专题八第二讲分类讨论思想、化归与转化思想

第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想
1．在正实数集上定义一种运算*：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x ＝27的x 的值为( )
A ．3
B ．1或9
C ．1或 2
D ．3或3 3
2．(2013·高考福建卷)满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．10
3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A.89
3 B ．
4 3 C.29 3 D ．43或83
3 4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与QF 的长
分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于( ) A ．2a B.12a
C ．4a D.4a
5．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2
时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，12
) 6．设集合A ＝{x |12＋x －x 2≥0}，集合B ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．
7．(2013·高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 1
2x ，x ≥1，2x ， x <1，
的值域为________．
8．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．
9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92
，求a 1与q .
10．(2013·惠州模拟题)设a >0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性．
11．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
答案：
第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想
1．【解析】选D.由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤3x 3＝27或⎩⎪⎨⎪⎧x >3x 2＝27， 解得x ＝3或3 3.
2．【解析】选B.若a ＝0，则b ＝－1，0，1，2，此时(a ，b )的取值有4个；
若a ≠0，则方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实根，需Δ＝4－4ab ≥0，∴ab ≤1，
此时(a ，b )的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
∴(a ，b )的个数为4＋9＝13.
3．【解析】选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
4．【解析】选C.因为直线PQ 是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ 垂直于
y 轴时．此时|PF |＝|QF |＝12a
， ∴1p ＋1q
＝4a ，故选C. 5．【解析】选C.易知f (x )为奇函数、增函数，
f (m cos θ)＋f (1－m )>0，
即f (m cos θ)>f (m －1)，
∴m cos θ>m －1，
而0≤θ≤π2
时，cos θ∈[0，1]， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧m >m －10>m －1，得m <1. 6．【解析】由12＋x －x 2≥0，得－3≤x ≤4，那么A ＝{x |－3≤x ≤4}，由A ∩B ＝B ，当
B ≠∅时，结合数轴，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－3m －1≤3m －23m －2≤4⇒⎩
⎪⎨⎪⎧m ≥－2m ≥12m ≤2⇒12≤m ≤2；
当B ＝∅时，也有A ∩B ＝B 成立；此时，m －1>3m －2，即m <12
； 故实数m 的取值范围为{m |m ≤2}．
【答案】{m |m ≤2}
7．【解析】当x ≥1时，log 12x ≤log 12
1＝0，
∴当x ≥1时，f (x )≤0.
当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2.
因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．
【答案】(－∞，2)
8．【解析】g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1，1)上
的值域，不难求出这个函数的值域是[－43，7)．故所求的a 的取值范围是[－43
，7)． 【答案】[－43
，7) 9．【解】当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92
，显然成立； 当q ≠1时，由题意，
得⎩⎨⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q
＝S 3＝92， ∴⎩
⎨⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92
， ② 由①②，得1＋q ＋q 2q 2
＝3， 即2q 2－q －1＝0，
∴q ＝－12
或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6. 综上可知，当q ＝1时，a 1＝32
； 当q ＝－12
时，a 1＝6. 10．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x
＋2a (1－a )x －2(1－a ) ＝2a （1－a ）x 2－2（1－a ）x ＋1x
， 令g (x )＝2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1，
Δ＝4(1－a )2－8a (1－a )＝12a 2－16a ＋4
＝4(3a －1)(a －1)，
①当0<a <13
时，Δ>0，令f ′(x )＝0， 解得x ＝1－a ±（3a －1）（a －1）2a （1－a ）， 则当0<x <1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）或x >1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
时，f ′(x )>0；
当1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）<x <1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
时，f ′(x )<0； 则f (x )在(0，1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
)， (1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
，＋∞)上单调递增， 在(1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ），1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
)上单调递减； ②当13
≤a ≤1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，Δ>0，令f ′(x )＝0，
解得x ＝1－a ±（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
， ∵x >0，∴x ＝1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
则当0<x <1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
时，f ′(x )>0， 当x >1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
时，f ′(x )<0， 则f (x )在(0，1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）)上单调递增，在(1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）
，＋∞)上单调递减．
11．【解】 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，
所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的
椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.
若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |
＝R r 1，可求得Q (－4，0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k
2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2
3
＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1，2＝－4±627，所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187
. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187
. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187
.。