含绝对值的一元一次方程解法

含绝对值的一元一次方程解法

一、绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值

是零。

用字母表示为 ⎪⎩

⎪⎨⎧-=a a a 0 000<=>a a a

绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负

数。

1、 求下列方程的解：

（1）| x | = 7； （2）5 | x | = 10； （3）| x | = 0； （4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9. 解：

二、根据绝对值的意义，我们可以得到：

当a > 0时 x =± a

| x | =a 当a = 0时 x = 0

当a < 0时 方程无解.

（三）

例1：解方程：

（1） 19 – | x | = 100 – 10 | x |

（2）

2||33||4

x x +=- 解：（1）

例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2

分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y ，则原方程变为：

| y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = – 1.

解：

例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0 解方程：3|21|62

y -= 解：

三：形如d cx b ax +=+的绝对值的一元一次方程可变形为：)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。

例1：解方程：5665-=+x x

练习：（1）解方程：43234+=--x x

（2）解方程：413=+-x x

四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题

“零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。

例1：化简下列各式

1、12-x

2、31++-x x

练习：化简：x x x +-++121

例2：解下列方程

1、451=-+-x x

2、113+=--+x x x

练习：

1、1213+=-x x

2、12212+=-+-x x x