数学人教版六年级下册《鸽巢问题》教材分析

《鸽巢问题》教材分析

“鸽巢原理”来源于一个基本的数学事实。将三个苹果放到两只抽屉里，要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入两个或两个以上的苹果。虽然我们无法断定哪只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物称为集合，那么上面的结论就可以表述为：假如把多于

个元素按任一确定的方式分成个集合，那么有一个集合中至少含有2个元素。还可以表述为：把多于 (是正整数)个元素按任一确定的方式分成个集合，那么一定有一个集合中至少含有（+1）个元素。“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。它也被广泛地应用于现实生活中，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。

由此可见，所谓“鸽巢原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重要要求，也是本单元的编排意图和价值取向。

教材编排的“鸽巢原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要鸽子的数量比鸽巢多，那么一定有一个鸽巢放进了至少飞进2只鸽子。那么，这里的“一定有一个鸽巢”是什么意思？“至少两只鸽子”是什么意思？“一定有一个鸽巢”是存在性；“至少两只鸽子”是可以多于两只鸽子，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别

在例题的教学前，编排了一个给学生表现“魔术”的主题情境，使学生产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。修订后的教材对本单元例2的相关数据进行了调整。

二、教材例题分析

例1：本例描述“鸽巢原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先飞进3只，在每个鸽巢里飞进1只，这时剩下1只。剩下的1只鸽子不管飞入哪个鸽巢里，这时都会有一个鸽巢里飞进2只鸽子。这种

方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“鸽巢原理”的初步认识。

例2：本例描述“鸽巢原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7只鸽子飞进3个鸽巢里的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“归纳法”这样一种思想，通过8只鸽子飞进3个鸽巢和11只鸽子飞进4个鸽巢，通过算式理解至少数=商+1（有余数）和至少数=商（无余数）。

在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4只鸽子飞进3个鸽巢里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。

教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。