正余弦定理教案

正余弦定理

考纲：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

请注意：综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．

一．知识梳理：

1.正弦定理和余弦定理

2.三角形中的常见结论

(1)A+B+C=π.

(2)在三角形中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.

(3)△ABC的面积公式:

①S=1

2

a·h(h表示a边上的高);

②S=1

2ab sin C=1

2

ac sin B=1

2

bc sin A=abc

4R

;

③S=1r(a+b+c)(r为内切圆半径).

二．夯实双基：

1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．

(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B.

(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．

(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B

＝45°或∠B＝135°.

(4)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两

个，则实数a的取值范围是(3，2)．

（5）在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．

(6)在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，则△ABC是等腰三角形．答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×

2．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于( ) A．30°或60°B．45°或60°

C．60°或120° D．30°或150°

答案 D

三．典例解析：

题型一利用正、余弦定理解斜三角形

例1 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.

(2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角

【解析】(1)由正弦定理，得

a

sin A

＝

b

sin B

.

∴sin B＝b

a

sin A＝

3

2

·sin45°＝

3

2

·

2

2

＝

3

2

.

∵b>a，B>A＝45°，∴有两解B＝60°或120°.

①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，

c＝

a

sin A

·sin C＝

2

sin45°

sin75°＝

6＋2

2

.

②当B＝120°时，C＝180°－(45°＋120°)＝15°，

c＝

a

sin A

·sin C＝

2

sin45°

·sin15°＝

6－2

2

(2)由正弦定理，可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. ∴a∶b∶c＝(3＋1)∶(3－1)∶10.

由此可知c最大，∴角C最大．

设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k，(k>0)，

∵cos C＝a2＋b2－c2

2ab

＝[3＋1k]2＋[3－1k]2－10k2

23＋13－1k2

＝－

1

2

，

∴C∈(0，π)，∴C＝2π3

.

探究1 (1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，

则sin B＝b

a

sin A＝3>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解．

(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1

已知△ABC的三个内角的比是A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c＝( )

A．3∶2∶1 B.3∶2∶1

C.3∶2∶1 D．2∶3∶1

【解析】由题意知A＝π

2

，B＝

π

3

，C＝

π

6

.由正弦定理知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶

sin C＝2∶3∶1，故选D.

题型二三角形形状的判定

例2 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

【思路】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解析】方法一：已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－

sin(A－B)]．

∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.

由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.

∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0.

∴sin2A＝sin2B.由0<2A,2B<2π，

得2A＝2B或2A＝π－2B.

即△ABC是等腰三角形或直角三角形．

方法二：同方法一可得2a2cos A sin B＝2b2cos B sin A.

由正、余弦定理，得a2b b2＋c2－a2

2bc

＝b2a

a2＋c2－b2

2ac

.

∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.

∴a＝b或c2＝a2＋b2.∴三角形为等腰三角形或直角三角形．

探究2 三角形形状的判定方法：

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝

sin2B⇔A＝B或A＋B＝π

2

等．

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a

2R

，cos A＝

b2＋c2－a2

2bc

等，通过

代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．

思考题2

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．

【思路】判断三角形的形状也是高考常考内容，解决这类问题有两条途径，其一是从角入手，探求角的大小关系；其二是从边入手，探求三边满足的关系．

解：由已知得b a2＋c2－b2

2ac

＋c

a2＋b2－c2

2ab

＝a

b2＋c2－a2

2bc

，

∴b2(a2＋c2－b2)＋c2(a2＋b2－c2)＝a2(b2＋c2－a2)．∴(a2＋c2－b2)(b2＋a2－c2)＝0.