x,t)A (t)xB (t),
由条件(84)确定 A(t),B(t)得
B(t)u1(t), A(t)1l[u2(t)u1(t)],
3
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
1(x) (x)x lu 2 (0 ) u 1 (0 ) u 1 (0 ).
5
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
于是可得
w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t).
因此，令
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
则问题(79)-(81)可化成 v(x,t) 的定解问题
4
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
(80百度文库 (81)
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
(86)
将问题(86)的解代入
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
(80)
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
为此令 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
并选取辅助函数 w(x,t), 使新的未知函数 v(x,t)
满足齐次边界条件，即
v(0,t)0, v(l,t)0.
(83)
由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84)
vn(t)0fn()e l
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
(86)
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
f1(x ,t)f(x ,t)x lu 2 (t) u 1 (t) u 1 (t),
其中 1(x) (x)x lu 2(0 ) u 1(0 ) u 1(0 ),
2
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w(x,t) 是很多的，
7
例1 求解下列问题：
u t a 2 u xx(0 x l,t 0 ),
u (0 ,t) t,u (l,t) 0 ,
(87)
u(x,0)0,.
解 选取辅助函数 w(x,t)t xt. 令
l
u(x,t)v(x,t)txt,
则问题(87)化成
l
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题 的求解方法。处理这类问题的基本原则是：
无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w(x,t), 通过函数代换 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
使得对于新的未知函数v(x,t) 而言，边界条件为
齐次的。 我们以下面的问题为例，说明选取函数代换
(3) u x(0 ,t) u 1 (t)u ,(l,t) u 2 (t);w ( x ,t) u 1 ( t) x u 2 ( t) l1 ( u t).
(4) u x (0 ,t) u 1 ( t)u ,x ( l,t) u 2 ( t)w ;(x,t)u2(t)2 lu1(t)x2u1(t)x. 以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
(88)
v(x,0)0.
8
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,
(88)
v(x,0)0.
应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设
v(x,t)n 1vn(t)sinnlx,
(89)
利用2.4.2节中推得公式(64)可知
t
(na)2(t)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
6
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数 w(x,t) 的表达式： (1) u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t) ;w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t). (2) u (0 ,t) u 1 (t)u ,x(l,t) u 2 (t)w ;(x,t) u 2(t)x u 1(t).
为了以后计算方便起见，通常取w(x,t) 为 x的一次
式，即设
w (x,t)A (t)xB (t),
由条件(84)确定 A(t),B(t)得
B(t)u1(t), A(t)1l[u2(t)u1(t)],
3
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
1(x) (x)x lu 2 (0 ) u 1 (0 ) u 1 (0 ).
5
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
于是可得
w (t,x)x l[u2(t)u1(t) ]u1(t).
因此，令
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
则问题(79)-(81)可化成 v(x,t) 的定解问题
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u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
(80百度文库 (81)
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
(86)
将问题(86)的解代入
u (x,t)v(x,t)x l[u 2(t) u 1(t) ]u 1(t). (85)
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
(80)
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
为此令 u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
并选取辅助函数 w(x,t), 使新的未知函数 v(x,t)
满足齐次边界条件，即
v(0,t)0, v(l,t)0.
(83)
由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84)
vn(t)0fn()e l
v t t a 2 v x xf1 ( x ,t)( 0 x l,t 0 ),
v(0,t)v(l,t)0,
(86)
v (x ,0 )1 (x ),v t(x ,0 )1 (x ).
f1(x ,t)f(x ,t)x lu 2 (t) u 1 (t) u 1 (t),
其中 1(x) (x)x lu 2(0 ) u 1(0 ) u 1(0 ),
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u tt a 2 u x xf( x ,t)( 0 x l,t 0 ), (79)
u ( 0 ,t) u 1 ( t)u ,( l,t) u 2 ( t),
u (x ,0 )(x ),u t(x ,0 )(x ).
(80) (81)
u (x,t)v(x,t) w (x,t),
(82)
w ( 0 ,t) u 1 ( t)w ,( l,t) u 2 ( t), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w(x,t) 是很多的，
7
例1 求解下列问题：
u t a 2 u xx(0 x l,t 0 ),
u (0 ,t) t,u (l,t) 0 ,
(87)
u(x,0)0,.
解 选取辅助函数 w(x,t)t xt. 令
l
u(x,t)v(x,t)txt,
则问题(87)化成
l
vt a2vxx x l-1(0xl,t0 ),
v (0 ,t) 0 ,v (l,t) 0 ,