2012年上海市春季高考数学试卷答案与解析

）的最小正周期为 π ．
考 三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 点： 专 计算题． 题： 分 由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T= 析：
中，即可求出函数的最小正周期． 解 解：f（x）=sin（2x+ 答：
）， ∵ω=2， ∴T=
=π， 则函数的最小正周期为π． 故答案为：π 点 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解 评： 本题的关键．
立，则实数k的取值范围是 （﹣∞，2] ．
考 一元二次不等式的应用．菁优网版权所有 点：
专 综合题． 题：
分 根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值 析： 范围．
解 答：
解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，
2）
∴k＜
=1+x ∴y=1+x是一个增函数 ∴k≤1+1=2 ∴实数k取值范围是（﹣∞，2] 故答案为：（﹣∞，2]
6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1=0的解为 x=1 ．
考 有理数指数幂的运算性质．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 析：
由于4x=22x，代入方程关系式即可．
解 答：
解：∵4x=22x， ∴方程4x﹣2x+1=0可化为：22x=2x+1，
∴2x=x+1，
∴x=1．
故答案为：1．
考 抛物线的简单性质．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可 析： 得焦点坐标．
解 答：
解：抛物线y2=8x，
所以p=4，
所以焦点（2，0），
故答案为（2，0）．
点 本题考查抛物线的交点，部分学生因不会求p，或求出p后，误认 评： 为焦点（p，0），还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论
考 函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 点： 分 由f（x）= 析：
为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），代入可求 解 解：∵f（x）= 答：
为奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1） 即m﹣1=3（1+m） ∴m=﹣2 故答案为：﹣2 点 本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题 评： 9．（4分）（2012•上海）函数y=
考 反函数．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 析：
由题意可知，y=f﹣1（x）必过点（0，1），从而可得答案．
解 解：∵y=f（x）的图象过点（1，0），
答： ∴其反函数y=f﹣1（x）必过点（0，1），即f﹣1（0）=1， ∴y=f﹣1（x）+1的图象过点（0，2）．
故选B．
点 本题考查反函数的概念，理解互为反函数的两个函数的定义域与 评： 值域之间的关系（互换）是关键，属于基础题．
、
、
、
、
、
、
、
故答案为：8 点 本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基 评： 础题． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
15．（5分）（2012•上海）已知椭圆C1：
+
=1，C2：
+
=1，则（ ）
+y
+z
=
，（x2+y2+z2≠0），则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的
（ ）
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
考 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 点：
专 常规题型；压轴题．
题： 分 画出草图，根据已知条件x 析：
=2π． 故答案为：2π 点 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，理解“点Z的轨迹是以 评： （0，1）为圆心，
为半径的实心圆”是解题的关键． 11．（4分）（2012•上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任 某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率 为
．（结果用数值表示）
）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006， 当且仅当an=a2012﹣n时，bn取到最大值，
此时n=1006，所以k=1006． 故答案为：1006． 点 本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项 评： 公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细 解答，注意合理地进行等价转化． 14．（4分）（2012•上海）若矩阵
法，
其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，
则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种， 则其概率为
； 故答案为
．
点 本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女 评： 生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而
由排除法求得．
12．（4分）（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成
假设x=0（y、z不为0），可得y
=﹣z
，∴
， ∴向量
和
共线，∴O只能在△ABC边BC上； 若点O在△ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量
和
共线， ∴z=0， ∴xyz=0， ∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件； 故选C． 点 此题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条件 评： 的定义及其判断，是一道基础题． 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写 出必要的步骤。
答： ∵y=t+
的导函数y′=1﹣
＜0 t∈[1，2] ∴y=t+
在[1，2]上为减函数， ∴y=t+
的最大值为1+
=5 ∴y=
的最大值为5 故答案为 5 点 本题主要考查了复合函数的最值的求法，换元法求函数的值域， 评： 利用导数求函数在闭区间上的最值问题的解法，转化化归的思想 方法 10．（4分）（2012•上海）若复数z满足|z﹣i|≤ （i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为 2π ．
满足a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且
=0，则这样的互不相等的矩阵共有 8 个．
考 二阶矩阵．菁优网版权所有 点： 专 计算题；压轴题． 题： 分 根据题意，分类讨论，分主对角线相同、相反，即可得出结论． 析： 解 解：∵ 答：
，a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，
∴矩阵
可以是
的最大值为 5 ．
考 复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 点： 专 计算题． 题：
分 利用换元法，设t=log2x，则t∈[1，2]，将问题转化为求函数y=t+
析：
在[1，2]上的最大值问题，利用导数证明此函数为减函数，利用单 调性求最值即可
解 解：设t=log2x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]
专 计算题． 题：
分 根据集合的并集运算定义即可得k的值 析：
解 解：∵A={1，2，k}，B={2，5}，且A∪B={1，2，3，5} 答： ∴3∈A
∴k=3 故答案为：3
点 本题考查集合的并集运算．首先要求掌握并集的定义，注意并集 评： 中的元素与原集合的关系．属简单题 2．（4分）（2012•上海）函数y=
4．（4分）（2012•上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= 1﹣i ．
考 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算． 析：
解 解：由iz=1+i，得z= 答：
=1﹣i 故答案为：1﹣i． 点 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础 评： 题． 5．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+
点 本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用 评： 函数的单调性确定参数的范围．
13．（4分）（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，
令
．当bk是数列{bn}的最大项时，k= 1006 ．
考 数列与不等式的综合；等差数列的性质．菁优网版权所有 点： 专 综合题；压轴题． 题： 分设 析：
的定义域是 [﹣2，+∞） ．
考 函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 根据根号有意义的条件的条件进行求解； 析：
解 解：∵函数y= 答：
，
∴x+2≥0， ∴x≥﹣2， 故答案为：[﹣2，+∞）；
点 此题主要考查函数的定义域及其求法，是一道基础题； 评：
3．（4分）（2012•上海）抛物线y2=8x的焦点坐标是 （2，0） ．
解 解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面， 答： ∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交
（图2）， 故选D．
点 本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考 评： 查数形结合思想，属于基础题．
18．（5分）（2012•上海）设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、 y、z满足x
考 等可能题：
分 根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析 析： 选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有
的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解 答：
解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取
+y
+z
=0移项得x
+y