立体几何大题练习文科
立体几何测试题(文科).docx
立体几何文科试题一、选择题：本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设有直线m、n和平面、 . 下列四个命题中，正确的是( )A. 若m∥ , n∥ , 则m∥nB. 若m, n, m∥ , n∥ , 则∥C. 若， m, 则mD. 若， m， m, 则m∥2、已知直线 l , m与平面，，满足I l，l //， m和 m，则有A．且 l m B．且 m //C． m // 且 l m D． // 且r0,1,r r r r3.若a 1 ， b1,1,0 ，且a b a ，则实数的值是（）A .－ 1 B.0 C.1 D.－ 24、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点 A∈α， A l，直线 AB∥ l ，直线 AC⊥l，直线 m∥α， m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）．．．A. AB∥ mB. AC⊥ mC. AB∥βD. AC⊥β5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为8、某几何体的三视图如图所示，当 a b 取最大值时，这个几何体的体积为（A．1B．1C．2D．163329、已知A, B,C , D在同一个球面上 , AB平面 BCD, BC CD , 若 AB6, AC球面距离是（）A. B.4253C. D.33310、四面体ABCD的外接球球心在CD 上，且 CD 2，AB 3 ，在外接球面上AππC．2πD．5πA．B．633611、半径为 2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（A． 4cm B． 2cm C．23cm D．3cm12、有一正方体，六个面上分别写有数字1、 2、 3、 4、 5、 6，有三个人从不同的角3 的对面的数字为 m，4 的对面的数字为 n，那么 m+n 的值为（）A．3B． 7C． 8D． 11A 72,3B 82，3C 73D 832，2,22二．填空题：本大题共 4 个小题。
高二高三立体几何文科大题训练,附详细答案
侧视DCBAP图5图41、（佛山市2013届高三上学期期末）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为 线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为 点D ，PD BD =．（1）求证：CD ⊥平面PAB ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．2、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.1解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， ∵在Rt ABC ∆中，4AB =，∴由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =，∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，∵4AB =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D=得，CD⊥平面PAB．-----------------6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知CD=3PD DB==，--------7分（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）∴1111133332322P BDC BDCV S PD DB DC PD-∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=．--------10分又PB==，PC==BC==∴PBC∆为等腰三角形，则122PBCS∆=⨯=．--------12分设点D到平面PBC的距离为d，由P BDC D PBCV V--=得，13PBCS d∆⋅=，解得d=．--------14分法2：由（Ⅰ）可知CD=，3PD DB==，过点D作DE CB⊥，垂足为E，连接PE，再过点D作DF PE⊥，垂足为F．-----------------8分∵PD⊥平面ABC，又CB⊂平面ABC，∴PD CB⊥，又PD DE D=，∴CB⊥平面PDE，又DF⊂平面PDE，∴CB DF⊥，又CB PE E=，∴DF⊥平面PBC，故DF为点D到平面PBC的距离．--------10分在Rt DEB∆中，3sin302DE DB=⋅=，2PE==，在Rt PDE∆中，335PD DEDFPE⨯⋅===，即点D到平面PBC的距离为5．-------14分2（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD. …………… 2分FE D CBAP∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分 ∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED 中，225PE PD DE =-=，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分 ∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E =，∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分 在R t △PEF 中， 223PF PE EF =+=， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分3、（惠州市2013届高三上学期期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1CF B E ⊥； （3）求三棱锥1C B FE V -的体积．3解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则∵EF 为中位线…………2分1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分（2）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A B C D -ABCD 1面⊥∴DD ，ABCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，E B CF 1⊥∴…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高 ，2CF BF ==…………10分1132EF BD ==，222211(2)26B F BF BB =+=+= 222211111(22)3B E B D D E =+=+=∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………14分4、（茂名市2013届高三上学期期末）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD,1AB CD ==，3AC =，AD=DE=2，G 为AD 的中点。
高中数学立体几何大题练习(文科)
立体几何大题练习（文科）：1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以C1N∥MB，即可证明MB∥平面AC1N；（2）证明AC⊥平面BCC1B1，即可证明AC⊥MB．【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N；（2）因为CC1⊥底面ABC，所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅰ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，﹣BMQ取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）所以V P﹣BMQ则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN；（2）求证：AM∥平面PBC．【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD ⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分别为AD、PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．【分析】（1）取PB的中点G，连接FG、AG，证得底面ABCD为正方形．再由中位线定理可得FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，则AG∥FE，运用线面平行的判定定理可得EF∥平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD⊥平面PAB，即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC⊥平面PAB，EF⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG，因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，，所以底面ABCD为正方形．∵E、F分别为AD、PC中点，∴FG∥BC，AE∥BC，，，∴FG∥AE且FG=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥FE，∵AG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB，∴点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB=A，AD⊥平面PAB，则点F到平面PAB的距离为EA=1．（2）证明：由（1）知AG⊥PB，AG∥EF，∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，由AG⊂平面PAB，∴BC⊥AG，又∵PB∩BC=B，∴AG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC，∵EF⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC．【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题．9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【分析】（1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC ⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【分析】（1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题．。
立体几何大题练习(文科)(含详解)
立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥，ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线B 段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由.7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =，BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC 的值.9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .试题解析：（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1AC OD . 又1AC ⊄面1AB D ， OD ⊂面1AB D ， ∴1A C 面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形， D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =， AD ⊂面ABC .∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥， 1AD B D D ⋂=， AD ， 1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.【试题解析】（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得1DE AC ，因为DE ⊂平面1B CD ， 1AC ⊄平面1B CD ，所以1AC 平面1B CD .（2）当CD AB ⊥时平面11ABB A ⊥平面1CDB .证明：因为1AA ⊥平面ABC ， CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又CD AB ⊥， 1AA AB A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ，因为CD ⊂平面1CDB ，所以平面11ABB A ⊥平面1CDB ，故点D 满足CD AB ⊥.因为5AB =， 3AC =， 4BC =，所以222AC BC AB +=，故ABC ∆是以角C 为直角的三角形，又CD AB ⊥，所以95AD =.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.试题解析：（1）证明：连接BD ，由于//AB CD ，点E 为CD 的中点，DE AB =， AB AD ⊥，所以四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥，设BD 与AE 相交于点O ，又△PAB 与△PAD 均为等边三角形，可得PB PD =，在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAE ⊥平面ABCD ．（2）由2CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， PA =PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设点F 到平面BCE 的距离为h ，又2CF PF =，所以223h PO =⋅=，BEC S ∆= 12BE CE ⋅⋅= 192⨯=， F BEC V -= 13BCE S h ∆⋅⋅= 19263⨯⨯=， 所以，三棱锥F BEC -的体积为6． 4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥， ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.【试题解析】（Ⅰ）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，因F 为CD 的中点， 所以1//2MF ED ，又AB // 12ED , 所以//MF AB ，四边形ABMF 为平行四边形，所以MB//AF ,因为BM ⊂平面BCE ， AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面.BCE（Ⅱ）因为ACD ∆是正三角形，所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中， 1,2,AB AC BC ===所以222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，∴DE ⊥AC ，又DE ⊥AD ,AC∩AD=A∴DE ⊥平面ACD∴DE ⊥AF,又AF ⊥CD ，由（Ⅰ）得BM ∥AF∴DE ⊥BM, BM ⊥CD ，DE∩CD=D∴BM ⊥平面CDE ，BM ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE（Ⅲ）连接DM ，由于DE =DC∴DM ⊥CE由（Ⅱ）知，平面BCE ⊥平面CDE ，∴DM ⊥平面BCE所以DM 为D 到平面BCE 的距离，DM所以D 到平面BCE5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.试题解析：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，又CF ⊂平面CDEF ，则AD ⊥CF ．又因为AE ⊥CF ，AD ∩AE ＝A ，所以CF ⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，从而有CF ⊥DE ．（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ，所以FM ⊥平面ABCD ．因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ，所以FM ＝CM ＝1，所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝＋＝．6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由. 解析：(1)证明：因为CD ⊥平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥，又因为AE DE ⊥， CD DE D ⋂=， 所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE .(2)结论：在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF 平面BCE . 解：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ，所以CD AB .又因为3CD AB =，所以MF AB =， FM AB ，所以四边形ABMF 为平行四边形，则AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ， BM ⊂平面BCE ，所以AF 平面BCE .7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.试题解析：（1）2,4,3AD BD ADB π==∠=，由余弦定理得， 222AB BD AD AB =∴=+，故AB AD ⊥又点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ， PM ∴⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABDPM AB ∴⊥，又,,PM AD M PM AD ⋂=⊂平面PAD ， AB PAD ∴⊥（2）连接PM ⊥平面,ABD AD ⊂平面,ABD PM AD ∴⊥又M 为AD 的中点， 1MD AM ∴==设PM h =，则PD BM PB =====222PD PB PD PB BD ⊥∴+=，即2211316,1h h h +++=∴=//,AB CD AB AD CD AD ⊥∴⊥，又3ADB π∠=∴在等腰BCD ∆中， 1,,cos 2662BC DC CDB CD BD ππ=∠=∴==,3CD ∴=∴梯形ABCD 的面积为122⨯⨯=⎝113P ABCD V -∴==8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =， BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PM MC 的值. 试题解析：（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥， PA AB ⊥,所以PB =又由于PA∩AB ＝A ，故BC ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB,所以BC PB ⊥,所以ACB ∆， PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，12PCB S ∆==．（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ．由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ．又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ．因为ABN ∆与ACB ∆相似， 12AB AB AN AC ⋅==， 从而NC ＝AC －AN ＝．由MN ∥PA ，得＝＝．9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.试题解析：（1）取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ， EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =， 所以//EF AB ．又222AB CD DN EF ====， //AB CD ，所以//EF CD ， EF DN =.所以四边形EFND 为平行四边形.所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以//FN 平面BDE ，又FN MN N ⋂=，所以平面//MFN 平面BDE .又MF ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ，因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===，所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥，因为EH BH ==BE =所以12BDE S ∆==，设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为11422BDM BCD S S ∆∆===，所以由E BDM M BDE V V --=，得113232h =⨯⨯，解得5h =. 即F 到平面BDE 的距离为5． 10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离. 试题解析：（1)证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥,∵11,AB B C AB BC B ⊥⋂=,∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥．∵1AB AC =, O 是1BC 的中点，∴1AO B C ⊥，∵11B C BC O ⋂=，∴AO ⊥平面11BB C C .(2)设菱形11BB C C 的边长为x ，又160B BC ∠=︒，∴1BB C ∆是等边三角形，则1B C x =．由（1)知1AO B C ⊥，又O 是1B C 的中点， ∴1AB AC =，又160B AC ∠=︒，∴1AB C ∆是等边三角形，则11AC AB B C x ===， 在Rt ACO ∆中，AO x ==，∴1131111sin12013328A BCC BCC V S AO x x x x -∆=⋅=⨯⋅⋅⋅=⋅=， 解得2x =. 在Rt ABO ∆中，BO x ===， 在Rt BCO ∆中，AB x ===11122ABB S AB ∆=⨯==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由111111C ABB A BB C A BCC V V V ---===，得111133ABB S h h ∆⋅⋅==，解得h =， 即点1C 到平面1ABB.。
高考立体几何文科大题及答案
高考立体几何大题及答案1.（2009 全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD 为矩形，SD 底面ABCD ，AD 2 ，DC SD 2，点M 在侧棱SC上，∠ABM=60。
（I）证明：M 是侧棱SC的中点；求二面角S AM B的大小。
2.（2009 全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1 中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B1C 与平面BCD所成的角的大小A 1 C1 B 1D EAC B3.（2009 浙江卷文）如图，DC 平面ABC ，EB / /DC ，AC BC EB 2DC 2 ，ACB 120 ，P,Q 分别为AE, AB 的中点．（I）证明：PQ / / 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE所成角的正弦值．4.（2009 北京卷文）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面ABCD ，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC 平面PDB ；（Ⅱ）当PD 2AB 且 E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（2009 江苏卷）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，E、F 分别是 A B 、A1C 的中点，点D1在B C 上，A1D B1C1 1 。
求证：（1）EF∥平面ABC ；（2）平面A FD 平面BB1C1C .16.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。
7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA AD4，AB2．以BD的中点O为球心、BD为直径的球P面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；M（3）求点O到平面ABM的距离．DAOBC8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB AE,FA FE,AEF45（I）求证：EF平面BCE；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE（III）求二面角F BD A的大小。
文科立体几何大题训练
文科立体几何大题训练1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．文科立体几何大题训练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PO=2．则V P﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO==4．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM===．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE．由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，∴OE∥CP，∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵E为PA的中点，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1，则．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，∴AB=BC=2，DE=2，∴S△FBC==2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC=V D﹣FBC==．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；（Ⅱ）证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO∥FG，即AC∥FG．∵AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF；（Ⅲ）解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD∥BC，AD⊥AB．由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC=A；∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA=SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD=O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE=；根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=；∴；又；∴V三棱锥A﹣PCD=V三棱锥P﹣ACD=．。
立体几何大题练习(文科)
1．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．2．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分别为AD、PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC ⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．6．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平ABD 面；（2）若AE ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．7．已知四棱锥中，⊥平面，是直角梯形，，90º，．（1）求证：⊥；（2）在线段上是否存在一点，使//平面， 若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由ABCD P -PA ABCD ABCD BC AD //BAD ∠AD BC 2=AB PD PB E AE PCD E。
高三立体几何习题(文科含答案)
23正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图3立几习题21假设直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则以下命题正确的选项是〔A 〕12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒〔B 〕12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥〔C 〕233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面〔D 〕1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图〔主视图〕，侧视图〔左视图〕和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3 B ．4 C ．3 D ．24.某几何体的三视图如下图，则它的体积是〔 〕 A.283π- B.83π-D.23π5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD的中点 求证：〔1〕直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD5〔本小题总分值13分〕如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
OA=，21∥；〔Ⅰ〕证明直线BC EF-的体积.〔Ⅱ〕求棱锥F OBED6.〔本小题共14分〕如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.〔Ⅰ〕求证：DE∥平面BCP；〔Ⅱ〕求证：四边形DEFG为矩形；〔Ⅲ〕是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.7．〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
(完整)立体几何(文科)
立体几何（文科)1、如图1。
4所示四棱锥P。
ABCD中，底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝错误!，M为BC上一点，且BM＝错误!.(1）证明：BC⊥平面POM;(2）若MP⊥AP，求四棱锥P。
ABMO的体积．516图42、四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E,F，G，H。
图1。
4（1）求四面体ABCD的体积；错误!.(2）证明：四边形EFGH是矩形．3、如图1。
5，在三棱柱ABC .A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1。
5（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2）求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E。
ABC的体积．错误!.4、如图1.3，四棱锥P。
ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；(2）设AP＝1，AD＝错误!，三棱锥PABD的体积V＝错误!，求A到平面PBC的距离．错误!图13。
5、如图16所示,三棱锥A . BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD 。
（1）求证：CD ⊥平面ABD ；(2）若AB ＝BD ＝CD ＝1,M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积．错误!图1。
66、如图1。
4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ，F ，G 分别为AC ，DC ,AD 的中点．（1）求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D 。
BCG 的体积．错误!。
7、如图， 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A（Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1； (Ⅱ） 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ，AB AD ⊥,5BC =,3DC =，4AD =，60PAD ∠=。
2023全国甲卷数学立体几何18题
（1）证明见解析.
（2） 13 13
【基本思路】 （1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 A1O 平面 BCC1B1 ，再由勾股定理 求出 O 为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出 AB1 的长及点 A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【详细解析】⑴如图，
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由 CM∥A1C1,CM A1C1知四边形 A1CMC1 为平行四边形， C1M∥A1C ，C1M 平面 ABC ，又 AM 平面 ABC ，
C1M AM 则在 Rt△AC1M 中， AM 2AC,C1M A1C ， AC1 (2AC)2 A1C2 ， 在 Rt△AB1C1 中， AC1 (2AC)2 A1C2 ， B1C1 BC 3 ，
（1）证明见解析. （2）1
【基本思路】
(1)由 A1C 平面 ABC 得 A1C BC ，又因为 AC BC ，可证 BC 平面 ACC1A1 ，从而 证得平面 ACC1A1 平面 BCC1B1 ； (2) 过点 A1 作 A1O CC1 ，可证四棱锥的高为 A1O ,由三角形全等可证 A1C AC ，从而证 得 O 为 CC1 中点，设 A1C AC x ，由勾股定理可求出 x ，再由勾股定理即可求 A1O .
AB1 (2 2)2 ( 2)2 ( 3)2 13 , 又 A 到平面 BCC1B1 距离也为 1，
所以 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为
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.
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【详细解析】 ⑴证明：因为 A1C 平面 ABC ， BC 平面 ABC , 所以 A1C BC , 又因为 ACB 90o，即 AC BC ，
高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)
高二文科数学《立体几何》大题训练试题1． (本小题满分14 分 )如图的几何体中，平面，平面，△ 为等边三角形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面。
2． (本小题满分14 分 ) GkStK如图， AB 为圆 O 的直径，点E、 F 在圆 O 上， AB ∥ EF，矩形 ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面相互垂直，且，.(1)求证：平面；(2)设 FC 的中点为M ，求证：∥平面；(3)求三棱锥F－ CBE 的体积 .3.（本小题满分14 分）如下图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，.(Ⅰ )求证：平面；（Ⅱ）求四周体的体积.4．如图 ,长方体中， ,,是的中点 .(Ⅰ )求证：直线平面；(Ⅱ )求证：平面平面；(Ⅲ )求三棱锥的体积.5．（此题满分14 分）如图，己知中，，，且（1）求证：无论为什么值，总有（2）若求三棱锥的体积．6.( 本小题满分 13 分 )如图，已知三棱锥 A— BPC中， AP⊥PC，AC⊥BC， M为 AB的中点，D为 PB的中点，且△ PMB 为正三角形．(1)求证： DM∥平面 APC；(2)求证： BC⊥平面 APC；(3)若 BC＝ 4， AB＝ 20，求三棱锥 D— BCM的体积．7、（本小分14 分）如 1,在直角梯形中,,,.将沿折起 ,使平面平面 ,获得几何体 ,如 2 所示 .(1)求 :平面； (2) 求几何体的体 .8、（本小分14 分）已知四棱( 5) 的三如 6 所示，正三角形，垂直底面，俯是直角梯形．（ 1）求正的面；（ 2）求四棱的体；（ 3）求：平面；参照答案1． (本小分14 分 )（1）明：取的中点，．∵ 的中点，∴且．∵平面，平面，∴，∴．又，∴．⋯⋯⋯⋯3 分∴四形平行四形，．⋯⋯⋯⋯⋯5 分∵平面，平面，∴平面．⋯⋯⋯⋯7 分（2）明：∵ 等三角形，的中点，∴⋯⋯⋯⋯9 分∵平面，，∴．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又，∴平面．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分∵，∴平面．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分∵平面，∴平面平面．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分2．解：（ 1）平面平面， ,平面平面，平面，∵平面，∴，⋯⋯⋯ 2 分又的直径，∴，∴平面 .⋯⋯⋯ 4 分（2）的中点，，又，，四形平行四形，∴，又平面，平面，∴平面.⋯⋯8分（3）∵面，∴，到的距离等于到的距离，点作于，、，∴ 正三角形，∴ 正的高，∴，⋯⋯⋯11 分∴⋯⋯12分。
(完整版)高考文科立体几何证明专题
立体几何专题1．如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 边上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，获取如图5 所示的三棱锥A BCF ，其中 BC2 ．2(1) 证明： DE // 平面 BCF ；(2) 证明： CF 平面 ABF ；(3) 2时，求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG ．当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】（ 1）在等边三角形ABC 中， ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立， DE / / BC ,Q DE平面 BCF ，BC 平面 BCF ，DE / / 平面 BCF ；AGEDFCB图 5（2 ）在等边三角形ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC 1 ①， BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中， BC2， BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ；（ ）由（ ）可知 GE / /CF ，结合（ 2）可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】 这个题是入门级的题，除了立体几何的内容， 还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2．如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点，F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高．2（1）证明： PH 平面 ABCD ；（2）若PH=1，AD= 2 ,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF平面PAB．解： (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD，PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ，垂足为 G ；连接 HB, 取 HB 中点 M ，连接 EM ，则 EM 是BPH 的中位线由(1)知： PH平面ABCDEM平面 ABCDＥＭ平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高ＥＭ＝1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.（3）：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN ， FN ，EQ， DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD，PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图，已知三棱锥 A —BPC 中，AP ⊥ PC ， AC ⊥ BC ，M为 AB 中点， D 为 PB 中点，且△ PMB 为正三角形。
立体几何文科练习题(精品).docx
立体几何1.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A.12B. 24C. 6>/2D. 12^22.设是不同的直线，6Z,”是不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若mlla.n ± f3.m Ln ,则a L/3B.若mlla.n±/?,m,则a//”C.若mlla.n ±[3.mlIn ,则a ±D.若ml ta.n ± /3.ml In ,则a 11 /33.如图，棱长为1的正方体ABCD-A^C.D.中，P为线段A.B ±的动点，则下列结论错谖的是A. DC X 1B.平面D.A.P±平面A.APc. ZAPD]的最大值为90° D. AP + PD l的最小值为』2 +1 1 4.一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为 m3. : 口2 1正视图侧视图I，1』5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于. r* * it,2俯视图6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是7 .如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D,E,F ,且知SD : DA = SE : EB = CF : FS = 2 :1,若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的.8.如图，四边形ABCD为正方形，QA_L平面ABCD, PD〃QA, QA=AB=- PD.⑴证明：PCU平面DCQ；⑵求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P- DCQ的体积的比值.［来7T 9.如图所示的多面体中，ABCD是菱形，3DE尸是矩形，面ABCD, ZBAD = ~.3(1)求证：平面BCF H平面AEQ.(2)若BF = BD = a,求四棱锥A-BQEF的体积。
10.在四棱锥 P —A3CQ 中，底面ABCD为矩形，PD 1 ^ABCD , AB = 1, BC = 2, PD =的,G、F分别为AP、CQ的中点.(1)求证：AD 1 PC；(2)求证：FG〃平面BCP；11.如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M,N分别为AF,BC的中点.(1)求证：MN 〃平面CDEF ；(2)求多面体A - CDEF的体积.12.如图，在三棱锥P-ABC中，ZABC = 90°,(1)求证：EFtmABC；(2)求证：平面AEF L平面PAB.P平面ABC , E, F分别为PB, PC的中点.B13.如图,在二棱锥 P—ABC 中，D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PAXAC, PA=6, BC=8, DF=5.求证:(1)直线PA〃平面DFE；(2)平面BDE±平面ABC.14.如图.直二棱柱ABC —AiBiCi中，AB= AC,点D、E分别是棱BC, CG上的点(点D不同于点C),且ADXDE, F为BC的中点.求证：(1)平面ADE_L平面BCCB(2)直线AF〃平面ADE.参考答案1. C【解析】试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为45°角，则面积为：6x2xsin45° = 6& 考点：直观图与立体图的大小关系.2. C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得nil (3,则可以为任意角度的两平面,A, B均错误.C, D中由n V (3,mll n可得m L (3 ,则有all /3 ,故C正确，D错误.考点：线，面位置关系.3. C【解析】试题分析:g项侦回，「.A正确；"5恤M，.IB正确;当0<A/<g 时，ZAPD］为钝角，3错；将面AA X B与面ABB^沿人3展成平面图形，线段人。
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立体几何大题练习(文科)：1. 如图，在四棱锥s— ABCD中，底面ABCD是梯形，AB// DC, /ABC=90,AD=SD BC=CD丄叮,，侧面SAD丄底面ABCD(1)求证：平面SBD丄平面SAD(2)若/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为丄—，求侧面厶SAB的面积.12【分析】(1)由梯形ABCD设BC=a则CD=a AB=2a运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD丄平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证；(2)运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理，可得SA SB,运用三角形的面积公式，即可得到所求值.【解答】(1)证明：在梯形ABCD 中，AB / DC,/ ABC=90, BC=C设BC=a贝U CD=a AB=2a在直角三角形BCD中，/ BCD=90,可得BD= :a,/ CBD=45,/ ABD=45,由余弦定理可得AD= j • ＜：'a，贝U BD丄AD,由面SAD丄底面ABCD 可得BD丄平面SAD,又BD?平面SBD,可得平面SBDL平面SAD(2)解：/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为匚,由AD=SD= fa,在厶SAD中，可得SA=2SDsin60 \= a,△ SAD的边AD上的高SH=SDsin60些a,2由SH!平面BCD可得解得a=1,由BD丄平面SAD,可得BD丄SD,SB=I T•= .「I • '=2a，又AB=2a在等腰三角形SBA中,边SA上的高为则仏SAB的面积为“ SA X Vio-■/is【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题.2. 如图，在三棱锥A- BCD中，AB丄AD，BC丄BD,平面ABD丄平面BCD点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF丄AD.求证：（1）EF//平面ABC;（2）AD丄AC.【分析】（1）利用AB / EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G,连结FG EG使得FG// BC,则EG// AC,利用线面垂直的性质定理可知FG丄AD,结合线面垂直的判定定理可知AD丄平面EFG从而可得结论.【解答】证明：（1）因为AB丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四点共面，所以AB / EF,又因为EF?平面ABC AB?平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF//平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG EG使得FG// BC,则EG// AC,因为BC丄BD, FG// BC,所以FG丄BD,又因为平面ABD丄平面BCD所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD ,又因为AD丄EF,且EF A FG=F,所以AD丄平面EFG所以AD丄EG,【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想,涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题.3. 如图,在三棱柱ABC- A1B1C1中,CC丄底面ABC, AC丄CB点M和N分别是B iC i和BC的中点.(1)求证：MB//平面AGN;(2)求证：AC丄MB.【分析】(1)证明MC i NB为平行四边形,所以GN// MB ,即可证明MB //平面AGN;(2)证明AC丄平面BCGB，即可证明AC丄MB.【解答】证明：(1)证明：在三棱柱ABC- A1B1C1中，因为点M , N分别是B i C i, BC的中点，所以C i M // BN, GM=BN.所以MC i NB为平行四边形.所以C i N/ MB.因为C i N?平面ACN, MB?平面ACN,所以MB//平面AC i N;(2)因为CG丄底面ABC,所以AC丄CG.因为AC丄BC, BC n CG=C,所以AC丄平面BCCB i.因为MB?平面BCCB i,所以AC丄MB.【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|| BC, PD丄底面ABCD/ ADC=90 , AD=2BC Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(D证明：PA//平面BMQ;(D已知PD=DC=AD=2求点P到平面BMQ的距离.【分析】(i)连结AC交BQ于N,连结MN，只要证明MN // PA利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA//平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离.【解答】解：（1）连结AC交BQ于N,连结MN，因为/ ADC=90, Q为AD的中点，所以N为AC的中点.…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN PAC的中位线，故MN // PA,又MN?平面BMQ，所以PA//平面BMQ. （5分）（2）由（1）可知，PA//平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ 的距离，所以V P- BMQ=V A-BMQ=V M-ABQ，取CD的中点K,连结MK,所以MK// PD,冊誌fD二1，••- （7分）又PD丄底面ABCD 所以MK丄底面ABCD又BC^-AD=1 , PD=CD=2 所以AQ=1, BQ=2, MQ毛，NQ=1 , •••（10 分）所以V P-BMQ=V A-BMQ=V M-ABQ^•二二二.「「：丫―二，••- （11 分）则点P到平面BMQ的距离…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离.5. 如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，BC丄AC, D, E分别是AB, AC的中点.（1）求证：BG// 平面A1DE;（2）求证：平面A1DE X平面ACCA1.Clc【分析】（1）证明B i C i II DE,即可证明B i C i II 平面A i DE（2）证明DE 丄平面ACCA i ，即可证明平面 A i DE X 平面ACCA i .【解答】证明：（i ）因为D , E 分别是AB, AC 的中点，所以DE I BC,…（2 分） 又因为在三棱柱 ABC- A i B i C i 中，B i Ci II BC,所以B i C i II DE …（4分） 又B i C i ?平面A i DE, DE?平面A i DE,所以BiG //平面A i DE …（6分）（2）在直三棱柱ABC- A i B i C i 中，CG 丄底面ABC,又DE?底面ABC ,所以CG 丄DE …（8分）又 BC X AC, DE// BC,所以 DE X AC, ••- （i0 分）又 CC , AC?平面 ACCA i ,且 CG G AC=C 所以 DEX 平面 ACCA i …（i2 分）又DE?平面A i DE,所以平面A i DE X 平面ACCA i …（i4分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.6. 在四棱锥P - ABCD 中, PC X 底面ABCD , M , N 分别是PD, PA 的中点，AC 丄 AD , / ACD=Z ACB=60 ° PC=AC(1) 求证：PAL 平面CMN ;(2) 求证：AM //平面PBC【分析】（i ）推导出MN // AD , PC X AD, AD X AC,从而AD X 平面PAC 进而AD X PA MN X PA 再由CN 丄PA 能证明PAL 平面CMN.（2）取CD 的中点为Q ,连结MQ 、AQ ,推导出MQ II PC,从而MQ //平面PBC 再求出AQ//平面,从而平面 AMQ //平面PCB 由此能证明 AM //平面PBC【解答】证明：(1)v M , N分别为PD PA的中点,••• MN为厶PAD的中位线，二MN // AD, ••• PC1底面ABCD AD?平面ABCD 二PC X AD,又••• AD丄AC, PC n AC=C 二AD丄平面PAC••• AD丄PA,二MN 丄PA又••• PC=AC N为PA的中点，二CN丄PA••• MN n CN=N, MN?平面CMN , CM?平面CMN,••• PAL平面CMN.解（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,v MQ是厶PCD的中位线，二MQ // PC,又••• PC?平面PBQ MQ?平面PBC 二MQ //平面PBCv AD 丄AC,/ ACD=60,A Z ADC=30 .•••/ DAQ=/ADC=30, A/ QAC=ZACQ=60 ,•••/ ACB=60 , A AQ// BC,v AQ?平面PBC BC?平面PBC A AQ//平面PBC,v MQ n AQ=Q A平面AMQ //平面PCB【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.7. 如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD L 底面ABCD,且PA=PD=^AD , E、F分别为PC BD的中点.2(1)求证：EF//平面PAD(2)求证：面PAB丄平面PDC.【分析】(1)连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF// PA利用直线与平面平行的判定定理证明EF/平面PAD(2)先证明CD丄PA然后证明PAI PD.利用直线与平面垂直的判定定理证明PA!平面PCD最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PABL面PDC.【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F, F 也为AC中点，E为PC中点.所以在△ CPA中, EF/ PA又PA?平面PAD, EF?平面PAD,所以EF/平面PAD(2)平面PAD丄平面ABCD平面PADA 面ABCD=AC? CD丄平面PAD? CD丄PA 正方形ABCD中CD丄ADPA?平面PADCD平面ABCD 又--儿,所以P A+P D^AD所以△ PAD是等腰直角三角形，且.•吓「I二——，即PA!PD.因为CD A PD=D,且CD PD?面PDC所以PA丄面PDC又PA?面PAB所以面PABL面PDC【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力.8. 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA±平面ABCD底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 BD=2 ::, E、F分别为AD、PC中点.(1)求点F到平面PAB的距离；【分析】(1)取PB的中点G,连接FG AG,证得底面ABCD为正方形.再由中位线定理可得FG// AE且FG=AE四边形AEFG是平行四边形，则AG// FE运用线面平行的判定定理可得EF//平面PAB点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD丄平面PAB即可得到所求距离；(2)运用线面垂直的判定和性质，证得BC丄平面PAB EF丄平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证.【解答】(1)解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 BD=2近，所以底面ABCD为正方形.••• E、F分别为AD PC中点，••• FG// BC, AE// BC, F諾玩，捷今AD，••• FG// AE且FG=AE•••四边形AEFG是平行四边形，二AG// FE,••• AG?平面PAB EF?平面PAB 二EF// 平面PAB•••点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA!平面ABCD,可得PA!AD,又AD 丄AB, PAH AB=A,AD丄平面PAB则点F到平面PAB的距离为EA=1.(2)证明：由(1)知AG丄PB, AG// EF, ••• PAL平面ABCD 二BC丄PA ••• BC丄AB, AB A BC=B 二BC丄平面PAB 由AG?平面PAB••• BC丄AG,又T PB A BC=B••• AG丄平面PBC二EF丄平面PBC••• EF?平面PCE【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题.9. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ BAD=ZADC=90,DC=2AB=2ADBC L PD, E, F分别是PB, BC的中点.求证：（1）PC//平面DEF;【分析】（1）由中位线定理可得PC// EF,故而PC//平面DEF；（2）由直角梯形可得BC L BD,结合BC丄PD得出BC丄平面PBD,于是平面PBC丄平面PBD.【解答】证(1)v E, F分别是PB, BC的中点,明：••• PC// EF,又PC?平面DEF, EF?平面DEF••• PC//平面DEF(2)取CD的中点M，连结BM,贝U AB' DM , 又AD丄AB, AB=AD,•••四边形ABMD是正方形，••• BM丄CD, BM=CM=DM=1, BD=:,••• BC=:,••• BC?+BC?=C仔，••• BC丄BD, 又BC丄PD, BD A PD=D,••• BC丄平面PBD,又BC?平面PBC•••平面PBCL平面PBD.10. 女口图，在三棱锥A- BCD中，E, F分别为BC, CD上的点，且BD//平面AEF.(1)求证：EF//平ABD面；(2)若AE丄平面BCD, BD丄CD,求证：平面AEFL平面ACD.【分析】（1）利用线面平行的性质可得BD// EF,从而得出EF//平面ABD;（2）由AE丄平面BCD可得AE丄CD,由BD丄CD, BD// EF可得EF丄CD,从而有CD丄平面AEF,故而平面AEFL平面ACD.【解答】证明：（1）v BD//平面AEF, BD?平面BCD,平面BCDA平面AEF=EF ••• BD// EF ,又BD?平面ABD , EF?平面ABD,••• EF//平ABD面.（2）v AE丄平面BCD CD?平面BCD••• AE 丄CD,由（1）可知BD// EF,又BD丄CD,••• EF± CD,又AE G EF=E AE?平面AEF, EF?平面AEF,••• CD丄平面AEF,又CD?平面ACD,•••平面AEF丄平面ACD.【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题.。