1.7.2定积分在物理中的应用(学、教案)

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定积分在物理中的应用PPT精品课件

W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶，刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与其他生物有着直接或者间接的关系，当某种动物被灭杀后，会间接或者直接影响其他生物的生存，以至影响到整个自然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以该动物为食的动物也会增多（或它的天敌也会增多），从而限制了这种动物的数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输观赏
耕地食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫蚯蚓
净化污水改良土壤
啄木鸟和杜鹃壁虎
森林害虫的天敌捕捉苍蝇、蚊子

1.7.2定积分在物理中的应用教学设计

情境一：求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)(t v v = (0)(≥t v ) 在时间区间[a,b]上的定积分，即⎰=badt t v s )(。

试回答下面的问题：问题1：当0)(≥t v 时，路程和位移是否相同？能否直接用定积分来求？问题2：当0)(<t v 时路程和位移是否仍然一致？此时，用定积分⎰ba dt t v )(表示的是路程吗？如果不是，那它表示的是什么？问题3：如果定积分⎰ba dt t v )(表示的不是路程，应该怎么求路程？问题4：如果在区间[a,b]上，速度有正有负，比如，当],[c a t ∈ 时，0)(≥t v ；当],[b c t ∈时，0)(<t v 。

又应该怎么求路程？情境二：通过以上的探索，你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的？（小组讨论，最后形成结论后，由小组代表阐述本组最终观点，跟其它各组比较，体会相互沟通、交流的乐趣和必要性）问题1：用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么？（分清物体的运动状态，明确运动状态改变的“节点”）总结：求变速直线运动的路程s 和位移1s 的方法：（1）若)(0)(b t a t v ≤≤≥，则⎰==badt t v s s )(1；（2）若)(0)(b t a t v ≤≤≤，则⎰-=ba dt t v s )(；⎰=badt t v s )(1。

（3）若在区间],[c a 上0)(≥t v ，在区间],[b c 上0)(<t v ，则⎰⎰-=bccadt t v dt t v s )()(，⎰=badt t v s )(1对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限，若是分段函数，则需要先分别求出各段上的路程，然后再求和。

例1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟内行驶的路程。

情境三：变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力做功的问题。

教学设计2：1.7.2 定积分在物理中的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用教材分析本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题；2．学会将实际问题化归为定积分的问题．过程与方法目标能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观培养将数学知识应用于生活的意识．重点难点重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题．教学过程引入新课提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？活动设计：以提问的形式让学生回答．设计意图让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．探究新知提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动结果：由速度—时间曲线可知：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是s ＝∫1003t d t ＋∫401030d t ＋∫6040(－1.5t ＋90)d t ＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040＝1 350(m)．答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.设计意图通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法．提出问题2：此问题还可以如何解决？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302＝1 350(m)．设计意图使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题．理解新知提出问题1：一物体在恒力F (单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F ·s .那么，如果物体在变力F (x )的作用下作直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么如何计算变力F (x )所做的功W 呢？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题，可以得到W ＝∫b a F (x )d x .设计意图让学生通过类比求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的方法，探究得出求变力作功也可用定积分解决．提出问题2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．活动设计：学生独立思考，找一个学生板书．活动成果：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F (x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度x 成正比，即F (x )＝kx ，其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到W ＝∫l 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)．答：克服弹力所作的功为12kl 2 J. 设计意图通过上面变力作功的积分表示，将其应用于实际问题，加深学生的理解．运用新知例 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝∫b a v (t )d t .解：(1)设从A 到C 所用的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．答：A 、C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．答：B 、D 间的距离为240 m.(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，则从C 到D 的时间为6 72024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)．答：电车从A 站到B 站所需时间为320 s.巩固练习物体A 以速度v ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v ＝10t (米/秒)在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？分析：依题意，物体A 、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．解：A 从开始到t 秒所走的路程为s A ＝∫t 0(3t 2＋1)d t ＝t 3＋t .B 从开始到t 秒所走的路程为s B ＝∫t 010t d t ＝5t 2，由题意：s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，解得t ＝5(秒)．此时：s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离分别是130米和125米．变练演编1．一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．2．弹性物体所受的压力与缩短的距离之间的关系依照胡克定理F ＝kx (k 是常数)计算，现有弹簧一个，原长有1 m ，每压缩1 cm 时需力5 N ，求自80 cm 压缩至60 cm 时需作功多少？【答案】1. 解：因土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度s 成正比，设其比例系数为k ，则由题意知∫10ks d s ＝∫x 1ks d s ，解得x ＝2，故第二次打入的深度为(2－1) m.点评：本题关键是抓住两次作功相等，搞清积分上限和积分下限．2．解：由题意知比例系数k ＝50.01＝500，弹簧被压缩20 cm 到被压缩40 cm ，需作功W ＝∫0.40.2500x d x ＝30(J)．点评：此题属于常规题型，应注意单位统一用国际单位制．达标检测1．一物体沿直线以v ＝2t ＋3的速度运动，求物体在t ∈[3,5]内行进的路程为__________．2．物体作变速直线运动的速度为v (t )，当t ＝0时，物体所在的位置为s 0，则在t 1秒末时它所在的位置为( )A ．∫v(t)t 10d tB ．s 0＋∫v(t)t10d tC ．∫v(t)t 10d t －s 0D ．s 0－∫v(t)t 10d t3．汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度大小2 m/s 2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车走了约( )A ．19.75 mB ．20.76 mC ．22.80 mD ．24.76 m4．一物体在力F (x )＝3x ＋4(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4处，求力F (x )所作的功为__________．【答案】1.22 2.B 3.A 4.40 J 课堂小结1．知识收获：用定积分求变速直线运动的路程和变力作功问题．2．方法收获：数形结合方法．3．思维收获：数形结合、化归的思想．布置作业课本习题1.7A 组第5,6题．补充练习基础练习1．某质点作直线运动，其速度v (t )＝3t 2－2t ＋3，则它在2秒内所走的路程是_________．2．如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需作功( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J3．物体作变速直线运动的速度为v (t )＝1－t 2，则它前两秒走过的路程为__________．拓展练习4．由截面积为 4 cm 2的水管往外流水，打开水管t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(cm/s)(0≤t ≤6)．试求：t ＝0到t ＝6秒这段时间内流出的水量．5．物体按规律x ＝4t 2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x ＝0到x ＝2阻力所作的功．【答案】1.10 2.A 3.2 4.144 cm 3 5.－25焦设计说明通过物理学中变速直线运动的路程问题、弹簧作功问题，既可以加强学生对之前所学知识的进一步应用，又能让学生掌握如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决，突破本节课的难点，让他们体验到数学在现实生活中的灵活运用．通过相应的练习，让学生学会运用所学知识解决实际问题，将数学知识运用到生活中来．。

定积分在物理上的简单应用

v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的速度时间曲线如图 1.7 3所示.求汽车在这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解由速度时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路程是 :

课件8：1.7.2 定积分在物理中的应用

3.
一物
体
在
力
F(
x)
10 3x
4
(0 ≤ x ≤ 2) (单位:N)的作 ( x 2)
用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单
位:m),则力 F(x)所做的功为( B )
A. 44 J B. 46 J C. 48 J D. 50 J
4.一物体以速度 v(t) 2t2 (m/s)做直线运动,媒质的阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解：在 t＝4s 时该质点的位移为∫40(t2－4t＋3)dt ＝13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在 t＝4s 时该质点距出发点43(m)．又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0，1]及[3，4]上的速度 v(t)≥0，在区间[1，3]上的速度 v(t)≤0. 所以在 t＝4s 时所经过的路程为
探究点2 变力做功
物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿
着与F（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力F（x）所做的功
W
b
a
F
xdx
y F (x) F
Oa
x b
例 2：一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2 －4t＋3(m/s)运动，求质点在 t＝4s 时的位置及经过的路程．
S＝∫10(t2－4t＋3)dt＋∫31（t2－4t＋3）dt＋∫43(t2－4t＋3)dt ＝∫10(t2－4t＋3)dt－∫31(t2－4t＋3)dt＋∫43(t2－4t＋3)dt ＝13t3－2t2＋3t|10－13t3－2t2＋3t|13＋13t3－2t2＋3t|43 ＝43－0－43＋634－20 ＝4(m)．

定积分在物理中的应用

b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J

1.7.2定积分在物理上的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用1.通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义,掌握用定积分表示某些物理量．2. 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，预习导引-------温故才能知新为课前预习奠基1定积分的概念及其几何意义;（1）定义表达式：nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰（2）定积分几何意义： ①ba f (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积 ②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数⎰-==ba a fb F dx x f x f x F b a x f )()()(),()(',],[)(,.2则并且上的连续函数是区间如果一般地微积分基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 3. 计算有关物理量时应注意：(1) 要充分理解物理量的意义．(2) 要根据图形的边界曲线情况，选择适当的坐标系，一般地，曲边梯形宜采用直角坐标．(3) 要注意积分变量的选取，以便简化计算．4.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰预习自测---------评价预习效果为突破难点奠基1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，1n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 1.答案: D解析由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D 正确，故应选D. 2． dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-2．答案: D 。

人教版高中数学全套教案导学案1.7.2定积分在物理中的应用

1. 7.2定积分在物理中的应用课前预习学案【预习目标】能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.【预习内容】一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的，即 .例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成︒30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .课内探究学案一、学习目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、学习重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程(一)变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的定积分，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ．例1．教材P58面例3。

1.7.2(2)定积分在物理中的应用

x
n
x
b
例题
例如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉
到离水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸
（或压缩）的长度 x 成正比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F( x)dx
0
L 0
kxdx

1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2(J
)
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
练习巩固
练习:
1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,
克服弹力所作的功为( A )
(A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
2.
一物体在
力
F
(
x)

10 3 x

4
102.4J
3答案
3.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
取一小段时间t, t △t
x
取 x 为积分变量，x [0, 5] 5
x x
取任一小区间[x, x x],
3
这一薄层水的重力为
x
10 32 x W 90 x x,
W
5
90 x dx
0
90
x2 5 2
3462 (千焦)．

1.7.2 定积分在物理中的应用

3 1
|2-t|dt=
2 1
|(2-t)|dt+
3 2
(t-2)dt=1.
答案:B
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3.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1+ex,则质点沿着与 F(x)相同的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功是( )
A.1+e
B.e
C.1��
��
F(x)dx.
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预习交流 2
思考:求变力做功问题的关键是什么? 提示:(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力 F 的表达式,这是求功的关键. (2)由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力 F(x)的方向做直线运动,使物体从 x=a 移动到 x=b(a<b).因此,求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置.
(3)根据变力做功公式 W=
��
F(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功.
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课堂合作探究
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问题导学
一、求变速直线运动的路程
活动与探究 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动, 求点在 t=4 s 时的位置及经过的路程. 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪些时间段的位移为负.
解:当 1≤t≤2 时,v(t)=4-t2≥0; 当 2≤t≤4 时,v(t)≤0, ∴物体在 t=1 到 t=4 这段时间内的路程是
s=
2 1
v(t)dt+

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.2 定积分在物理中的应用

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例：一物体在恒力 F＝30 N 的作用下做直线运动，物体沿着与 F(x)相同的方向移动了 10 m，恒力 F 所做的功是________．
答案：300 J
基础梳理
3．一物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，物体沿着与 F(x)相同的方向由 x＝a 运动到 x＝b 时，
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解析：s＝答案：D
自测自评
2．如果 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为( A．0.5 J B．1 J C．50 J ) D．100 J
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解析：由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量 x 成正比，依题意，得 F(x)＝x，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为 W＝
b W＝ a F(x)dx.
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(2)用定积分解决物理上的基本问题时，要： ①准确地写出积分式；②准确地进行计算．
跟踪训练
m1m2 2．按万有引力定律，两质点间的吸引力 F＝k 2 ，k r 为常数，m1，m2 为两质点的质量，r 为两点间的距离，若两质点起始距离为 a，质点 m1 沿直线移动至离 m2 的距离为 b 处，试求所做的功(b＞a)．
b W ＝ x aF(x)d 变力 F(x)所做的功是________ ．
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4．用 F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长
l W ＝ )dx 0F(x l m，所耗费的功是________ ．
自测自评
1．一物体沿直线以 v＝2t＋1(t 的单位：s，v 的单位： m/s)的速度运动，则物体在 1～2 s 间行进的路程为( A．1 m C．3 m B．2 m D． 4 m )

定积在物理中应用

课后作业
课本：P60 A组：2，5题
B组：4题
1.7.2 定积分在物理中的应用
1.
变速直线运动的路程
我们知道 , 作变速直线运动的物体所经过的路程s.等于其速度函数v v t v t 0在时间区间a,b上的定积分,即s v t dt.
b a
例 3 一辆汽车的速度时间曲线如图 1.7 3所示.求汽车在这1min 行驶的路程.
3答案
3.一物体以速度 v( t ) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v 2 ,试求在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v = 2.8t 取一小段时间 t , t △t
l
1 2 答克服弹力所作的功为 kl J. 2
练习: 1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm, 克服弹力所作的功为( A ) (A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J (0 ≤ x ≤ 2) 10 2. 一物体在力 F ( x ) (单位:N) 3 x 4 ( x 2) 的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所作的功为(B )J (A)44 (B)46 (C)48 (D)50 3. 一物体以速度 v( t ) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v 2 ,试求在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
例 4 如图 .7 4, 在弹性限 1 度内, 将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 m 处, 求弹 l 力所作的功 .

学案4：1.7.2 定积分在物理中的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用． 2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．学习重点：利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所做的功．(重点) 课前探究学习：自学导引定积分在物理中的应用1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程S 和位移S ′分别为： (1)若V (t )≥0，则S ＝()d baV t t ⎰，S ′＝()d baV t t ⎰.(2)若V (t )≤0，则S ＝－()d baV t t ⎰，S ′＝()d baV t t ⎰.(3)若在区间[a ，c ]上，V (t )≥0，在区间[c ，b ]上V (t )<0，则s ＝()d caV t t ⎰－()d b cV t t ⎰；S ′＝()d baV t t ⎰.2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝()d bav t t ⎰.(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝()d baF x x ⎰.说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s 在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功，即克服变力做了功.例题讲解：题型一求变速直线运动的路程、位移例1：一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．规律方法：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．变式1：变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．题型二求变力所作的功例2：在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．题后反思：解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．变式2：设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．题型三忽视位移有正、负而出错例3：一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4 s时的位置；(2)在t＝4 s时运动的路程．追本溯源：根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分求路程.学习小结：通过本节课的学习，你收获了哪些知识？参考答案例题讲解：例1：解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程 s 1＝∫40(8t －2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为 60(⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪6＝0. (2)依题意(t⎰8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．变式1：解：当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 s ＝()10v t ⎰d t ＋()21v t -⎡⎤⎣⎦⎰d t ＝10(⎰1－t 2)d t ＋21(⎰t 2－1)d t＝⎝⎛⎭⎫t －13t 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13t 3－t ⎪⎪⎪21＝2. 2秒末所在的位置 x 1＝x 0＋()2d v t t ⎰＝1＋2(⎰1－t 2)d t＝1＋⎝⎛⎭⎫t －t 33⎪⎪⎪20 ＝1＋2－83＝13.它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13.例2：解：由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV ＝k .∵V ＝xS (x 指活塞与底的距离)，∴p ＝k V ＝kxS .∴作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k xS ·S ＝kx .∴所做的功W ＝bak x⎰d x ＝k ·ln x ⎪⎪b a ＝k ln b a .变式2：解：设以x 表示弹簧伸长的厘米数，F (x )表示加在弹簧上的力，则F (x )＝kx .依题意，使弹簧伸长5 cm ，需力100 N ，即100＝5k ，所以k ＝20，于是F (x )＝20x .所以弹簧伸长到40 cm 所做的功即计算由x ＝0到x ＝15所做的功： W ＝1520d x x ⎰＝10x 2⎪⎪⎪15＝2 250(N·cm)．例3：解： (1)在t ＝4 s 时该点的位移为4(⎰t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪40＝43(m)．即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0， ∴在t ＝4 s 时的路程为 S ＝1(⎰t 2－4t ＋3)d t ＋()32143d t t t -+⎰＋43(⎰t 2－4t ＋3)d t＝10(⎰t 2－4t ＋3)d t －31(⎰t 2－4t ＋3)d t ＋43(⎰t 2－4t ＋3)d t ＝4.。

1.7.2定积分在物理中的应用课件人教新课标

数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
◎有一动点P，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2.求t＝0到t ＝5时，点P经过的路程．
【错解】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程为： S＝50(8t－2t2)dt＝4t2－23t3| 50＝530. 【错因】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程与点P的位置不同．当t>4时，点P向x轴负方向运动．
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
解析：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
变力作功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做
b
的功W＝__a_F_(_x_)d_x___.
数学选修2-2
第一章导数及其应用
解析：在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°.在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破