第十章股票价格的行为

例：假设某公司的现金头寸遵循一般维纳过程，每年漂移率 为20，每年方差为900，最初的现金头寸为50万。 那么，则有：
在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60；标 准差为30√0.5=21.21的正态分布；
在第1年末，该头寸将服从正态分布， 均值为70，标准
差为30。
分析：同前，随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性 （用标准差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
这就是说，作为近似，波动率可被解释 为一年内股票价格变化的标准差。
注意：在一段较长时间T后的股票价格比 例变化的标准差并不精确地为σ T。这是 因为比例变化不具有可加性
4、参数的讨论
（1）参数时间：
在几何布朗运动中，我们涉及两个符号： μ和σ，其大小取决于时间计量单位。
若无特别申明，通常以年为时间的计量 单位。
一种股票的现价已经包含了所有信息， 当然包括了所有过去的价格记录。
如果弱型市场有效性正确的话，技术分 析师可通过分析股价的过去历史数据图 表获得高于平均收益率的收益是不可能 的。
是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
三、维纳过程
布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或 气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象 的英国植物学家Robert Brown命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener) 给出的，因此布朗运动又称维纳过程
可见，ΔS/S也具有正态分布特征，其均值为μΔt， 标准差为σ ，方t 差为σ2Δt。
S
S
~
t,
t
其中 (m，s)表示均值为m，标准差为s的正态
分布。
短时间Δt后股票价格比例变化的标准差 为σ 。t
作一粗略的近似，在相对长一段时间T后 股票价格比例变化的标准差为σ T 。
一个连续时间随机过程是指标的变量值的 变化可以在任何时刻发生的过程。
随机过程也可分为连续变量(continuous variable)和离散变量(discrete variable)两 种过程。
在连续变量过程中，标的变量在某一范 围内可取任意值，
在离散变量过程Βιβλιοθήκη Baidu，标的变量只可能取 某些离散值。
二、弱式效率市场假说与
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25， 以年为单位计时。那么，则有：
在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正 态分布；
在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为√2或1.414
的正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为√2 ，是因为变量值 在未来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示） 是随着时间长度的平方根而增加的。
这表明承担相同风险的情况下，股价高的获得 的收益率低，股价低的获得的收益率高。
这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票 价格无关的现实不一致。
2、一种修正：假定股票价格变化率遵循 普通布朗运动
假设股价变化比率遵循布朗运动。设S遵 循期望漂移率为μS（μ为常数）的布朗运 动。因此，在短时间间隔Δt后，S的增长 期望值为μSΔt。参数μ是股票的期望收益 率，以小数的形式表示。
dS Sdt Sdz
即:
dS S

dt
dz
几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用 的一种模型。
变量σ通常被称为股票价格波动率(stock price volatility)。即是股票收益率单位时间的标准差。 σ2表示股票收益率单位时间的方差。
变量μ为股票在单位时间内以连续复利表示的 股 票 价 格 的 预 期 收 益 率 ( expected rate of return)。
因此x具有正态分布,且 :
x的均值 at x的标准差 b t x的方差 b 2 t
类似的，可得任意时间T后x值的变化具有正态分 布，且：
x的均值 aT
x的标准差 b T
x的方差 b 2T
方程：dx=adt+bdz 给出了普通布朗运动，其漂移率(即单位时间 平均漂移)的期望值为a，方差率(即单位时间的 方差)的期望值为b2。如图：
性质2：对于任何两个不同时间间隔Δt， Δz的值相互独立。
从性质1，我们得到Δz本身具有正态分布， Δz的均值=0 Δz的标准差= Δz的方差=Δt t
性质2则隐含z遵循马尔科夫过程，即变 量对过去没有记忆效应。
在一段相对长的时间T中z值的增加表示为z(T)z(0)。这可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化的总量，这里
令漂移率的期望值为a，方差率的期望值 为b2，得到变量x的普通布朗运动,用dx定 义如下：
dx=adt+bdz
其中a和b为常数。dz遵循标准布朗运动。 这个过程指出变量x关于时间和dz动态过 程。
其中第一项adt为确定项，adt项说明了x 变量单位时间的漂移率期望值为a。如果 缺省bdz项，方程变为:
当Δt→0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动或维纳过程：
dz dt
(二)普通布朗运动
漂移率(Drift Rate)是指单位时间内变量Z均值 的变化值。 方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差变 动比率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等 于它的当前值。 方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后， z的方差为1.0×T
即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化 而变化。
四、股票价格的行为过程
——讨论无红利支付股票价格遵循的随 机过程
1、假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理 性
这种假定表明股票价格运动具有不变的期望漂 移率和方差率。
以S代表股票价格, Δt时间段股价的变化为ΔS， 那么在Δt时间段，ΔS的均值为aΔt,方差为b2Δt。 此时aΔt/S代表股票的期望收益率。
即，假定ΔS/S的变化遵循普通布朗运动， 其期望漂移率μ为一恒定参数。在短时间 间隔Δt后，ΔS/S的期望值（股票的期望 收益率）为μ。
（1）若股票价格的方差率恒为0， 这个模型即为：
dS Sdt
即:
dS S

dt
结果为 : S S 0 e t
其中So是零时刻的股票价格。以上方程说明了 当方差率为0时，股票价格以单位时间为μ的连 续复利方式增长。
(三)Ito过程
若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t 的函数，得到另一种类型随机过程，即著名的 Ito过程(Ito process)，即伊藤过程。
dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz
其中，dz是一个标准布朗运动，参数a和b是标 的变量x和时间t值的函数。变量x的漂移率为a， 方差率为b。
马尔科夫过程(Markov process)是一种特 殊类型的随机过程。
这个过程说明只有变量的当前值与未来 的预测有关，变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式则与未来的预测 不相关。
股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (the weak form of market efficiency)相 一致：
股价行为模型通常用布朗运动来描述。
布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。
（一）标准布朗运动
变量z是一个随机变量，设一个小的时间 间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的 变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须满足 两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式
Δz=ε t
其中ε为服从标准正态分布(即均值为0、 标准差为1.0的正态分布)中抽取的一个随 机值。
（2）μ
根据资本资产定价原理，μ值取决于：
该证券的系统性风险，
无风险利率水平(利率水平越高，投资者 要求任一种股票的预期收益率就越高)，
即σ2Δt是Δt时间后股票价格比例变化 (proportional change)的方差，
σ2S2Δt是经过Δt后股票价格的实际变化 (actual change)的方差。
因此，S的瞬态方差率(instantaneous variance rate)为σ2S2。
3、股票价格行为的几何布朗运动
（1）从以上阐述可以得出结论：S可以用瞬态 期望漂移率(instantaneous expected drift rate) 为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗 运动）来表达，表示为：
这两个参数假设为常数。
dz表示标准布朗运动。
（2）从几何布朗运动可知，在短时间Δt 后，证券价格比率的变化值ΔS/S为：
ΔS/S=μΔt+σε 方程的左边是短时间Δt后t 股票的收益率。
μΔt项是这一收益率的期望值，
σε 项是收益率的随机部分。随机部分 的方差(也是整个收益的方差)为σ2Δt。
t
（注：这是只存在于一个无风险的世界中）
（2）股票价格的方差率不为0
当然，实际上股票价格确实存在着波动 率。
一个合理假设是：无论股票价格如何， 短时间Δt后的百分比收益率的方差保持 不变。
即，不管股票价格为$50还是$10，投资 者认为他或她的收益率的不确定性是相 同的。
定义σ2为股票价格比例变化的方差率，
因此，在任一长度为T的时间间隔内，遵循维纳过程的随 机变量值的增加具有均值为0、标准差为 T 的正态分布。
这就是为什么Δ z被定义为与 t 的乘积而不是与Δ t的 乘积。对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，标准 差不具有可加性。这样定义的随机过程就可以使得变量变 化的方差而不是标准差与所考虑的时间长度成正比。
第十章 股票价格的行为模式
教学目的与要求
掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过 程的特点，掌握维纳过程的特点和性质， 掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率 和方差率，维纳过程的均值和标准差。 掌握Ito过程的特征。
教学重点及难点
一、马尔科夫过程与效率市场的关系。
二、维纳过程、一般维纳过程与此同时 Ito过程的特征，漂移率和方差率，变量 的均值与方差。以及这几种过程的内在 联系和变化。
dx=adt→dx/dt=a→ x=x0+at 其中x0为x在零时刻的值。经过长度为T 的时间段后，x增加的值为aT。
第二项bdz是随机项，它表明对x的动态 过程添加的噪音或波动率。这些噪声或 波动率的值为维纳过程的b倍。
短时间t后, x值的变化x为 :
x at b t 其中, 是取自标准正态分布的随机抽样值`.
2、效率市场分类
效率市场假说可分为三类：弱式、半强 式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动 的历史不包含任何对预测证券价格未来 变动有用的信息，也就是说不能通过技 术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会 迅速、准确地根据可获得的所有公开信 息调整，因此以往的价格和成交量等技 术面信息以及已公布的基本面信息都无 助于挑选价格被高估或低估的证券。
三、Ito定理及其运用。
一、随机过程
1、随机过程 如果某变量的值以某种不确定的方式随 时间变化，则称该变量遵循某种随机过 程(stochastic process)。
2、分类 随机过程分为离散时间(discrete time)和 连续时间(continuous time)两类。 一个离散时间随机过程是指标的变量值只 能在某些确定的时间点上变化的过程；
N

T t
N
z(T ) z(0) i t i1
其中εi（i=1，2，……，N）是从标准正态分布 的随机抽样值。
从性质2中可知,ε i是相互独立的， 从上式可得z(T)—z(0)是正态分布的，其中 [z(T)—z(0)] 的均值=0 [z(T)—z(0)]的方差=NΔ t=T
[z(T)—z(0)]的标准差= T
强式效率市场假说认为，不仅是已公布 的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息(包括 “内幕信息”)对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各 种数据对此进行了实证分析。结果发现， 发达国家的证券市场大体符合弱式效率 市场假说。
3、马尔科夫过程
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过 程(Markov Stochastic Process)来表述。
马尔科夫过程
1、效率市场假说 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场 假说。该假说认为：
投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报 酬；
证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确 的，证券价格能完全反应全部信息；
市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另 一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是 相互独立的。