第四章常用概率分布
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第四章 常用概率分布
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的概念与特征 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，
3个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球 的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，这个实验 有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是 每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球； 三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定 的。具备这三点， n次中有X次摸到黄球（或白 球）的概率分布就是二项分布。
C n XX !(n n !X )!
第四章常用概率分布
二项分布
例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的 概率为60%，现以该法治疗3例，其中两 例有效的概率是多大？
C 3 20.62(10.6)(32) 0.432
第四章常用概率分布
二项分布
表4-1 治疗3例可能的有效例数及其概率
有效人数 (x)
第四章常用概率分布
二项分布
例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效 就是无效，每一例有效的概率为π，。某医 生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的 概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结 果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意 3例有效
第四章常用概率分布
二项分布
医学研究中很多现象观察结果是以两 分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈 与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察
P (X 2 ) 1P 5 (X 0) 150 1!50 0 .1 X ( 1 3 0 .1 ) 13 5 X0
第四章常用概率分布
二项分布
根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的
2
2
概率为 P (X 2 )P (X )
n !
X ( 1 )n X
X 0
X 0X !(n X )!
8 .4 1 7 1 0 0 1 .8 1 0 8 0 2 .1 1 1 70
2.30 10 7
至少有2名感染钩虫的概率为
出现阳性的次数至少为k次的概率为
n
n
P (X k ) P (X )
n !
X (1 )n X
X k
X kX !(n X )!
第四章常用概率分布
二项分布
例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%， 随机抽查当地150人，其中至多有2名感染 钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的 概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率 有多大？
CX
3C
X 3
0
1
x
(1－)n-x 出现该结果概率
P(x)
0.60=1 0.4×0.4×0.4
0.064
1
3
0.6
0.4×0.4
0.288
2
3
0.6×0.6
0.4
0.432
3
1 0.6×0.6×0.
0.40
6
0.216
第四章常用概率分布
二项分布
由表4-1可知,各种可能结果出现的概率合计 为1，即P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此, 如果欲求1例以上有效的概率可以是
P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.43 2+0.216=1－P（0）=1－ 0.064=0.936
也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－ 0.064=0.936
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的特征 二项分布的图形特征
接近0.5时，图形是对称的；图4-1 离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增
大，分布趋于对称。图4-2
当n→∞时，只要不太靠近0或1， 当nP
和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正 态分布。
二项分布图形取决于与n，高峰=n处
第四章常用概率分布
二项分布
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=3,π=0.5
n=3,π =0.3
x
P(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x n=6,π =0.3
P(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x n=10,π =0.3
P(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n=20,π =0.3
x
图4-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的均数和标准差
总体均数： n
方差： 2 n(1)
标准差： n(1)
第四章常用概率分布
Sp
0.022 0.0% 150
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的应用 （一）概率估计 例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机
观察当地150人，其中有10人感染钩虫的 概率有多大？ 从n=150，π=0.13的二项分布，由公式 （4-1）和（4-2）
第四章常用概率分布
二项分布
可以得出150人中有10人感染钩虫的概率 为
对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果 的发生概率均为（1－）；而且各个观察
对象的结果是相互独立的，那么，重复观 察n个人，发生阳性结果的次人数X的概率
分布为二项分布，记作B（X；n，π）。
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1） 来计算。
P ( X ) C n XX ( 1 ) n X
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=10,π=0.5
图4-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布
第四章常用概率分布
二项分布
P(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
பைடு நூலகம்0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二项分布
如果将出现阳性结果的频率记为
p X n
总体均数： p
标准差：
p
(1 )
n
第四章常用概率分布
二项分布
例4-4 研究者随机抽查某地150人，其中 有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%， 求此率的抽样误差。
p(1p) p(1p)
Sp
n1
n
0.06 (1 70.06 ) 7
P (X 1)0 1!500 .113 00 .817 4 00 .005 1!(1 05 10 )0 !
第四章常用概率分布
二项分布
单侧累积概率计算
二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为
k
k
P (X k )P (X )
n !
X (1 )n X
X 0
X 0X !(n X )!
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的概念与特征 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，
3个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球 的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，这个实验 有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是 每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球； 三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定 的。具备这三点， n次中有X次摸到黄球（或白 球）的概率分布就是二项分布。
C n XX !(n n !X )!
第四章常用概率分布
二项分布
例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的 概率为60%，现以该法治疗3例，其中两 例有效的概率是多大？
C 3 20.62(10.6)(32) 0.432
第四章常用概率分布
二项分布
表4-1 治疗3例可能的有效例数及其概率
有效人数 (x)
第四章常用概率分布
二项分布
例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效 就是无效，每一例有效的概率为π，。某医 生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的 概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结 果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意 3例有效
第四章常用概率分布
二项分布
医学研究中很多现象观察结果是以两 分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈 与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察
P (X 2 ) 1P 5 (X 0) 150 1!50 0 .1 X ( 1 3 0 .1 ) 13 5 X0
第四章常用概率分布
二项分布
根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的
2
2
概率为 P (X 2 )P (X )
n !
X ( 1 )n X
X 0
X 0X !(n X )!
8 .4 1 7 1 0 0 1 .8 1 0 8 0 2 .1 1 1 70
2.30 10 7
至少有2名感染钩虫的概率为
出现阳性的次数至少为k次的概率为
n
n
P (X k ) P (X )
n !
X (1 )n X
X k
X kX !(n X )!
第四章常用概率分布
二项分布
例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%， 随机抽查当地150人，其中至多有2名感染 钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的 概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率 有多大？
CX
3C
X 3
0
1
x
(1－)n-x 出现该结果概率
P(x)
0.60=1 0.4×0.4×0.4
0.064
1
3
0.6
0.4×0.4
0.288
2
3
0.6×0.6
0.4
0.432
3
1 0.6×0.6×0.
0.40
6
0.216
第四章常用概率分布
二项分布
由表4-1可知,各种可能结果出现的概率合计 为1，即P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此, 如果欲求1例以上有效的概率可以是
P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.43 2+0.216=1－P（0）=1－ 0.064=0.936
也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－ 0.064=0.936
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的特征 二项分布的图形特征
接近0.5时，图形是对称的；图4-1 离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增
大，分布趋于对称。图4-2
当n→∞时，只要不太靠近0或1， 当nP
和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正 态分布。
二项分布图形取决于与n，高峰=n处
第四章常用概率分布
二项分布
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=3,π=0.5
n=3,π =0.3
x
P(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x n=6,π =0.3
P(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x n=10,π =0.3
P(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n=20,π =0.3
x
图4-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的均数和标准差
总体均数： n
方差： 2 n(1)
标准差： n(1)
第四章常用概率分布
Sp
0.022 0.0% 150
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的应用 （一）概率估计 例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机
观察当地150人，其中有10人感染钩虫的 概率有多大？ 从n=150，π=0.13的二项分布，由公式 （4-1）和（4-2）
第四章常用概率分布
二项分布
可以得出150人中有10人感染钩虫的概率 为
对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果 的发生概率均为（1－）；而且各个观察
对象的结果是相互独立的，那么，重复观 察n个人，发生阳性结果的次人数X的概率
分布为二项分布，记作B（X；n，π）。
第四章常用概率分布
二项分布
二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1） 来计算。
P ( X ) C n XX ( 1 ) n X
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=10,π=0.5
图4-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布
第四章常用概率分布
二项分布
P(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
பைடு நூலகம்0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二项分布
如果将出现阳性结果的频率记为
p X n
总体均数： p
标准差：
p
(1 )
n
第四章常用概率分布
二项分布
例4-4 研究者随机抽查某地150人，其中 有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%， 求此率的抽样误差。
p(1p) p(1p)
Sp
n1
n
0.06 (1 70.06 ) 7
P (X 1)0 1!500 .113 00 .817 4 00 .005 1!(1 05 10 )0 !
第四章常用概率分布
二项分布
单侧累积概率计算
二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为
k
k
P (X k )P (X )
n !
X (1 )n X
X 0
X 0X !(n X )!