数学物理方程第三章幂级数展开PPT课件

z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
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k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
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故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k
k 1
收敛圆内部为 t 1
其实， tk 1 t t2 tk li1 m tk 1
zz0
1
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对 收敛。
3. 收敛圆
记 有 R lim ak
a k k 1
lk im a k a k 1z z z z0 0k k 1lk i a m a kk 1zz0lk i a m a kk 1R 1
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柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，
对于一小的正整数 ，必存在一 N 使得
n>N 时有
n p
k ,
k n1
式中 p 为任意正整数。
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2. 绝对收敛
k uk2vk2 收敛。
k1
k1
则原级数 k 收敛。 k 1
两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。
3. 复变项级数
ak (z z0) k
k0
(3.2.2)
满足
lim ak1 a k
k
zz zz0 0kk1lk i m aakk1
zபைடு நூலகம்0
1
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对
收敛。 05.12.2020
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lim ak1 a k
k
zz zz0 0kk1lk i m aakk1
实际上对于 z 1 1 z2 z4 ( 1 )kz2 k 1
1 z2
4. 幂级数的积分表示 利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对 05.一12.2致020 收敛，故可沿这个阜师圆院数逐科院项积分。
记 C’上点为 ，而C’内任一点为 z，
则圆上的幂级数为
C' C
函数有精确表示和近似表示。 精确表示（解析表示）： 表示为初等函数通过四则运算 近似表示：
逼近 近似表示为初等函数通过四则运算 级数表示 表示为一个函数级数
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第三章 幂级数展开
复数项级数；
变项级数（函数级数）；
幂级数；
幂级数对复变函数研究的应用：
泰勒级数；
洛朗级数，函数的奇异性研究。
k(z)1 (z)2 (z) k(z) ,
k 1
的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成
一个复数项级数。
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复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概 念应当是相对于这个定义域而言的。
收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。
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3.1 复数项级数 1. 级数的收敛和柯西判据 级数是无穷项的和
复无穷级数 k 12 k , k 1
每一项为 k ukivk
收敛：
如果极限
收敛 05.12.2020
n
n
n
lim
n k1
kln i m k1ukiln i m k1vk
存在并有限
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充要条件是其实部与虚部都收敛
绝对一致收敛 在区域 B 中，复数项级数的各项
满足 k(z) mk,
而数项级数 m k k 1
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收敛。 即在各点都绝对收敛
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给定
N(z1)
Np
k (z1) .
N 1
k (z1)
N(z2)
收敛，但与 z 的位置有关。
N ' p
k (z2 ) .
N '1
N(z1)
k 0
k 1 t
对于 t 1
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tk lim 1tk1 1
k0
k 1t
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1t
但对于 t 1 显然级数发散。
(2) ( 1 )kz2 k 1 z2 z4 ( 1 )kz2 k k 0
a (1) 解： k
k R lim ak 1 a k
k 1
收敛圆 z 1
k 0
叫以 z 0 为中心的幂级数。
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z0
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a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k
k 0
2. 收敛的达朗贝尔判据
(3.2.1)
研究(3.2.1) 的 模的如下级数
它满足柯西判据：
复数项级数收敛的充要条件是，对于一小
正整数 ，必存在一 N(z)
使得 n>N(z) 时有
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n p
k (z) ,
k n阜1师院数科院
一致收敛 当 N 与 z 无关时。
即对 B 中所有点 给定 ，就有一个统一的 N
使判据得到满足。
一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级 数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积 分。
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又乘以
n!
1
2i ( z)n1
n ! 2iC '(
(z) )k 1 2 n !iC '(