电磁场理论典型习题

V S
v v v 2 2 2 2 A = e x + e 1.22 求矢量场 x y xy 沿圆周 x + y = a 的线积分， v 再计算 ∇ × A 对此圆面积的积分。
v v 2π v v ∫ A ⋅ dl = ∫ A ⋅ eϕ adϕ
C 0
解：
v v v x = a cos ϕ ， y = a sin ϕ ， e = − e sin ϕ + e ϕ x y cos ϕ v v 2π 3 2 2 A ⋅ d l = ( − a cos ϕ sin ϕ + a cos ϕ sin ϕ )adϕ 所以， ∫ ∫
1 ∂ (r 2 sin θ cos ϕ ) 1 ∂ (sin θ cos θ cos ϕ ) 1 ∂ (− sin ϕ ) = 2 + + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
=
=
2 sin θ cos ϕ cos 2θ cos ϕ cos ϕ + − r r sin θ r sin θ
对此立方体表面的积分，验证散度定理。
v ∂Ax ∂Ay ∂Az 2 2 2 2 ∇ ⋅ A = + + = 2 x + 2 x y + 72 x y z 解：(1) ∂x ∂y ∂z
(2)
v 0.5 ∫ ∇ ⋅ AdV = ∫
V − 0.5 − 0.5 − 0.5
∫ ∫
0. 5
0.5
(2 x + 2 x 2 y + 72 x 2 y 2 z 2 )dxdydz
v 25 25 | E | = = 解：(1) r 2 x 2 + y 2 + z 2 ，将 x=-3, y=4, z=-5 代入得
v 25 25 1 E = = = | | 2 2 2 在点(-3, 4, -5)处的 (−3) + 4 + (−5) 50 2
v v v v e + + x e y e v r x y zz er = = r r v v 25 v v 25 z 25 z E z = E ⋅ ez = 2 er ⋅ ez = 3 = 2 r ( x + y 2 + z 2 )3 2 r 25(−5) 1 将坐标代入得 E z = 503 2 = − 2 2 v v v v v v v v + + − + 2 2 e x e y e z e e e 2x − 2 y + z E B y z x y z v ⋅ v = x ⋅ = = cos α (2) | E | | B | 9 9r r
v C 不能表示为标量函数的梯度，但可以表示成一个矢量函
数的旋度。
第二章、电磁场的基本规律
2.10 半径为 a 的半圆环上均匀分布着线电荷 ρl ， 求垂直于半圆环所在平面轴线上 z=a 处的
v 电场强度 E(0,0, a) 。 v v v v v ′ ′ ′ r = a cos ϕ e + a sin ϕ e 解： r = aez ， x y v v v v v r − r ′ = −a cos ϕ ′ex − a sin ϕ ′e y + aez v v v v v v ′ ′ ′ ad ( a cos e a sin e a e ρ ϕ − ϕ − ϕ + ρ dl (r − r ′) l x y z dE = l v v 3 = 4πε 0 | r − r ′ | 4πε 0 ( 2a 2 ) 3 2 v v v ρ l (− cos ϕ ′ex − sin ϕ ′e y + ez ) = dϕ ′ 8 2πε 0 a
0 .5 3 = z 3
z = 0.5 z = −0.5
0.125 = 3
v v v v v v v v v v v v A ⋅ dS + ∫ A ⋅ dS + ∫ A ⋅ dS + ∫ A ⋅ dS (3) ∫S A ⋅ dS = ∫S A ⋅ dS = ∫x = −0.5 x = 0 .5 y = −0 . 5 y = 0 .5 v v v v + ∫ A ⋅ dS + ∫ A ⋅ dS
∂u 3 4 5 112 v = ∇u ⋅ el = 12 +4 + 12 = ∂l 50 50 50 50
v v 2 v 2 2 v 2 2 3 1.18 (1) 求矢量场 A = ex x + e y x y + ez 24 x y z 的散度； v v (3) 求 A (2) ∇ ⋅ A 对中心在原点的单位立方体的积分；
0 0
v v 2π a 2 2 2 ∇ × A ⋅ d S = y dS = r sin ϕ rdrdϕ ∫ ∫ ∫ ∫
4 4 2π a 1 − cos 2ϕ a4 π a sin 2 ϕ dϕ = ∫ dϕ = =∫ 0 0 4 4 2 4 v v v v 可见 ∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl ，即斯托克斯公式成立。 2π
v reθ ∂ ∂θ r cos θ cos ϕ
v r sin θeϕ ∂ ∂ϕ − r sin θ sin ϕ
v ⎡er (− r cos θ sin ϕ + r cos θ sin ϕ ) ⎤ 1 ⎢ v ⎥ v = 2 + reθ (− sin θ sin ϕ + sin θ sin ϕ ) ⎥ = 0 ⎢ r sin θ v ⎢r sin θe ⎥ ϕ (cos θ cos ϕ − cos θ cos ϕ ) ⎦ ⎣ v v v v 因为 ∇ × A = 0 ，∇ ⋅ A = 0 故 A 既可以表示为一个标量函数的梯
cos α = 3 4 5 β γ cos = cos = 50 ， 50 ，)
∂u ∂x
cos α +
( 2 , 3,1)
∂u ∂y
cos β +
( 2 , 3,1)
∂u ∂z
cos γ
( 2 , 3,1)
= 2 xyz ( 2,3,1) cos α + x 2 z
( 2 , 3,1)
cos β + x 2 y
( 2 , 3,1)
cos γ
= 12
3 4 5 112 +4 + 12 = 50 50 50 50
v ∂u v ∂u v ∂u v v 2 v 2 ∇ = + e + e = e 2 xyz + e u e x y z x y x z + ez x y 解 2： ∂x ∂y ∂z v v v ∇u ( 2,3,1) = ex 12 + e y 4 + ez 12
x = 0 .5
x 2 dydz + ∫
z = 0.5
y = −0.5
− x 2 y 2 dxdz + ∫
y = 0 .5
x 2 y 2 dxdz
z = −0 . 5
− 24 x 2 y 2 z 3 dxdy + ∫
24 x 2 y 2 z 3 dxdy
0.25 0.25 ⋅ 0.25 + ⋅ 0.25 3 3 0.25 0.25 0.25 0.25 0.125 − 24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0.125 = (−0.125) + 24 ⋅ 3 3 3 3 3 v v v 可见， ∫ ∇ ⋅ AdV = ∫ A ⋅ dS ，即散度定理成立。 = −0.25 + 0.25 −
v 1 ∂ ( ρBρ ) 1 ∂Bϕ ∂Bz ∇⋅B = + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂ ( ρz 2 sin ϕ ) 1 ∂ ( z 2 cos ϕ ) ∂ (2 ρz sin ϕ ) = + + ∂ρ ∂ϕ ∂z ρ ρ
= z 2 sin ϕ
ρ
−
z 2 sin ϕ
ρ
+ 2 ρ sin ϕ = 2 ρ sin ϕ
将坐标代入得 所以
α = cos −1 (−
cos α =
2(−3) − 2 ⋅ 4 − 5 19 =− 9 50 45 2
19 ) 45 2
2 1.11 求标量函数 u = x yz 在点(2,3,1)处沿矢量
v v 3 v 4 v 5 el = ex + ey + ez 50 50 50 的方向导数。 v 解 1： | el |= 1 ，所以
(1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示？ (2) 求这些矢量的源分布。
v 1 ∂ (r 2 Ar ) 1 ∂ (sin θAθ ) 1 ∂Aϕ + 解： ∇ ⋅ A = r 2 ∂r + r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
1 ∂ (r 2 sin θ cos ϕ ) 1 ∂ (sin θ cos θ cos ϕ ) 1 ∂ (− sin ϕ ) = 2 + + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
度，也可表示成一个矢量函数的旋度。
v eρ v 1 ∂ ∇× B = ρ ∂ρ Bρ ∂ ∂ϕ ρBϕ
ρeϕ
v
v v ez eρ ∂ ∂ 1 = ∂z ρ ∂ρ Bz z 2 sin ϕ
∂ ∂ϕ ρz 2 cos ϕ
ρeϕ
v
v ez ∂ ∂z 2 ρz sin ϕ
v ⎡eρ (2 ρz cos ϕ − 2 ρz cos ϕ )⎤ ⎥ v 1⎢ v = ⎢+ ρeϕ (2 z sin ϕ − 2 z sin ϕ ) ⎥ = 0 ρ⎢ v ⎥ 2 2 + − ( cos cos ) e z ϕ z ϕ ⎣ z ⎦
v v v v 因为 ∇ × B = 0 ，∇ ⋅ B ≠ 0 故 B 可以表示为标量函数的梯度，但