2019山西省高二上学期数学(理)期末考试试卷
2019-2020学年山西省高二(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1 . ( 5 分) 命题“X D(1, ) , X D2 —-…2 2 ”的否定是（)xA.(1,),x0 , 2 . 2B. xo (1,), x) — 2 2x o x oC . x(1,2),X - 2 2D. x (1,), x 2, 2 2 x x2. ( 5 分) 设直线i的方向向量为a，平面a的法向量为n，则使I a成立的是（)r A . a(1，1, 2), n (1, 1, 1) B . a (1, 1, 2) , n ( 1 , 1, 2)C . a(1， 1 , 2) , n (1 , 1, 1)D . a (2, 1, 1), n (1, 1, 1)3. （5分）已知直线I过点（2, 1），且在y轴上的截距为3，则直线I的方程为（）A. 2x y 3 0B. 2x y 3 0C. x 2y 4 0D. x 2y 6 04. （5分）刘徽注《九章商功》曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇. ”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（12A . (4,0)B . ( 4,0) C.(0, 4) D. (0,4) C. 84 D. 12625. （5分）抛物线C : y 2px的准线经过双曲线2工1的左焦点，则抛物线C的焦点坐4标为（6312146. （5分）设a R ,则"a 1 ”是"直线ax y a 1 0与直线x ay a 0平行”的（m IIn& （ 5分）正方体 ABCD ARG0中，异面直线 BD 和CD !所成角为（）A . 一2B . 一6 C . 一3 D . 一4 9. （5 分）若圆 C : （x 2）2 y 21关于直线l:x y m 0对称，l 1 : x y 4 20，则 I 与h 间的距离是（）A . 1B . 2C . 2D . 310. （ 5分）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC 中，PA 平面ABC , PA 4 ,AB BC 2，鳌臑P ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是2 2A .充分不必要条件 C .充分必要条件7. （5分）设m , n 是两条不同的直线, 确的是（ ）A .若 ， ，则II C .若 ml Ia , n，贝y ml InB .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件, 是三个不同的平面，下面四个命题中正B .若 D .若II , IA . 16B . 20C . 24642 2x y11. （5分）已知椭圆—1（a b a b0）的左顶点为M ，上顶点为N , 右焦点为F ,若rnuu uurNM gNF 0 ,则椭圆的离心率为 （A .仝22x12. （5分）已知双曲线C:二 a 过左焦点F 1引渐近线的垂线，2xA .—22 1 22岸1（a垂足为二、填空题 （每题 5分，满分20分, 0,b 0）的左、右焦点分别为F , F 2,离心率为 5 ,PF 1F 2的面积是2,则双曲线C 的方程为（）222将答案填在答题纸上）13. （5 分） 以（1,2）为圆心，且与圆C:（x 3）（y 1）9外切的圆的标准方程是142 214. ____________________ (5分)倾斜角是45，且过点(1,4)的直线I 交圆C:x y 2y 3 0于A , B 两点， 则直线I 的一般式方程 , |AB| _____ .15. (5分)正四棱锥 P ABCD 中，PA 3， AB 2，贝U PA 与平面PBC 所成角的正弦值 为 ____ .16. (5分)给出下列命题：(1)直线y k(x 2)与线段AB 相交，其中A(1,1), B(4,2)，则k 的取值范围是[1 , 1]; (2 )点P(1,0)关于直线2x y 1 0的对称点为R ，则P o 的坐标为(7,-)；5 5(3)圆C :x 2 y 2 4上恰有3个点到直线I : x y 2 0的距离为1;(4)直线y x 1与抛物线y 2 4x 交于A , B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线 x 1 相切.其中正确的命题有 ____ .(把所有正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)2 2丄 1表示焦点在x 轴上的椭圆. 8 m m 2(1)若命题BAP CDP 90 .17. （ 10分）命题 p :直线I :3x 4y m 0与圆C : （x21）2y 1相交，命题q:方程 (2)若命题p q 为真，求m 的取值范围.18.（ 12 分） 动点P 到F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1. (1)求动点 P 的轨迹C 的方程; (2)过点F 作的直线I 交曲线C 于A , B 两点, OAB 的面积.19 . ( 12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，且p 为真，求m 的取值范围;(1)证明：平面PDC平面PAD ;AB 2, APD 60，求四棱锥P ABCD的体积.2 220. (12分)已知直线l:ax y 3a 1 0恒过定点P ，过点P 引圆C : (x 1) y 4的两 条切线，设切点分别为 A , B .(1) 求直线AB 的一般式方程；(2) 求四边形PACB 的外接圆的标准方程.21. ( 12分)如图，已知三棱锥P ABC ，平面PAC 平面ABC ，点E ，F 分别为PC 、BC的中点，AB BC , PA AB BC 2 , PC 2 3 .(1)证明:EF / / 平面B 两点， ABF 的周长为4 2，点M (2,0).(1) 求椭圆C 的方程；PBC 所成角的大小.2y_ b 21(a b 0)的左、右过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A ,(2)设直线AM、BM的斜率匕,k2，请问匕k2是否为定值？若是定值，求出其定值; 若不是，说明理由.2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5分）命题“x0 (1, ) , x0—…2. 2 ”的否定是()xA . X o(1,),x°,22B.X(1,), X0—22x0X0 C. x(1,),x 2 2 2D. x(1,), X-,2 2x X【解答】解::因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“X。
2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥的否定是（ ） A ．()01,x ∃∈+∞，002x x +≤B ．()01,x ∃∈+∞，002x x +<C ．()01,x ∀∈+∞，002x x +<D ．()01,x ∀∈+∞，002x x +≤【答案】C【解析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词． 【详解】命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥的否定是“()01,x ∀∈+∞，002x x +<． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2．设直线l 的方向向量为a r ，平面a 的法向量为n r，则使l a ⊥成立的是（ ）A ．()1,1,2a =-r ，()1,1,1n =-rB ．()1,1,2a =-r ，()1,1,2n =--rC ．()1,1,2a =-r ，()1,1,1n =--rD ．()2,1,1a =--r ，()1,1,1n =r【答案】B【解析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直． 【详解】故选：B ． 【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．3．已知直线l 过点()2,1-，且在y 轴上的截距为3，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y ++= B ．230x y +-= C ．240x y --= D ．260x y -+=【答案】B【解析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式． 【详解】由题意，直线l 过点(0,3)，∴其斜率为13220k --==--，直线方程为y =-2x +3，即2x +y -3=0，故选：B. 【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）正视图俯视图 A ．60 B ．63 C ．84 D ．126【答案】C【解析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积． 【详解】由三视图，棱台体积为222214(3366)843V =⨯⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5．抛物线2:2C y px =的准线经过双曲线221124x y -=的左焦点，则抛物线C 的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()4,-0 C ．()0,4- D ．()0,4【答案】A【解析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p ，得抛物线焦点坐标． 【详解】双曲线221124x y -=中，1244c =+=，∴双曲线的左焦点为(4,0)-，右焦点(4,0)就是抛物线的焦点． 故选：A ． 【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】先求出两直线平行时的a 值，然后再根据充分必要条件的概念判断． 【详解】直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行，则210a -=，1a =±， 1a =时，两直线方程分别为20,10x y x y ++=++=，平行，1a =-时，两直线方程分别为0,10x y x y -+=--=，平行，∴直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行的充要条件是1a =±， 则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的充分不必要条件． 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．7．设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若//m α，n ⊂α，则//m nD ．若//αβ，m γα=I ，n γβ=I ，则//m n【答案】D【解析】根据面面垂直的性质判断A ，B ，由线面平行的性质判断C ，由面面平行的性质判断D ． 【详解】若αβ⊥，βγ⊥，α与γ也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A 错； 若αβ⊥，m α⊂，但m 不与αβ，的交线垂直时，m 不与β垂直，还可以平行，B 错；若//m α，n ⊂α， m 与n 可能异面，可能平行，C 错； 若//αβ，m γα=I ，n γβ=I ，则//m n ，这是面面平行的性质定理，D 正确．本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．8．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 和1CD 所成角为（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】C【解析】由11//A B CD 可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可． 【详解】正方体中，11//A B CD ，∴1A BD ∠是异面直线BD 和1CD 所成的角，而1A BD ∆是正三角形，∴13A BD π∠=，∴异面直线BD 和1CD 所成的角是3π． 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．9．若圆：(22:21C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，1:420l x y -+=，则l 与1l 间的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3【答案】D【解析】由圆心在直线l 上求得m ，然后由平行间距离公式求得距离．由题意(2,0)C -，圆()22:21C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，则200m --+=，2m =，即l 方程为20x y -+=，所求距离为2224231(1)d -==+-．故选：D. 【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m ，再则平行间距离公式计算．10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C【解析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积． 【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心． 由2AB BC ==得22AC =4PA =，则81626PC =+=6OP =所以球表面积为224()46)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ．本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11．已知椭圆：()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，0BA BF ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．12C D 【答案】D【解析】表示出各点坐标，由0BA BF ⋅=u u u r u u u r得出,,a b c 的等式，变形后可求离心率． 【详解】由题意(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，则(,),(,)BA a b BF c b =--=-u u u r u u u r，∴20BA BF ac b ⋅=-+=u u u r u u u r，220a c ac --=，2()10ccaa+-=，∴c e a ==舍去）． 故选：D ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于,,a b c 的等量关系．本题中由已知0BA BF ⋅=u u u r u u u r可得．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1F 引渐近线的垂线，垂足为P ，12PF F ∆的面积是2，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22128x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．2214x y -=【解析】离心率为5可得225c a =，1F P 与渐近线垂直，则有1F P b =，从而OP a =，由12PF F ∆的面积是2，可得2ab =，这样可求得,a b ，得双曲线方程． 【详解】如图，渐近线OP 方程是by x a=-，即0bx ay +=，由于1F P OP ⊥且1(,0)F c -， 所以122bc F P b b a -==+，所以22OP c b a =-=，11211121222F PO F PF S ab S ∆∆===⨯=，2ab =，又5ce a ==，即225c a =，∴22224b c a a =-=，2b a =， ∴222ab a ==，1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=．故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于,,a b c 的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为b .二、填空题13．以()1,2-为圆心，且与圆()()22:319C x y -++=外切的圆的标准方程是__________.【答案】()()22124x y ++-=【解析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．设所求圆半径为r 3r =+，2r =， 所以所求圆方程为：()()22124x y ++-=． 故答案为：()()22124x y ++-=． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径． 14．倾斜角是45o ，且过点()1,4的直线l 交圆22:230C x y y +--=于A ，B 两点，则直线l 的一般式方程__________，=AB __________.【答案】30x y -+=【解析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长． 【详解】由题意直线l 的方程为：41y x -=-，即30x y -+=， 圆标准方程为：22(1)4x y +-=，圆心为(0,1)C ，半径为2r =，圆心到直线l 的距离为d ==∴AB ==．故答案为：30x y -+=； 【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．15．正四棱锥P ABCD -中，3PA =，2AB =，则PA 与平面PBC 所成角的正弦值为__________.【答案】6【解析】作AE ⊥PB ，连接CE ，则CE ⊥PB ，于是有PB ⊥平面ACE ，作AH CE ⊥交CE 延长线于H ，可得AH ⊥平面PBC ，从而APH ∠是直线P A 与平面PBC 所成的角．在Rt PAH ∆中计算出这个角的正弦值即可．在正四棱锥P ABCD -中，取BC 中点M ，连接PM ，则PM ⊥BC ，223122PM =-=作AE ⊥PB ，连接CE ，则CE ⊥PB ，AE CE =， 由PB CE BC PM ⋅=⋅得2224233BC PM CE PB ⋅⨯===．∴23AE CE ==， 22AC =222AE CE AC +<，得AEC ∠是钝角，作AH CE ⊥交CE 延长线于H ，连接PH ，由CE ⊥PB ，AE ⊥PB ，得PB ⊥平面ACE ，AH ⊆平面ACE ，∴PB ⊥AH ，PB CE E =I ，∴AH ⊥平面PBC ，∴APH ∠是直线P A 与平面PBC 所成的角． △ACE 中，取AC 中点O ，连接EO ，则EO ⊥AC ，且224214()(2)33EO =-=，14221432423AC EOAH CE⋅===在Rt PAH ∆中，14142sin 36AH APH AP ∠===．故答案为：146． 【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．（1）直线()2y k x =-与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是[]1,1-；（2）点()1,0P 关于直线210x y -+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0l x y -+=的距离为1；（4）直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3）（4）【解析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断． 【详解】（1）由于直线2x =与线段AB 有公共点，因此k 的范围是(,1][1,)-∞-+∞U ，（1）错；（2）0PP 的中点坐标为13(,)55-，132()1055⨯--+=，即中点在直线210x y -+=上，又012PP k =-，直线210x y -+=的斜率是2，相乘等于1-，0PP 与直线210x y -+=垂直，（2）正确；（3）圆心C 到直线l 的距离为1，圆半径为2，与直线l 距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有3个点到直线:0l x y -+=的距离为1，（3）正确；（4）直线1y x =-过抛物线的焦点F (1,0)，直线1x =-是抛物线的准线，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得121AB x x =++，AB 的中点1212(,)22x x y y M ++到直线1x =-的距离为121122x x d AB +=+=，∴以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外．三、解答题17．命题p ：直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，命题:q 方程22182x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真，求m 的取值范围； （2）若命题p q ∧⌝为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）()2,8-（2）(][)2,25,8-U【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得p 为真时m 的范围． （2）由方程表示焦点在x 轴上椭圆求出m 的范围，由p 真且q ⌝为真得结论． 【详解】解：（1）因为直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，1<，解得28m -<<，即m 的取值范围为()2,8-.（2）Q 椭圆焦点在x 轴上，所以80,20,82,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩25m ∴<<p q ∧⌝Q 为真，p ∴真q 假. 2528,m m m ≤≥⎧∴⎨-<<⎩或22m ∴-<≤或58m ≤<.所以m 的取值范围为(][)2,25,8-U . 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．18．动点P 到()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作斜率为1的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积.【答案】（1）24y x =或()00y x =<（2）【解析】（1）题意转化为动点P 到()1,0F 的距离等于其到直线1x =-的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注意点P 也可能在x 轴负半轴上.（2）写出直线l 方程1y x =-，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与抛物线方程联立消元可得x 的二次方程，由韦达定理得12x x +,从而的122AB x x =++，再由求出O 到直线l 的距离，由底乘高除以2得三角形面积． 【详解】解：（1）由题意可知动点P 到()1,0F 的距离等于其到直线1x =-的距离， 由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<.（2）设直线l 的方程为1y x =-，设直线l 与曲线C 交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程214y x y x=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=126x x ∴+=，1228AB x x =++=.点O 到直线l 的距离2d ==.所以182OAB S ∆=⨯=. 【点睛】本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB中，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若2PA PD AB ===，60APD ∠=o ，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（243【解析】（1）由AB CD ∥及90BAP CDP ∠=∠=o 得CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，从而有CD ⊥平面PAD ，于是可得面面垂直．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，同时说明底面是正方形，即可求体积． 【详解】（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥.又90BAP CDP ∠=∠=o Q ，即AB AP ⊥，CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，DP ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，从而CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PDC ⊥平面PAD .（2）如图，取AD 的中点O ，连接PO .2PA PD ==Q ，60APD ∠=o ，PO AD ∴⊥，3PO =又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CD PO ∴⊥，CD AD ⊥，∴四边形ABCD 为正方形，又PO AD ⊥Q ，PO ∴⊥平面ABCD ，114322333P ABCD ABCD V PO S -∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=Y .【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20．已知直线:310l ax y a --+=恒过定点P ，过点P 引圆()22:14C x y -+=的两条切线，设切点分别为A ，B . （1）求直线AB 的一般式方程；（2）求四边形PACB 的外接圆的标准方程.【答案】（1）260x y +-=（2）()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】（1）直线方程整理成a 的多项式，关于a 恒成立，由恒等式知识可得定点坐标， 过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P (3,1)，直线x =3是一条切线，可知一切点为A (3,0)，由PC AB ⊥可求得AB 的斜率，从而得直线AB 的方程．不需求另一切点坐标． （2）由切线性质知PC 是四边形PACB 的外接圆的直径，外接圆方程易求． 【详解】（1）Q 直线():13l y a x -=-，∴直线l 恒过定点()3,1P .由题意可知直线3x =是其中一条切线，且切点为()3,0.101==312PC k --Q ，2AB k ∴=-， 所以直线AB 的方程为()23y x =--，即260x y +-=. （2）()()22=3110=5PC -+-PA AC ⊥Q ，PB BC ⊥所以四边形PACB 的外接圆时以PC 为直径的圆，PC 的中点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以四边形PACB 的外接圆为()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB 方程可以由四边形PACB 的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21．如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，点E ，F 分别为PC 、BC 的中点，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，23PC =.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）求平面PAC 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）60o【解析】（1）由中位线定理得EF PB P ，即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角． 【详解】（1）因为点E ，F 分别为PC ，BC 的中点， 所以EF PB P .PB ⊂Q 平面PAB ，EF ⊂/平面PAB ，EF ∴∥平面PAB .（2）2AB BC ==，AB BC ⊥，由勾股定理得AC =PC =Q 2224812PA AC PC ∴+=+==，故PA AC ⊥.又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC I 平面ABC AC =， 故PA ⊥平面ABC .以A 为坐标原点，垂直于AC ，AP 的直线为x 轴，AC u u u r 为y 轴正方向，AP u u u r为z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则()0,0,0A，)B，()002P ,,，()C ，.故()0,2PC =-u u u r，()BC =u u u r.显然平面PAC 的法向量()1,0,0n =r.设平面PBC 的法向量(),,m x y z =u r，则20,0,00,z m PC m BC ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v v u u u v v 令1y =有1,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩故(m =u r .1cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅u r r u r r u r r .,60m n <>=︒u r r，∴平面PAC 与平面PBC 所成角为60o .【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角．证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，过右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为42()2,0M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 、BM 的斜率1k ，2k ，请问12k k +是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）12k k +是定值,且为0【解析】（1）由1ABF ∆的周长为42得到442a =，即2a =再由离心率求得c ，从而可得b ，得椭圆方程．（2）直线l 斜率不存在时，120k k +=，直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得1212,x x x x +，计算12k k +，并代入1212,x x x x +可得120k k +=．这样就得出结论．【详解】（1）由1ABF ∆的周长为42442a =，即2a =又因为22c a =，所以1c =， 故2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线l 的方程代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， 因为12121222y y k k x x +=+--1212(1)(1)22k x k x x x --=+--()()()12121223422kx x k x x k x x -++=--，而()()2233312122222223444128423440212121k k k kk k k k kkx x k x x k k k k k -⋅--++-++=-+==+++.即120k k +=．当直线l 与x 轴垂直时，12k k =-，即120k k +=， 所以120k k +=，即12k k +是定值. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，计算12k k +并代入1212,x x x x +求得结论．。
山西省2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷【含答案及解析】
山西省2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A. 21种________B. 315种________C. 153种________D. 143种2. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ 2 )，若P( ξ >2)=0.023，则P(－2≤ξ ≤2)等于A. 0.977B. 0.954C. 0.628D. 0.4773. 对两个变量 x ， y 进行回归分析，得到一组样本数据：（ x 1 ， y 1 ），（ x2 ， y 2 ），…（ x n ， y n ），则下列说法中不正确的是A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数 R 2 来刻画回归效果， R 2 越小，说明模型的拟合效果越好D. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.4. 在极坐标系中，圆ρ =－2sin θ的圆心的极坐标是A. （0，－1）________B. （1，－）________C. （0，1）________D. （1，）5. 展开式中 x 2 的系数为A. 15B. 20C. 30D. 356. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{ a n }，如果 S n 为数列{ a n }的前 n 项和，那么 S 7 =3的概率为A. B.C. D.7. 通过随机调查询问110名性别不同的高中生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：p8. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计60 50 110由计算得附表：p9. ly:宋体; font-size:10.5pt; font-style:italic">P （K 2 ≥ k ） 0.050 0.0100.001 k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”C. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”10. 已知 a ，b ∈ R ， ab >0，则下列不等式中不正确的是A. | a + b |≥ a － bB.C. | a + b |<| a |+| b |D.11. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。
山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学(理)试题答案①(pdf版)
一、选择题1.D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.2.B 【解析】∵直线l 1：x-y+3姨-1=0的倾斜角为45°，再沿逆时针方向旋转15°，则直线l 2的倾斜角为60°，即直线l 2的斜率为3姨，根据点斜式可得直线l 2的方程为y -3姨=3姨（x -1），即3姨x -y =0.3.B 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面.4.B 【解析】∵在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 1B B =A B B B +B B B C +DD 1B B ，∴x =1，y =-12，z =13，即x +y +z =56.5.D 【解析】由圆O ：x 2+y 2=1可得圆心O （0，0），半径r =1，∵△OAB 为正三角形，∴圆心O 到直线x -y +m =0的距离为3姨2r =3姨2，即d =m 2姨=3姨2，解得m =6姨2或-6姨2.6.C 【解析】曲线x 216+y 29=1表示椭圆，焦距为2c =2a 2-b 2姨=216-9姨=27姨，当9＜k ＜16时，曲线x 216-k +y 29-k=1表示双曲线，焦距为2c =2a 2+b 2姨=216-k +k -9姨=27姨，两条曲线的焦距相等.7.B 【解析】∵抛物线y =12x 2的准线方程为y =-12，∴m =14，则离心率e =1+14姨12=5姨.8.B 【解析】∵M BB P =23M B B N ，∴O B B P -O B B M =23（O B B N -O B B M ）.即O B B P =13O B B M +23O B B N =13×12a +23×12（b +c ）=16a +13b +13c .9．A 【解析】由ab ＞c 2可得，cos C =a 2+b 2-c 22ab ≥2ab -c 22ab ＞ab 2ab =12圯C ＜60°，当C ＜60°时，可得cos C =a 2+b 2-c 22ab ＞12，即c 2-ab ＜（a -b ）2，推不出c 2＜ab ，故“ab ＞c 2”是“C ＜60°”的充分不必要条件.10.C 【解析】法一：将直三棱柱补成正方体如图1所示，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小与∠A 1BD 1相等.∵△A 1BD 1为正三角形，故异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.图1图2法二：如图2，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ，设AB =1，则A （0，0，0），B （1，0，0），A 1（0，0，1），C 1（0，1，1）.秘密★启用前2018－2019学年度第一学期高二期末测评考试理科数学（Ⅰ）参考答案及评分参考cos 〈BA 1A A ，AC 1A A 〉=BA 1A A ·AC 1A A BA 1A A ·AC 1A A =（-1，0，1）·（0，1，1）2姨×2姨=12.∴异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.11.A 【解析】∵抛物线x 2=8y 的焦点为（0，2），∴椭圆的焦点在y 轴上，且c =2，又∵离心率为12，∴n =4，m =42-22姨=23姨∴m -n =23姨-4.12.B 【解析】法一：如图建系D-xyz ，A （2，0，0），A 1（2，0，2），D （0，0，0），E （0，2，1）.设M （x ，2，z ），设平面A 1DE 的法向量为n =（x ′，y ′，z ′），∵DA 1A A ·n =0，D A A E ·n =0姨姨姨姨姨姨姨姨姨，∴n =（2，1，-2），又∵A A A M =（x -2，2，z ）,∵AM ∥平面A 1DE ，∴A A A M ·n =2（x -2）+2-2z =0，即x -z -1=0，∴动点M 的轨迹是以BC ，BB 1的中点为端点的线段，且这条线段的长为2姨.法二：取BB 1的中点P ，BC 中点为Q ，则平面APQ ∥平面A 1DE ，∴M 的轨迹为线段PQ ，且PQ =2姨.二、填空题13.“若x ≠1且x ≠2，则x 2-3x +2≠0”.【解析】若原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若劭q ，则劭p ”.14.x 2+y 2=16【解析】设M （x ，y ），由MA =2MB 化简可得x 2+y 2=16.15.（-1，0，2）【解析】∵A A A P =（x ，-1，z )，B A A A =（1，1，1），A A A C =（2，0，1），∵PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∴A A A P ·B A A A =0，A A A P ·A A A C =0⊥，即x -1+z =0，2x +z =0⊥，解得x =-1，z =2⊥，则点P 的坐标为（-1，0，2）.16.12【解析】设Q （x 0，y 0），∴重心G 的坐标为（x 03，y 03）.又∵I 为△QF 1F 2的内心，设r 为△QF 1F 2的内切圆半径，则S △QF 1F 2=12·（QF 1+QF 2+F 1F 2）·r =12·F 1F 2·y 0，即r =c y 0，∵G A A I =姿F 1F 2A A ，∴y 0=c y 0，解得e =12.三、解答题17.解：由p 可得k>a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!，2分由q 知x 2k +1+y 23-k=1表示双曲线，则（k+1）（3-k ）<0，即k<-1或k >3!!!!!!!!!!!!!!，5分∴劭q ：k ∈［-1，3］.又∵劭q 是p 的充分不必要条件，∴a<-1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.10分18.解：（1）∵圆C ：x 2+y 2-2x +my =0经过（3，-1），∴将（3，-1）代入圆C 的方程，解得m =4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.2分∴圆C 的方程为x 2+y 2-2x +4y =0，即（x -1）2+（y +2）2=5.∵直线l :x -2y +t =0与圆C 相切，∴圆心C 到直线l 的距离为d =1+4+t 5姨=5姨，即t +5=5，解得t =0或t =-10!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.6分（2）∵圆M ：（x +2）2+（y -4）2=r 2与圆C 有3条公切线，∴圆M 与圆C 相外切，即CM =5姨+r ，∴解得r =25姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分19.解：（1）∵直线x -y -2=0经过抛物线C 的焦点，∴抛物线C 的焦点坐标为（2，0），∴抛物线C 的准线方程为x =-2.姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨4分（2）设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为y=-x+p 2，且直线与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由y=-x+p 2，y 2=2p 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨x 化简得x 2-3px+p 24=0，∴x 1+x 2=3p .又∵AB =x 1+x 2+p =4p =2，解得p =12，∴抛物线C 的方程为y 2=x 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分20.（1）证明：如图1，连接A 1C ，A 1C ∩AC 1=R ，连接RQ ，∵R 为A 1C 的中点，Q 为BC 的中点，∴RQ ∥A 1B.又A 1B 埭平面AC 1Q ，RQ 奂平面AC 1Q.∴A 1B ∥平面AC 1Q 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.6分（2）解：以Q 为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系Q-xyz ，则Q （0，0，0），A （3姨，0，0），C （0，-1，0），C 1（0，-1，2）.设平面AQC 1的法向量为n =（x ，y ，z ），∵Q 奂奂A =（3姨，0，0），QC 1奂奂=（0，-1，2），由Q 奂奂A ·n =0，QC 1奂奂·n =奂姨姨姨奂姨姨姨姨0得3姨x =0，-y +2z =0奂，令z =1得n =（0，2，1）.又∵CC 1奂奂=（0，0，2），设直线CC 1与平面AQC 1所成的角为φ，∴sin φ=cos 〈CC 1奂奂，n 〉=225姨=5姨5.故直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为5姨5姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分21.（1）证明：连接OB ，∵PA =PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∴PO =4×3姨2=23姨.又∵AB =BC =22姨，AC =4，∴AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC .在Rt △ABC 中，OA =OB =OC=2，∵PO 2+OB 2=PB 2，∴PO ⊥OB∵AC ∩OB =O ，∴PO ⊥平面ABC .姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨6分（2）解：∵OB ⊥AC ，PO ⊥平面ABC，（第20题答图2）（第20题答图1）（第21题答图）∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A （0，-2，0），C （0，2，0），B （2，0，0），P（0，0，23姨）.设M （x m ，y m ，0），又∵B 姨姨M =13B 姨姨C ，∴M 43，23，，，0.设平面PAM 的法向量为m =（x ，y ，z ），由A 姨姨P ·m =0，A 姨姨M ·m =，0得y +3姨z =0,x +2y =0，.取z =1，∴m =（23姨，-3姨，1）.又∵平面PAC 的法向量为n =（1，0，0），∴cos 〈m ，n 〉=m ·n m ·n =23姨（23姨）2+（3姨）2+1姨=23姨4=3姨2!!!!!!!!!!!!!!.10分故所求二面角M -PA -C 的大小为30°!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.12分22.解：（1）由题意得c a =2姨2，a 2=b 2+c 2，6a 2+1b 2=1姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.解得a 2=8，b 2=4,∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.4分（2）设M （x 0,y 0），且x 02+y 02=12，由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为y -y 0=k （x -x 0），由y -y 0=k （x -x 0），x 28+y 24=姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨1化简得（1+2k 2）x 2+4k （y 0-kx 0）x +2（y 0-kx 0）2-8=0.∵直线与椭圆相切，∴Δ=4k （y 0-kx 0姨姨）2-4（1+2k 2）2（y 0-kx 0）2-姨姨8=0.化简得（x 02-8）k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10分∴k 1·k 2=y 02-4x 02-8=y 02-412-y 02-8=y 02-44-y 02=-1.∴两条切线斜率的积为定值!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.12分。
山西省2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020年1月山西省高二年级期末调研测试数学(文科)(本试卷考试时间120分钟，满分150分)★祝考试顺利★试卷名称一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0(1,)x ∃∈+∞，002x x +≥ ） A ．0(1,)x ∃∈+∞，002x x +≤B ．0(1,)x ∃∈+∞，002x x +<C ．(1,)x ∀∈+∞，2x x +<D ．(1,)x ∀∈+∞，2x x+≤2.已知直线l 过点()2,1−，且在y 轴上的截距为3，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y ++= B ．230x y +−= C ．240x y −−=D ．260x y −+=3.函数321()13f x x x =−+在区间[]0,3的最小值是（ ） A ．0 B ．2 C ．13−D ．14.刘徽注《九章商功》曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台)，如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为( )正视图 侧视图俯视图 A ．60 B ．63 C ．84D ．1265.抛物线2:2C y px =的准线经过双曲线221124x y −=的左焦点，则抛物线C 的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()4,0− C ．()0,4−D ．()0,46. 若函数()32236f x x mx x =−+存在极值点，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)(2,)−∞−+∞B ．(,2][2,)−∞−+∞C ．(2,2)−D ．[2,2]−7.设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若//m a ，n α⊂，则//m n D ．若//αβ，m γα=，n γβ=，则//m n9.若圆(22:1C x y ++=关于直线0:l x y m −+=对称，1:0l x y −+=，则l 与1l 间的距离是（ ） A ．1 B ．2CD ．310.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四楼锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在鳖臑P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳖臑P ABC −的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64π11.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 是导函数，(1)0f −=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)(0,1)−∞−B ．(1,0)(1,)−+∞C ．(,1)(1,0)−∞−−D ．(0,1)(1,)+∞12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 1F 引渐近线的垂线，垂足为P ，12PF F ∆的面积是2，则双曲线C 的方程为( )A ．22128x y −=B ．2214y x −= C ．221416x y −=D ．2214x y −= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()sin 2f x x x =+，则()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为_ ． 14.以()1,2−为圆心，且与圆()()22:319C x y −++=外切的圆的标准方程是 ．15.倾斜角是45︒，且过点()1,4的直线l 交圆22:230C x y y +−−=于A ，B 两点，则直线l 的一-般式方程为 ，AB = .16.给出下列命题： (1)若函数21()ln 22f x x m x =−++在(1,)+∞上是减函数，则1m <； (2)直线()2y k x =−与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是[]1,1−； (3)点()1,0P 关于直线210x y −+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55⎛⎫− ⎪⎝⎭；(4)直线1y x =−与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线1x =−相切.其中正确的命题有 ．(把所有正确的命题的序号都填上)三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题:p 直线:340l x y m −−=与圆()22:11C x y −+=相交，命题:q 方程22182x y m m +=−−表示焦点在x 轴上的椭圆.(1)若命题p 为真，求m 的取值范围； (2)若命题p q ∧⌝为真，求m 的取值范围.18.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C于A ，B 两点. (1)求抛物线C 的方程； (2)求OAB ∆面积.19.如图，在四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是平行四边形，且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明：平面PDC ⊥平面PAD ；(2)若 2PA PD AB ===，60APD ∠=︒，求四棱锥P ABCD −的体积.20.已知直线:310l ax y a −−+=恒过定点P ，过点P 引圆()22:14C x y −+=的两条切线，设切点分别为A ，B .(1)求直线AB 的一般式方程；(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.21.已知椭圆22221(0)z x y C a b a b+=>>的短半轴长为1，离心率为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1OA OB ⋅=−，求直线l 的方程. 22.已知函数211()ln (1)22f x x ax a x =++++. (1)当1a =−时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有零点，求a 的取值范围.2020年1月山西省高二年级期末调研测试数学(文科)答案13.20x y −+= 14.22(1)(2)4x y ++−= 15.30x y −+= 16.(3)(4) 17.解：(1)因为直线:340l x y m −−=与圓()22:11C x y −+=相交， 1<，解得28m −<<，即m 的取值范围为()2,8−.(2)椭圆焦点在x 轴上，所以80,20,82,m m m m −>⎧⎪−>⎨⎪−>−⎩25m ∴<<. p q ∧⌝为真，p ∴真q 假，2528m m m ≤≥⎧∴⎨−<<⎩或，，22m ∴−<≤或58m ≤<，所以m 的取值范围为(2,2][5,8)−. 18.解：(1)由题意可知2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. (2)直线l 的方程为y=x- 1.--设直线k 与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y .联立方程21,4,y x y x =−⎧⎨=⎩得2610x x −+=. 126x x ∴+=. 1228AB x x =++=.点O 到直线l 的距离d ==，所以1822OAB S ∆=⨯⨯=. 19.解：(1)四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴.又90BAP CDP ∠=∠=︒，即AB AP ⊥，CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，DP ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，从而CD ⊥平面PAD .又CD ⊂平面PCD ，所以平面PDC ⊥平面PAD . (2)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，2PA PD ==，60APD ∠=︒，PO AD ∴⊥，PO =.又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CD PO ∴⊥，CD AD ⊥，∴四边形ABCD 为正方形。
2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试 数学(理)(I) Word版含答案
秘密★启用前高二理科数学(I)试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.1.命题“∀x ∈R ，x 2≠2x ”的否定是A.∀x ∈R ，x 2＝2xB.∃x 0∉R ，x 02＝2x 0C.∃x 0∈R ，x 02≠2x 0D.∃x 0∈R ，x 02＝2x 02.直线l 1：x －y 1＝0绕其上一点(1沿逆时针方向旋转15°，则旋转后得到的直线l 2的方程为A.x ＋1＝0 －y ＝0 ＋y ＝0 D.3x y －1＝03.下列命题中，假命题的是A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B.平行于同一平面的两条直线一定平行.C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.D.若直线l 不平行于平面α，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线.4.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若1123AC xAB yBC zDD u u u r u u u u u u u r r u u u u r ＝－＋，则x ＋y ＋z ＝A.2/3B.5/6C.1D.7/65.已知直线l ：x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若△OAB 为正三角形，则实数m 的值为6.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等7.若双曲线221y x m -=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为8.已知M 和N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，且23MP MN =u u u r u u u u r ，若OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r ，则OP uuu r 用a ，b ，c 表示为 A.111366a b c ++ B.111633a b c ++ C.211366a b c ++ D.121636a b c ++ 9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“ab ＞c 2”是“C ＜60°”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A.30°B.45°C.60°D.90°11.设椭圆22221(0,0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，且离心率为12，则m －n ＝4 B.4－ 8 D.8－12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM ∥平面A 1DE ，则动点M 的轨迹长度为A.4π C.2 D.π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为 .14.已知动点M 到点A(8，0)的距离等于点M 到点B(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程为 .15.已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x ，0，z)，若PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则点P 的坐标为 .16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点Q 为椭圆上一点，△QF 1F 2的重心为G ，内心为I ，若12GI F F λ=u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为 .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知p ：对任意的实数k ，函数f(k)＝log 2(k －a)(a 为常数)有意义，q ：存在实数k ，使方程22113x y k k+=+-表示双曲线.若⌝q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18.(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋my ＝0经过(3，－1).(1)若直线l ：x －2y ＋t ＝0与圆C 相切，求t 的值；(2)若圆M ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝r 2与圆C 有3条公切线，求r 的值.19.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0).(1)若直线x －y －2＝0经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；(2)若斜率为－1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当|AB|＝2时，求抛物线C 的方程.20.(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，点Q 为BC 的中点.(1)求证：A 1B ∥平面AC 1Q ；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.21.(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且BM＝13BC，求二面角M－PA－C的大小.22.(12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，该椭圆经过点6，1)2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M是圆x2＋y2＝12上任意一点，由M引椭圆C的两条切线MA，MB，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.。
应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线 ： 的右焦点为 ， 由 ,可得直线 的方程为 ， , 设直线 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ，
由 , 解得 （4舍去），
可得 到直线 的距离为 ，
即有 的面积Байду номын сангаас最小值为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝ －4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即 －1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得 ，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得 或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离 简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）
山西省大同市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
山西省大同市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·兰州期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A .B .C .D .2. （2分）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A .B .C .D .3. （2分）将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）实数a的值由右上面程序框图算出，则二项式展开式的常数项为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）A . 或B .C . 或D . 或6. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 已知双曲线的左右焦点分别为F1 ， F2 ，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·新乡期末) 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8据上表得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.76， = ﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A . 11.4万元B . 11.8万元C . 12.0万元D . 12.2万元8. （2分） (2017高二上·张家口期末) 任取，直线y=k（x+2）与圆x2+y2=4相交于A，B 两点，则的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A . 三角形B . 菱形C . 梯形D . 四边相等的四边形10. （2分） (2018高一下·西华期末) 在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）A . 万元B . 万元C . 万元D . 万元11. （2分）已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（）A .B .C .D .12. （2分）已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为时，a 的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某学校从高一学生500人，高二学生400人，高三学生300人，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本，则应抽取高一学生的人数为________．14. （1分） (2018高一下·大连期末) 由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是________．15. （1分） A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=2，则该球的表面积为________16. （1分） (2016高二上·常州期中) 已知双曲线的离心率，则该双曲线的虚半轴长b=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．18. （10分） (2019高二上·柳林期末) 已知p：x2﹣3x﹣4≤0，q：2﹣m≤x≤3+m（m＞0）．（1）当m＝1时，p∧q为真命题，求x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．19. （5分） (2016高二上·吉林期中) 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？20. （10分）(2017·安徽模拟) 医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．21. （5分） (2017高二下·孝感期中) 如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D（不为原点）．（Ⅰ）求点D的轨迹方程；（Ⅱ）若点D坐标为（2，1），求p的值．22. （10分） (2019高二下·厦门期末) 在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。
学易金卷：段考模拟君之2019学年高二理科数学上学期期末原创卷04(考试版)
高二理科数学试题 第1页（共6页） 高二理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|学科网试题命制中心2018-2019学年上学期期末原创卷04高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修3+选修2-1。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为 A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样2．若点(1,2)P --在抛物线y =ax 2(a ∈R ,a ≠0)的准线上，则实数a 的值为 A ．8B ．18C ．4D ．143．用秦九韶算法计算多项式6532()25238103,4f x x x x x x x =++-+-=-时，4v 的值为 A ．92B ．1529C ．602D ．148-4．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数4, 5.6x y ==，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A ．0.44y x =+B ． 1.20.7y x =+C ．0.68y x =-+D ．0.78.2y x =-+5．已知命题p :方程22153x y k k+=+-表示椭圆，命题q :-5<k <3，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34B ．23C ．12D ．137．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与x 2+(y -2)2=1没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)8．有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,通过分层抽样抽取一些样本进行数据分析,如果在区间[2,4)内抽取2个样本,那么在区间[10,12)内应抽取的样本个数为A ．2B ．4C ．6D ．99．2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计，落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32nN。
高二上学期数学人教A版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则( )222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x 2x =的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为( )A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<-11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =22x y +{}n a n S 24a =742S =A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得，即.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则，，因为Q 为切点，可知()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =12y =-31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD ' 1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=--1=-01λ≤≤1λ=222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF 2//OQ AF 222AF OQ ==2222a AF a b -=-，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设点A ，在第一象限，设，则，上，所以，解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得或4.OQ AF ⊥2AF AF ⊥()()222222244b a b c a b +-==-23a b ==c a ====()01f x =()21f x x '=+()1,1()y f x =l ()113k f ='=():131l y x -=-:32l y x =-1x =()2122133f x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x =223k f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭2l 2172:933l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭73y x =2x =219y -=()2,0()32y x =±320x y ±=)32x y +=3()2229x y -+=()2229x y -+=()220y px p =>x ()()1111,0,0A x y x y >>()11,B x y -12y =1y =)2229x y -+=()21289x -+=11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即时，因，所以，即，因为，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为为偶函数，故.故选：C 8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=*(1)()n nna S n n n=+-∈N2n≥1()(1)n n n nna n S S S n n-=-=+-1(1)(1)n nn S nS n n---=-11nSn--=-11a==-nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n=-+-=-(2)nS n n=-2n≥()11(3)nS n n-=--()()121(3)23nn na S S n n n n n-==----=--1n=23na n=-()()()1123n nn nb a n=-=--{}n b(11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e xf xf x-+'=()()e e1x x xf x f+'=()e xf x'⎡⎤=⎣⎦)= 0x=()0f0=()e xf x x-=()()2e1ex f x-<2e xe e ex xx x--<-()e ex xx x x-=-()e xg x x x--=-+(x()e e e ex x x xg x x x--'=++-0x≥e e0x xx x-+≥e e0x x--≥()e e ex x xg x x x-'=++e0x--≥()g x[)0,+∞()11e eg-=-0x≥()e xg x x=-e exx-<)0,1()g x()eg x<-)1,1-联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A ：，即，圆心为，半径为，A 错误；对选项B ：在圆上，则和圆心均在x 轴上，故切线与x 轴垂直，为，B 正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为，C 错误；(,y k xx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k --++=()2Δ410k =+>A B x x +=A B x x =B x -===2A B N x x x +==N MN x =-==(2k =±+2220x y x +-=22(1)1x y -+=(1,0)1r =(2,0)(2,0)2x =1yx +(,)x y (1,0)A -AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；，D 错误，故选：BC.11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎧⎨⎩11114457+-++ 111583824-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角的余弦值解析：设动点，则.又，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =BPBP DQ BP DQθ⋅===⋅BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=--MN MP ⋅ ()34x ∴--=224x y +=213y +=∴23y +=213y +=()()222125x y +++=（2）最小值为.解析：（1）圆M 的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面.17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n = ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE ACE x =()f x 22ln 2f =-e x =()f x 2(e)e 4f =-[)1,-+∞(0,)+∞2a =-2()2ln f x x x =-+2()2f x x x '=-+=()0f x '>1x >()f x (1,)+∞4a =-2()4ln f x x x =-+4()2f x x x '=-+=令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x>0x<<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=ln e lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=()22lnh x x x=+-22()1xh xx x-'=-=2()0xh xx-'=>2ex<≤2()0xh xx-'=<12x≤< ()h x[)1,2(]2,e()(2)2(2ln2)0h x h≥=->[1,e]x∈()2(1)(22ln)()0lnx x xg xx x-+-'=≥-min()(1)1g x g==-[)1,-+∞12n+24n nS a=-∴2n≥1124n nS a--=-得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①-①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，所以存在定点Q 为.()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP 12AP =2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。
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第一学期期末考试高二数学试题（理）(时间120分钟；满分150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.在一次数学测试中，成绩在区间［125,150］上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”,q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（ ）.A ()()p q ⌝∨⌝ .B ()p q ∨⌝.C ()()p q ⌝∧⌝ .D p q ∨2.抛物线23x y -=的焦点坐标是（ ） A. )0,43(B. )0,43(-C.)121,0(-D. )121,0( 3. 22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ） A. 321<<-x B. 61<<-x C. 021<<-xD. 213<<-x 4.已知双曲线2222:1y x C a b -=的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）.A 14y x =±.B 13y x =± .C 12y x =±.D 2y x=±5.四面体OABC 中，,M N 分别是,OA BC 的中点，P 是MN 的三等分点（靠近N ），若OA a =，OB b =，OC c = ，则OP = ( ).A111366a b c ++ .B 111633a b c ++ .C 111263a b c ++.D 111623a b c ++ 6. 点()2,3P 到直线:20l ax y a +-=的距离为d ，则d 的最大值为（ ）.A 3.B 4.C 5.D 77.如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A.6π .B 4π .C 3π .D 2π8. 《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，4AB BC ==,15AA =,M 是11AC 的中点，过BCM 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ ）.A 40 .B 25152329++.C 50.D 30202329++9. 直线l 过椭圆2212x y +=的左焦点F ，且与椭圆交于,P Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（ ）.A 33±.B 22±.C 1±.D 3±10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线m 过点F ，且与抛物线在第一、四象限分别交于A,B 两点，过A 点作l 的垂线，垂足为A '，若2AA p '=，则BF =（ ）3.p A2.p B32.p Cp D .11．已知椭圆C 的两个焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -,短轴的两个端点分别为,M N ，左右顶点分别为12,A A ，若1FM N ∆为等腰直角三角形，点T 在椭圆C 上，且2A T 斜率的取值范围是11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么1A T 斜率的取值范围是（ ）.A []1,2.B 11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.C []4,2--.D []2,1--12．如图：已知双曲线2222(0,0)x y a b a b->>中，12,A A 为左右顶点，F 为右焦点，B 为虚轴的上端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12(1,2)i PA A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）.A 15(2,)2+ .B (1,2) .C (2,)+∞ .D 15(,)2++∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.14、已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____. 15、如图：060的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB ，已知AB =4，AC =6，BD =8，则CD =_____.16、椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C ，其长轴的长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为_____.三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）已知命题:p 方程22141x y k k +=--表示双曲线；命题:()(1)0q x k x k --+<，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数k 的取值范围。
18、（12分）在直角坐标系xoy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标轴原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求1C ，2C 的极坐标方程 （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为,M N ,求2C MN ∆的面积19、（12分）如图：直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4,ACB BC AC AA D ∠====为棱1CC 上的一动点，,M N 分别是ABD ∆，11A B D ∆的重心，（1）求证：MN BC ⊥（2）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，求DN 与面ABD 所成角的正弦值。
20、（12分）设抛物线2:4C x y =，点(1,0)P ，过点P 作直线l ， （1）若l 与C 只有一个公共点，求l 的方程（2）l 过C 的焦点F ，交C 与,A B 两点，求: ①弦长AB ； ②以,A B 为直径的圆的方程。
21、（12分）如图：在等腰三角形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2,22AE BF AB ===,现将梯形,CB DA 折起，使//EF AB ，且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 。
如图（2）所示：已知,M N 分别为,AF BD 的中点。
（1）求证：//MN 平面BCF（2）若有直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角的大小22、（12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-，离心率22e =。
（1）求椭圆E 的方程（2）过点(1,0)作直线l 交E 于,P Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ∙为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由。
高二数学试题（理）答案2019.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1-----5ACBDB 6-----10ADBBC 11-----12CA 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、1m > 14、-1 15、217 16、242357或或17、(10分)解：p 真：(4)(1)0k k --<得4k >或1k < q 真：1k x k -<<p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，q ∴是p 的充分不必要条件,q p p q ∴⇒≠>，则有14k -≥或1k ≤ 5k ∴≥或1k ≤ (10)18、解：（1）由cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩得1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=…………………5 （2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得23240ρ-+=解得1222,2ρρ==2MN ∴= 又2C 的半径为1，2111122S C MN ∴∆=⨯⨯= (12)另解：3:4C πθ=即y x =则2C 的圆心到l 的距离21,21222d MN =∴=-= 1212222S ∴=⨯⨯=19、解：（1）有题意知，11111,,CC C A C B 两两互相垂直，以1C 为原点建立空间 直角坐系如图所示，则11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,4),(0,2,4)A B A B 设(0,0,)(04)(0,0,4)D a a C <<,M N 分别为ABD ∆和11A B D ∆的重心22822(,,),(,,)333333a a M N +∴8(0,2,0)(0,0,)3BC MN =-=-0BC MN =BC MN BC MN ∴⊥∴⊥（2）C 在ABD ∆上的射影为M CM ∴⊥面ABD224(,,)333a CM -=又()2,2,0(2,0,4)AB DA a =-=-00CM AB CM DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩得24(4)033a --=得2,6a a ==（舍） 2222,(0,0,2)(,,)333a D N ∴=∴易知面ABD 的法向量为222(,,)333CM =-设DN 与平面ABD 所成角为θ则44816422999sin 34444416232632999999θ++====++++∴DN 与平面ABD 所成角的正弦值为22320、（1）若l 的斜率不存在，则:1l x =符合.........1 若l 的斜率存在，设斜率为k ，:(1)l y k x =- (2)由2(1)4y k x x y=-⎧⎨=⎩联立得2440x kx k -+= 2161600k k k ∆=-=∴=或1k = :0ly ∴=或1y x =- (5)综上：:1l x =或0y =或1y x =- (6)（2）焦点(0,1):1F l y x =-+， 设1122(,)(,)A x y B x y214y x x y=-+⎧⎨=⎩得2126106y y y y -+=∴+= 又128AB y y p AB =++∴= (9)以AB 为直径的圆：半径142r AB == 设AB 中点M 00(,)x y ，则0032y x =∴=-∴圆心M 23-（，）∴所求圆的方程为2x +22（）+(y-3)=16 综上，8AB =所求圆的方程为2x +22（）+(y-3)=16…………………12 21、（1）证明：连AC ，四边形ABCD 是矩形，N 为BD 的中点，∴N 为AC 的中点。