第五章微分方程模型64786
第五讲 微分方程模型
问 题
1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓 度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。 2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设 计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
分 析
• 实验：对血药浓 度数据作拟合，符 合负指数变化规律 • 理论：用一室模型研 究血药浓度变化规律
c c2
问题分析
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间 变化的规律。从实验和理论两方面着手： 在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入 该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得 血药浓度c(ug/ml)如下表:
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
三、给药方案的设计
一种静脉注射的新药用于临床之前，必须设 计给药方案，即确定每次注射剂量和注射间 隔时间。
知识准备
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不 断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在 血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称 为血药浓度。 一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室， 室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立 即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预 期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒 或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效 浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要 使血药浓度保持在c1至c2之间。
第五讲
微分方程模型
一、冷却问题 二、减肥问题 三、给药方案的设计
一、冷却问题
将温度为T0=1500C物体放在温度为240C的空气 中冷却，经10min后，物体温度降为1000C问 t=20min时，物体的温度是多少？
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
第五章__微分方程模型_数学建模资料
一、简单的微分方程模型
微分方程模型是数学模型中一类比较普遍而且非常有用 模型. 许多模型都与此模型密切相关. 在微积分课程中, 我
们就遇到了大量的微分方程模型.
例如在微积分中的问题: 弹簧震动问题就涉及到一个微 分方程问题.
再看一个简单的问题.
一个较热的物体置于室温为 50 C 的大房间内, 设物体最 初的温度是 80
Bn : 年龄在1岁之前的幼虫总数; An : 年龄在1—2岁之间的壮年虫总数; Cn : 年龄在2岁以上的老年虫总数;
不同年龄段的此种生物的繁殖和死亡率有下表所示:
组别
繁殖率
死亡率
B
0
0.3 0.1
0.1
0.2 0.3
A
C
由此得到状态转移矩阵及关系表达式
Bn1 0 0.3 0.1 Bn A 0.9 0 A . 0 n n1 C 0 0.8 0.7 C n n1
即有
kt
T 5 75e
t 2 ln 5 3
.
在MatLab下, 输入相应的命令可解此微分方程:
方程求解命令
定解条件
特解
确定方程中的参数
即方程的解为
T 5 75e
t 13.5476 分钟.
⑵在20分钟时的温度为
t 2 ln 5 3
.
则:⑴物体温度下降到30度时所需要的时间为:
最高阶与最低阶的差值. 例如一个二阶线性方程为
X n1 aX n bX n1 f n .
所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式
X n1 aX n bX n1 0.
⑷
而方程
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
第五章+微分方程---万有引力定律的发现
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 生产函数 更一般的道格拉斯
Q ( K , L) = f 0 K α Lβ , 0 < α , β < 1, f0 > 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） ）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款， 资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
1
x<<s0
x x (1 − − 2 )≅0 s0σ 2 s0σ
1
i
x ≈ 2 s 0σ ( s 0 −
s0 - 1/σ = δ
1
σ
)
0 s ∞ 1/ σ
P1
s0
s
δ 小 , s0 σ ≅ 1
x ≅ 2δ
提高阈值1/ 降低被 提高阈值 →降低被长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 建立产值与资金、 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 研究资金与劳动力的最佳分配， • 调节资金与劳动力的增长率，使经济 生产率 增长 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率 生产率)增长 1. 道格拉斯 道格拉斯(Douglas)生产函数 生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 F为待定函数 为待定函数 劳动力 L(t)
微分方程模型I 第五章 微分方程模型I
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.7 传染病模型 经济增长模型 正规战与游击战 药物在体内的分布与排除 香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分方程模型[整理版]
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第5章 微分方程模型5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。
若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
5.4 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。
植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。
在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。
但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。
由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。
若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。
试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。
5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ⋅g ），活数标本为6.68计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。
第五章 微分方程模型
模型4 模型
di dt = λsi − µi ds = − λsi dt i (0) = i0 , s (0) = s 0
SIR模型 模型 消去dt 消去 σ =λ/µ
1 di ds = σ s − 1 i s= s = i0
0
相轨线
相轨线 i ( s ) 的定义域 在D内作相轨线 i ( s ) 内作相轨线 的图形， 的图形，进行分析
0
相轨线
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
1
i
1 D
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
P4
1
P2 im
P1∗ P3
1 di ds = σ s − 1 i s= s = i0
0
0
s∞
S0
1 / σ s0
1s
P1: s0>1/σ → i(t)先升后降至 先升后降至0 先升后降至 P2: s0<1/σ → i(t)单调降至 单调降至0 单调降至
传染病蔓延
1/σ ~ 传染病不蔓延 阈值
传染病不蔓延的条件——s0<1/σ 传染病不蔓延的条件 • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/µ)
λ ↓, µ ↑
λ (日接触率 ↓ ⇒ 卫生水平↑ 日接触率)↓ 卫生水平↑ 日接触率 µ(日治愈率 ↑ ⇒ 医疗水平↑ 医疗水平↑ 日治愈率)↑
Logistic 模型
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时刻
第五章微分和微分方程模型
在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其变化趋势是至关重要的，而在一些较为复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。
但是，在许多情况下，我们往往可以在理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。
也就是找出一个或几个含有未知函数及其导数所满足的方程，这个（些）方程就称为微分方程（组）。
然后通过求解微分方程（组）得到变量之间的函数关系，或者在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的发展变化规律。
为了研究一些实际问题的变化规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再建立数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，就可以通过微分方程来建模。
微分方程模型主要是解决与导数，也即变化率相关的问题，但是；实际问题中一般并不会直接出现“导数”或“变化率”等词语，这时，就需要我们仔细分析，从中找出这些信息，一般来说，如果问题中涉及到“速率”、“增长”、“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就可以用微分方程（组）来建模。
微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要根据具体情况选择不同的模型，建立模型时，应首先将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净变化率=净增加率━净减少率如果变量之间的关系可以用这种形式来描述，我们就不难给出相应的微分方程（组）了。
在建立了微分方程模型之后，我们当然希望能得到微分方程的解，但是，对于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，甚至是不可能的，此时我们可以通过对方程的定性分析得到有关的一些有用信息。
§1 确定性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量的库存不但积压了资金，而且会使仓库的保管费用增加。
因此，寻求合理的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题。
需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题。
第五章微分方程模型
i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.
2019年1月15日星期二
12/60
模型4
SIR模型的相轨线分析 消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0 0
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
i0 s0 1 (通常r(0)=r0很小)
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解
先做数值计算, 再在相平面上研 究解析解性质
2019年1月15日星期二
11/60
模型4
SIR模型的数值解
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用 MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0 s0 i0 r0 1 群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
2019年1月15日星期二
技术 f(t) = f0 (常数)
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
2019年1月15日星期二
19/60
1 ） Douglas生产函数 产值Q, 资金K, 劳动力L, 技术f0 静态模型
Q(K , L) f 0 F (K , L) Q 每个劳动力 每个劳动力 y K z 的产值 的投资 L L
P2
im
P1 P3
O
s
S0
1 / s0
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P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = 0, s0 1
x 2
提高阈值1/ 降低被传 染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
第五章 微分方程模型
5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di
dt
si
i
ds
dt
si
i(0) i0 , s(0) s0
i0 s0 1(通常r(0) r0很小）
无法求出 i(t), s(t) 的解析解
在相平面 s ~ i上研
究解的性质
SIR模型
di dt
si
i
ds
dt
si
消去dt
/
di
ds
1
s
1
i ss0 i0
i(0)
i 0
,
s(0)
s 0
相轨线i(s) 的定义域
相轨线
1s
i(s)
(s0
i0 )
s
ln
s0
i
D {(s,i) s 0, i 0, s i 1}
1
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
D 0
s
1
SIR模型 相轨线 i(s) 及其分析
di dt
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有效
接触人数，称为接触数。
SIS模型 di i(1 i) i
dt
i
di/dt
>1
i0
1-1/
/
>1
di i[i (1 1 )]
dt
i
i0
1
di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
的估计
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i0
群体免疫
ln s 0
ln s
s0 s
SIR模型 被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
s0
i0
s
1
ln s s0
0
i0 0, s0 1
x<<s
0
x(1
1
s0
x
2s02
)
0
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
x
2s0
(s0
1
)
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
SI模型
模型 假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，病 人传染健康人
1）总人数N不变，病人和健康 人的
比例分别为 i(t), s(t)
2）每个病人每天有效接触人数为,
且使接触的健康人致病
问
题
•预防传染病蔓延的手段
建模 • 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建 方法 模.(只考虑传播机理，不涉及具体疾病的病理特征）
模型1 已感染人数 (病人) i(t)
假设
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
di i
dt i(0) i0
假设
1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的
比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
3个函数有两个独立，需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
SIR模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
问题
5.1 传染病模型
根据疾病在人与人接触过程中 的传播特 性建立疾病的传播模型
描
•描述传染病的传播过程， 分析受感染人
述
数的变化规律
的
•预报传染病高潮到来的时刻
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t) f0F (K (t), L(t)) F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
静态模型 Q(K, L) f F(K, L) 0
每个劳动 力的产值
1
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
t i 1 ?
病人可以治愈！ 模型的适用范围？
模型3： 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人， SIS 模型 健康人可再次被感染：SIS
增加假设 3）I病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
~ 日
接触率
建模 N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di i
dt s(t) i(t) 1
di
i(1
i)
dt
i(0)
i 0
SI模型
i 1
1/2
i0
0
tm
di dt
i(1
i)
i(0) i0
Logistic 模型
i(t)
1
1
1 i0
1et
t
tm
1
ln
1 i0
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0
传染病蔓延
1/
P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病不蔓延
~阈
值
SIR模型 预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/
• 提高阈值 1/
降低 (=/)
(日接触率) 卫生水平
,
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
s0 i0 r0 1
0
t
0
t
i()
1
1
,
1
0,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
1
i0小 i(t)按S形曲线增长
感染期内有效接触感染的健康 者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4:
传染病患者治愈后有免疫性——病人治愈后即
SIR模型 移出感染系统，称移出者(Removed): SIR
si
i
ds dt
si
di
ds
1
s
1
i
1
i
s s0
i 0
D
i(0) i0 , s(0) s0
s(t)单调减相轨线的方向
im
s 1/ , i im t , i 0
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s0
P4
P2
P1
P3
s满足
s0 i0
s
1
ln
s s0
0
s 0
S0 1/ s0
1s