2018年普通高等学校招生全国统一考试

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则（）A．B．C．D1. 答案：C解答：121iz i ii-=+=+，∴1z=，∴选C.2．已知集合，则（）A．B．C．D．2.答案：B解答：{|2A x x=>或1}x<-，则{|12}RC A x x=-≤≤.3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3. 答案：A解答：假设建设前收入为a，则建设后收入为2a，所以种植收入在新农村建设前为60%a，新农村建设后为37%2a⋅；其他收入在新农村建设前为4%a⋅，新农1i2i1iz-=++||z=121{}220A x x x=-->A=Rð{}12x x-<<{}12x x-≤≤}{}{|1|2x x x x<->}{}{|1|2x x x x≤-≥村建设后为5%2a ⋅，养殖收入在新农村建设前为30%a ⋅，新农村建设后为30%2a ⋅故不正确的是A.4．记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A ． B ． C ． D ．4. 答案：B 解答： 11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．5. 答案：D解答：∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =，∴选D.6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6. 答案：A解答：11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⋅+=-.7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．27. 答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为,M N 连线的距离，所以MN == B.n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =3144AB AC -1344AB AC -3144AB AC +1344AB AC +M A N B MN 172528．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．88. 答案：D解答：由题意知直线MN 的方程为2(2)3y x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，与抛物线方程联立有22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112x y =⎧⎨=⎩或2244x y =⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN ==，∴03248FM FN ⋅=⨯+⨯=.9．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）9. 答案：C解答：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如下：要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，∴选C.10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（ ）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 310. 答案：A解答：取2AB AC ==,则BC =23FM FN ⋅e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++ABC△∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.11．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．B ．3C ．D ．411. 答案：B解答：渐近线方程为：2203x y -=，即y x =，∵OMN ∆为直角三角形，假设2ONM π∠=，如图，∴NM k =，直线MN方程为2)y x =-.联立2)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴3(,22N -，即ON =3MON π∠=，∴3MN =， 故选B.12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD12. 答案：A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面α中存在平面与平面11AB D 平行（如图），而在与平面11AB D 平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN ，而平面EFGHMN 的面积16222S =⨯=. 2213x y -=OMN △32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件，则的最大值为_____________．13.答案：6解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，max 32206z =⨯+⨯=.14．记为数列的前项和.若，则_____________．14.答案：63-解答：依题意，1121,21,n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩作差得12n n a a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，又因为11121a S a ==+，所以11a =-，所以12n n a -=-，所以661(12)6312S -⋅-==--.15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩32z x y =+n S {}n a n 21n n S a =+6S =15.答案：16解答：恰有1位女生，有122412C C =种；恰有2位女生，有21244C C =种，∴不同的选法共有12416+=种.16．已知函数，则的最小值是_____________．16.答案：解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-. ∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π= ∴()f x最小值为 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.17.答案：（1（2）5. 解答：()2sin sin2f x x x =+()f x ABCD 90ADC ∠=45A ∠=2AB =5BD =cos ADB∠DC =BC（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴sin 5ADB ∠=, ∵90ADB ∠<,∴cos ADB ∠==（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠，∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,∴25=∴5BC =. 18．（12分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值.18.答案：（1）略；（2）4. 解答：（1）,E F 分别为,AD BC 的中点，则//EF AB ，∴EF BF ⊥， 又PF BF ⊥，EF PF F ⋂=，∴BF ⊥平面PEF ， BE ⊂平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）PF BF ⊥，//BF ED ，∴PF ED ⊥，又PF PD ⊥，ED DP D ⋂=，∴PF ⊥平面PED ，∴PF PE ⊥， 设4AB =，则4EF =，2PF =，∴PE = 过P 作PH EF ⊥交EF 于H 点， 由平面PEF ⊥平面ABFD ，∴PH ⊥平面ABFD ，连结DH ，则PDH ∠即为直线DP 与平面ABFD 所成的角，由PE PF EF PH ⋅=⋅，∴24PH ==而4PD =，∴sin PH PDH PD ∠==， ∴DP 与平面ABFD19．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DPABFD 22:12x C y +=F F l C ,A B M (2,0)（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：.19.答案：（1）2)y x =-；（2）略. 解答：（1）如图所示，将1x =代入椭圆方程得2112y +=，得y =，∴(1,A ，∴2AM k =±，∴直线AM的方程为：(2)2y x =±-.（2）证明：当l 斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当l 斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程有22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩即2222(21)4220k x k x k +-+-=，∴2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，1212121212[(23()4]22(2)(2)AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----2222124412(4)21210(2)(2)k k k k k x x --+++==--，∴AM BM k k =-，∴OMA OMB ∠=∠.20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20. 答案：略解答：（1）由题可知221820()(1)f p C p p =-（01p <<）.l x AM O OMA OMB ∠=∠)10(<<p p )(p f )(p f 0p 0p p X EX∴2182172172020()[2(1)18(1)(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p =-+-⨯-=--∴当1(0,)10p ∈时，()0f p '>，即()f p 在1(0,)10上递增；当1(,1)10p ∈时，()0f p '<，即()f p 在1(,1)10上递减.∴()f p 在点110p =处取得最大值，即0110p =.（2）（i ）设余下产品中不合格品数量为Y ，则4025X Y =+，由题可知1(180,)10Y B ，∴11801810EY np ==⨯=.∴(4025)4025402518490EX E Y EY =+=+=+⨯=（元）. （ii ）由（i ）可知一箱产品若全部检验只需花费400元，若余下的不检验则要490元，所以应该对余下的产品作检验.21．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．21.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）①∵1()ln f x x a x x =-+，∴221'()x ax f x x-+=-，∴当22a -≤≤时，0∆≤，'()0f x ≤，∴此时()f x 在(0,)+∞上为单调递增. ②∵0∆>，即2a <-或2a >，此时方程210x ax -+=两根为12x x ==，当2a <-时，此时两根均为负，∴'()f x 在(0,)+∞上单调递减.当2a >时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--0∆>()f x ()fx ()fx )+∞2a ≤()f x (0,)+∞2a >()f x (0,2a()2a ++∞()f x ()22a a -+210x ax -+=12,x x 2a >1212,1x x a x x +=⋅=120x x <<121x x =1211221211()()ln (ln )f x f x x a x x a x x x -=-+--+21122()(ln ln )x x a x x =-+-12121212()()ln ln 2f x f x x x a x x x x --=-+⋅--成立，即要证成立，∴，即要证() 令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.（二）选考题：共10分。