考研高数总复习第四章矩阵第七节

大家好
第七节 分块乘法的初等变换及应用举例
主要内容 分块初等矩阵
应用举例
一、分块初等矩阵
1. 定义
定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块：
E
Em O
O En
分块初 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为
等矩阵.
分块初等矩阵有以下三种：
1) 分块对换矩阵 2) 分块倍乘矩阵
对换两行(列)所得到
O Em
E O
EA
A E
设 A，B 为 n n 矩阵，作
O B
O E
ABB .
Pij
En O
Eij En
,
i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n n 矩阵，除了第 i
行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零.
则由初
等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式
P11P12
L
P1n
证明 因为
Em O
BD1 En
A C
B D
A
BD1C C
O D
,
因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即
A
BD1C C
O D
可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在.
由
Em O
BD1 En
T1
A
BD1C C
OD
解得
T11
A
BD 1C C
O D
1
Em O
BD1 En
,
再由例 1，得
T11
由归纳法假设，有下
三角形矩阵 ( B1 )( n - 1) ( n - 1) 满足
B1A1 = 上三角形矩阵.
对 A 作如下分块：
A
A1
ann
,
则
E
A11
O 1
A1
ann
A1 O
A11 ann .
再作
B1 O
O 1
A1 O
A11 ann
B1 A1 O
B1 A11
ann
.
这时矩阵已成为上三角形了. 就得到：
C
A PA
D BPB
中，适当先择 P，可使 C + PA = O .
例如 A 可逆
时，选 P = - CA-1，则 C + PA = O .
于是上式右端
成为
A
B
O D CA1B .
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问
题时是比较方便的，因此这种运算非常有用.
二、应用举例
例1 设
T
A C
第 j 列与第 n + j 列对换
j = 1, 2, … , n
AB B
O E
,
O AB (1)n AB O (1)n | AB || E || AB | .
E B
B E
这就证明了 | AB | = | A | | B |.
证毕
例 4 设 A = ( aij )n n , 且
a11 L a1k
PA C
PDB ,
Em P
O En
A C
B D
C
A PA
D BPB ;
A C
DB ,
分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：
CA
B D
O Em
En O
B D
A C,Biblioteka CAB DOP
O En
AP CP
B D
,
CA
B D
Em P
O En
A C
BP DP
B D
.
在
Em P
O En
A C
DB
O D
,
其中 A，D 可逆，求 T -1 .
解 因为
Em CA1
O En
A C
O D
A O
O D
且
A O
O
1
D
A1 O
O D 1
,
所以
T
1
A1 O
O D1
Em CA1
O En
A1 D 1CA1
O D 1
.
例2 设
A B T1 C D ,
其中T1 , D可逆，试证(A - BD-1C)-1 存在，并求T1-1.
L
Pn1
L
Pnn
????
En O
O En
????
????
En O
A En
????
又倍的数由验，P证令i它j 所.不对改A应变的行初????列13等式变的42换值????,是，某故则行加E上2 另外????10一行10的????, E11 ????10OE 00EA????,E12AE????00OB 02????, EP2111L ????P03nn 00A????E, E22OB????00 04????,
将两次乘法结合起来
B
B1 O
O 1
E
A11
O B
1 A11
O1 .
此即为所要求的下三角矩阵.
证毕
P22
A ????EO2 E
O EO2B????
|????AEO|2|
B
|EE. 222(第???? ????二EO章2 第六EO节2 ????a11
????例LEO2
3)
aE1Ek证222 明????0
L
0
M
MM
M
又因为矩阵
O E
ABB 作 n 次列对换可变成矩阵
AB B
O E
,
即
O E
所以
ABB
情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应
的初等行变换；
用分块初等矩阵右乘分块矩阵 A，
其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列
变换.
例如，设有如下分块矩阵
A C
DB ,
分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：
O Em
En O
A C
DB
C A
D B
,
OP
O En
A C
DB
A
BD 1C C
O D
1
Em O
BD1 En
(A D1C(
B A
D1C)1 BD1C
)
1
O D1
Em O
BD1 En
(A D1C(
BD1C)1 A BD1C
)1
D1C(
( A BD1C)1 BD1 A BD1C)1 BD1
D
1
例 3 证明行列式的乘积公式 | AB | = | A | | B |. 证明 作
M
M 0, 1k n,
ak1 L akk
则有下三角形矩阵 Bn n 使
BA = 上三角形矩阵.
证明 对 n 作归纳法.
当 n = 1 时，一阶矩阵
既是上三角形又是下三角形，故命题成立.
设对 n - 1 命题为真，我们来看
a11
L
a1,n1
A1 M
M ,
an
1,1
L
an
1,n1
它仍满足命题中所设的条件.
En O
,
某一行(列)左乘(右乘)一个
矩阵 P 所得到
3) 分块倍加矩阵
P O
O En
,
Em O
O P
,
一行(列)加上另一行(列)的
P (矩阵)倍数所得到
Em O
P En
,
Em P
O En .
2. 分块初等矩阵的性质
和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等
矩阵有与初等矩阵类似的性质：
用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A, 在保证可乘的